函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）-2025年高中数学一轮复习

第01讲函数及其性质

（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

（12类核心考点精讲精练）

IN.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

判断指数函数的单调性

2024年新I卷，第6题,5分根据分段函数的单调性求参数

判断对数函数的单调性

求函数值

2024年新I卷，第8题,5分比较函数值的大小关系

抽象函数的关系

函数奇偶性的定义与判断根据函数零点的个数求参数范围

2024年新II卷，第6题,5分

函数奇偶性的应用求余弦（型）函数的奇偶性

函数单调性、极值与最值的综合应用

2024年新H卷,第11题,6分函数对称性的应用利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

2023年新I卷，第4题,5分复合函数的单调性函数的单调性求参数值

2023年新I卷，第11题,5分函数奇偶性的定义与判断函数极值点的辨析

2023年新II卷，第4题,5分函数奇偶性的应用奇偶性求参数

抽象函数的奇偶性

2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系

函数对称性的应用

2022年新II卷，第8题,5分函数奇偶性的应用抽象函数的周期性求函数值

2021年新I卷，第13题,5分由奇偶性求参数无

2021年新II卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的周期性的定义与求解

2021年新H卷,第14题,5分函数奇偶性的定义与判断基本初等函数的导数公式

2020年新I卷，第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式

2020年新H卷，第7题,5分复合函数的单调性对数函数单调性

1

2020年新n卷,第8题,5分函数奇偶性的应用函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分

【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法

2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值

3.能够利用函数的单调性解决有关问题

4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性

5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题

6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、

周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.

IN.考点梳理〉

知识点1函数的单调性

知识点2单调性的常见运算

知识点3函数的奇偶性

知识点4函数的周期性

核心知识点

知识点5函数的对称性

知识点6周期性对称性综合问题

知识点7奇偶性对称性综合问题

考点1根据函数解析式判断函数单调性

考点2根据函数的单调性(含分段函数)求参数值

考点3根据函数单调性解不等式

考点4根据函数单调性比较函数值大小关系

考点5根据函数的奇偶性求参数值

考点6抽象函数奇偶性的综合应用

核心考点考点7函数周期性的综合应用

考点8函数对称性的综合应用

考点9周期性对称性的综合应用

考点10周期性奇偶性的综合应用

考点11奇偶性对称性的综合应用

考点12函数性质的全部综合应用

知识讲解

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

2

增函数减函数

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值

M，x2

定义

当为<第时，都有/(%)</(%),那么就说函数/(X)当水电时,都有/(%)»(%),那么就说函数

在区间。上是增函数/(X)在区间。上是减函数

y=f(x)

V|

图象描,芍)：於2)

0-x

述Opi~~%.~~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数.v=f(x)在区间。上是增函数或减函数,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间D叫做y=》(x)的单调区间.

(3)函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意的工£/,都有/(x)WM；(3)对于任意的xG/,都有/(X)2M；

条件

(2)存在使得/(x0)=M⑷存在x°G/,使得/(%)="

结论M为最大值M为最小值

2.单调性的常见运算

(1)单调性的运算

①增函数(/)+增函数(/)=增函数/②减函数(、)+减函数(、)=减函数,

③/(X)为/,则—/(X)为、，」一为、④增函数(/)—减函数(')=增函数/

/(X)

⑤减函数(\)—增函数(/)=减函数'⑥增函数(/)+减函数(%)=未知(导数)

(2)复合函数的单调性

函数/'(x)=Mg(x)),设M=g(x),叫做内函数,则/(x)=〃(M)叫做外函数，

'内函数T,外函数复合函数个

内函数J,外函数复合函数T任、人闩+的曰/

'内函数T,外函数复合函数二姑论：同增升减

、内函数J,外函数复合函数J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)

②奇偶性的定义：

奇函数：图象关于原点对称

3

偶函数：/(-%)=/(%),图象关于>轴对称

③奇偶性的运算

f(x)g(7)f(z)+g(N)/(•Z)-g(N)/[g(7)]

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

4.周期性(差为常数有周期)

①若/(x+a)=/(x),则/(x)的周期为：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+b),则/(x)的周期为：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(x),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若/(x+a)=±—又，则/(x)的周期为：T=\la\(周期扩倍问题)

J\x/

5.对称性(和为常数有对称轴)

轴对称

①若/(x+a)=/(-x),则/(x)的对称轴为x

②若f(x+a)=f^x+b),则/(x)的对称轴为x=+

点对称

①若/(x+a)=—/(—x),则/(x)的对称中心为t，o]

②若f(x+a)+f(-x+b)=c,则/(x)的对称中心为[审，

6.周期性对称性综合问题

①若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f[b-x),其中则/(x)的周期为：7=2,一同

②若/(a+%)=-/("%),f(b+x)=-f{b-x),其中awb,则/(x)的周期为：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,则/(x)的周期为：

4

T=4\a-b\

7.奇偶性对称性综合问题

①已知/(x)为偶函数，/(x+a)为奇函数，则/(x)的周期为：T=4|a|

②已知/(x)为奇函数，/(x+a)为偶函数，则/(x)的周期为：T=4|a|

考点一、根据函数解析式判断函数单调性

典例引领

1.(2021・全国•高考真题)下列函数中是增函数的为()

A./(x)=-xB.=HC./(x)=x2

D.f[x)=y[x

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,/(x)=r为&上的减函数，不合题意，舍.

对于B,=为尺上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(x)=Y在(-叫0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,〃x)=哄为尺上的增函数，符合题意，

故选：D.

2.(2024•山西晋中•三模)下列函数中既是奇函数，又在(0,+e)上单调递减的是()

A.〃x)=2忖B.小)=尤3

lux,x>0,

C.=D./卜)=

-ln(-x),x<0

【答案】C

【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.

【详解】对于A：函数〃x)=2恸的定义域为R,

又〃_x)=2岗=〃尤),所以〃龙)是偶函数，故A错误；

对于B：由幕函数=d的图象可知，〃x)=d在(0,+“)上单调递增，故B错误;

对于C:函数/(X)=的定义域为(-8,0)U(0,+8),

X/(-x)=--(-x)=-/(x).所以“X)是奇函数，

5

又幕函数〉=匕、=-》都在（0,+司上单调递减，

X

所以函数/（无）=Jr在（0,+8）上单调递减，故C正确；

对于D：因为对数函数y=lnx在（0,+（»）上单调递增，

.、flnx,x>0,.、

所以函数/（月=1皿_》）x<0在（0'+司上单调递增，故口错误•

故选：C.

即峭史

1.（2024・全国•一模）下列函数中在区间（0,+8）上单调递减的是（）

A.>=cosxB.y=2|x|C.y=X~2D.y=x2-l

【答案】C

【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断.

【详解】对于A,因为>=cosx是周期函数，在（0,+s）上不单调，故A错误；

对于B,〉=2国在（0,+"）上是了=2"，单调递增，故B错误；

对于D,>=是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为歹轴，

所以它在（0,+8）上为增函数，故D错误；

对于C,只有>=忒2=与这个函数在（0,+“）上单调递减，故C正确.

X

故选：C

2.（2024・吉林•模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.=B.f（x）=tanxC./（x）=x3-—D.f（x）=Irrv

【答案】C

【分析】利用奇函数的定义=即可判断四个选项的奇偶性，只有3、C是奇函数，又正切函

数在（0,+8）上不是单调递增函数，而函数/（无）=x3的导函数恒大于零，所以只有C正确.

【详解】对于A,.../（_对=（_对<=@产，\/（x）为偶函数，故A错误；

对于B,,•・/（-x）=tan（-x）=-tanA：=-/k）,\/（x）为奇函数，又/（x）=tanx在（0,+。）不满足单调递增定

义，所以B错误；

31311

对于c,=1）+—=-/6）,\/（尤）为奇函数，/,（x）=3x2+—>0,\/（无）在

区间（0,+。）上单调递增，故C正确；

对于D,y=lnx是非奇非偶函数，所以D错误.

6

故选：c.

考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值

典例引领

1.（2023・全国•高考真题）设函数/（x）=2*（1）在区间（0,1）上单调递减，贝IJ。的取值范围是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+»）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数了=2工在R上单调递增，而函数/（x）=28-°）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数y=x（x-4）=（x-g2-3在区间（0,1）上单调递减，因此2n21,解得/2,

所以。的取值范围是[2,+s）.

故选：D

2.（2024•全国•高考真题）已知函数/（刈=]r2：2"："/<,在R上单调递增，则。的取值范围是（）

[e+ln（x+l）,x>0

A.（-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo）

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/（无）在R上单调递增，且尤20时，/（尤）=e'+ln（x+l）单调递增，

则需满足2x（-1）,解得-”“wo,

-tz<e°+In1

即〃的范围是[TO].

故选：B.

即0^（

1.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）函数13=/—）在（2,3）上单调递减，贝心的取值范围是（）

A.[6,+co）B.（-00,6]

C.（-oo,4]D.[4,+00）

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性可得y=x（x-/）的单调性，从而可求得/的取值范围.

7

【详解】因为函数？=6、在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数了=尤(》-。在(2,3)上单调递

减，贝23,解得此6.

2

故选：A

/\flog^X,X>1

2.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(尤)=]。+2(-1b+°_6丁<1(。>0且。#1)在定义域内是增函

数，则。的取值范围是()

A.(2,3)B.(2,+8)C.[2,3]D.(1,4)

【答案】C

【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.

【详解】由函数/'(上修：鼠皿+…、<一

a>\

因为函数“X)在定义域内是增函数，则满足121

-l+2(6f-l)+a-6<log"

解得24443,即实数。的取值范围为[2,3].

故选：C.

考点三、根据函数单调性解不等式

典例引领

1.(2024•江西•模拟预测)已知奇函数”尤)在R上单调递增，且/'⑵=1,则不等式/(x)+l<0的解集为()

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-2,+co)D.(-<»,-2)

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.

【详解】由/(尤)+1<0,可得/(x)<-l,

因为/(x)是奇函数，且为2)=1,所以/(x)</(-2),

因为/(x)在R上单调递增，所以》<-2,

故不等式1卜)+1<0的解集为-2).

故选：D

2.(2020・山东•高考真题)若定义在我的奇函数/(x)在(-*0)单调递减，且/(2)=0,则满足叭尤-1)20的x

的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+^)B.[-3,-l]U[0,l]

8

C.[-1,0]31,+8)D.[-l,0]u[l,3]

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数"X)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等

于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在尺上的奇函数/(x)在(-吗0)上单调递减，且"2)=0,

所以“X)在(0,+⑹上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当xe(-叫-2)u(0,2)时，/(无)>0,当xe(-2,0)U(2,+s)时,/(x)<0,

所以由4(x-l)20可得:

fx<0fx>0

或或

解得-1WxWO或1VXV3,

所以满足切(xT)20的x的取值范围是[-1,0]。口,3],

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

3.(2024・四川南充•二模)设函数〃x)=sinx+e、-er-x+3,则满足〃x)+〃3-2x)<6的x的取值范围是

()

A.(-℃,1)B.(1,+<»)C.(3,+00)D.(-℃,3)

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=〃x)-3,说明其单调性和奇偶性，〃幻+/(3-2幻<6转化为8(刈—)解不

等式即可求解.

【详解】/(x)=sinx+e*-er-x+3,

设g(x)=/(x)-3=sinx+e*-e7-x,

又易知g(-x)=-g(x),.[ga)为R上的奇函数，

又g'(x)=cosx+ex+e-x-l>cosx+2-l=l+cosx>0,

g(x)在R上单调递增，

X/(x)+/(3-2x)<6,

[/(x)-3]+[/(3-2x)-3]<0,

gW+g(3-2x)<0,

.-.g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数，

.-.g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上单调递增，

x<2x-3,

..x>3,

故满足〃x)+〃3-2x)<6的尤的取值范围是(3,+功.

故选：C.

9

即时检测

.____________

1.(2024•湖北武汉•二模)已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式〃2无)的解集为()

A.B.C.口.(-1，与

【答案】A

【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.

,,fY2Y>0

【详解】由/(x)=xW=<{；-n>故/(X)在R上单调递增，

[-X,x<0

由,有2x>]_x,即x>!

故选：A.

2.(2024•吉林长春•模拟预测)已知函数/卜)=|3"-31,则不等式/'(2X-1)-/卜)>0的解集为()

A.1一■»,.+■»)B.(一叫'C.D.(1,+co)

【答案】A

【分析】判断了(x)的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.

【详解】/("=|3:3)，定义域为R,又/(-x)=『-3]=/(x),故y=/(x)为偶函数；

又当x>0时，y=3、,y=-3-T均为单调增函数，故g(x)=3*-3T为(0,+刃)上的单调增函数；

又g(0)=0,故当x>0时，g(x)>0,则此时y=/(x)=g(x)为(0,+co)上的单调增函数，故x<0时，y=/(x)

为单调减函数；

/(2x-l)-/(x)>0,即〃2XT>/(X),则|21|>国,即(21)",3X2-4X+1>0,

也即(3x-l)(x-l)>0,解得卜(1,+s).

故选：A.

3.(2024•全国•模拟预测)己知函数f(x)=3i-32、则满足/(无)+/(8-3尤)>0的x的取值范围是()

A.(-叫4)B.(-»,2)C.(2,+co)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】设g(x)=3,-3-工，即可判断g(x)为奇函数，又/(x)=g(x-2),可得〃尤)图象的对称中心为(2,0),

则/(x)+/(4-x)=0,再判断/(x)的单调性,不等式/(x)+/(8-3x)>0,即/(8-3x)>/(4-x),结合

单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】设8(力=3「3'尤©R,贝!]g(一工)=3一工一3"=-g(x),所以g(x)为奇函数.

又/(x)=3一一32T=3>2_3-(2)=g卜_2),

则〃x)的图象是由g(»的图象向右平移2个单位长度得到的，

10

所以/（X）图象的对称中心为（2,0）,所以〃x）+/（4-x）=0.

因为＞=3,在R上单调递增，了=3一，在R上单调递减，

所以g（x）在R上单调递增，则/（尤）在R上单调递增，

因为/。）+/（8-3x）＞0=/（x）+/（4-x）,

所以/（8-3x）＞/（4-尤），所以8-3x＞4-x,解得x＜2,

故满足/四+/（8-3工）＞0的x的取值范围为（-8,2）.

故选：B

考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,/(%)>/(%-1)+/(%-2),且当x<3时/(x)=x,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C.”10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/■⑴=1,〃2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当尤<3时〃x)=x,所以〃1)=1J(2)=2,

又因为〃x)>/(x-l)+/(x-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/(1)=1,/(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

2.(2023・全国•高考真题)已知函数/(x)=e-Gf2.记。=/修力=/,c=/半，则()

\2)I27\2)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

11

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g(x)=-(x-l)2,则g(x)开口向下，对称轴为x=l,

因为彳-1-l--y-=而;J,^(76+73)2-42=9+6A/2-16=672-7>0,

所以¥-1/1一?]=^^4>。，即如一i>i一"

2222?2

由二次函数性质知g件)<g(y-)，

因为^^-1-^~~2~;而(&+—甲=8+4/5—16=4/"^—8=4(/1?—2)<(,

即母_1<1一曰，所以g(乎)>gg>

综上，g(¥)<g(乎)<g(字)'

又〉=二为增函数，故a<c<b,BPb>c>a.

故选：A.

3.(2024•宁夏银川•二模)定义域为R的函数"X)满足/(x+2)为偶函数，且当王<2时，

[/(%)-/(再)](%-再)>。恒成立，若Z)=/(lnl0),c=〃3；)，贝巾b,c的大小关系为(

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.

【详解】当项<2时，"(2)-/(再)]区-再)>0恒成立，

即当再<迎<2时，/(X2)>/(Xj),函数/(x)在(-8,2)上单调递增，

又〃x+2)为偶函数，即〃x+2)="r+2),所以函数"X)关于x=2对称，

则函数/(x)在(2,+8)上单调递减，

所以。=川)=〃3)

因为10<图所以10<电<e3

所以2<lnl0<lne3=3<3W'

(5\

所以/(lnl0)>/(3)>/34,即c<"b,

\7

故选：D.

即时检测

12

L(2024•辽宁丹东•二模)已知函数/(x)=%3一％,a=f--,b=/(log23),c=则()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据题意，利用导数求得函数/（x）的单调性，结合对数的运算性质，进而求得的大小关系,

得到答案.

【详解】因为函数/'（x）=x3-x,可得/■'（%）=3--1,

当xe(_oo,一中)时,/%)>0；当xe(',+8)时,>0；

》€（岑当时,r（x）＜o,

当

所以“X）在（_*_,）和（',+8）上递增，在

上递减,

因为一，＜；＜，，可得/（_，）＞/（；），所以°＞c,

lo

又因为子<〃}=，g23-1=log23-log22V2>0,

所以log23>T，所以/(log?3)>/(|)>/(-1),即…，所以c<a<6.

故选：D.

2.(2024・北京•模拟预测)函数/卜)="，记4=/[-；]6=/(3-"5),C=/(1085口，贝|]()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】由题意得/'（x）是R上的偶函数，由复合函数单调性可知/（x）=储片关于x在（0,+8）上单调递减,

进一步比较对数、指数幕的大小即可求解.

【详解】注意到/（x）定义域为全体实数，且/（-、）=（_：+]=/（》）=，,

所以/（X）是R上的偶函数，

从而a=d==小吗=〃1脸2），

因为了=x?+1在（0,+8）上单调递增，

所以“X）=七关于X在（0,+8）上单调递减,

13

25

而log52<log55=-<-I==—=3°-，

所以<C.

故选：B.

3.（2024•宁夏石嘴山•三模）若定义在R上的偶函数在[0,+动上单调递增，则/，

的大小关系为（）

A.>/（_.>/（「）B./（ln|]>/（e-2）>/[-1）

C.„小||>/甲）D,小n,

【答案】A

11q

【分析】利用幕函数的单调性以及对数运算判断处0<e-2=[<；<ln再结合/（x）的奇偶性以及单调性,

即可得答案.

【详解】因为/（尤）是定义在R上偶函数，所以

1

因为消<（卫¥=3,则?<ln],所以0<「=±<?<ln=,

（81232e-32

因为/（x）在[0,+e）上单调递增，所以/（in：]/（片2）,

即小

故选：A.

考点五、根据函数的奇偶性求参数值

6典例引领

1.（2023・全国•高考真题）已知=是偶函数，则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/（力=壬为偶函数，则〃x）-〃T）=上-31=#1上工o-

e—1-1e-^-1-1

又因为X不恒为0,可得e-e”号=0,即e，="3，

则X=（Q—1）X,即1=4—1,解得Q=2.

14

故选：D.

9Y-1

2.(2023•全国•高考真题)若〃x)=(x+a)ln若•为偶函数，则。=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为/(x)为偶函数，贝I]/(I)=/(-I),(1+a)In|=(-1+a)In3,解得。=0,

当a=0时，/(x)=xln^^,(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-L

2x+122

则其定义域为，或关于原点对称.

/(川=(一》)1]；[；=(T)ln卦+6)"X)，

故此时/(X)为偶函数.

故选：B.

3.(2023•全国•高考真题)若/(x)=(x-iy+ax+sin[x+|^为偶函数，则。=

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到从而求得。=2,再检验即可得解.

【详解】因为>=/(x)=(x-iy+ax+sin卜+|^=(x-l『+qx+cosx为偶函数，定义域为R,

71

2

则兀a=（'1'+1；1）=2兀，故a=2,

止匕时/（X）=（X-1）2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(一X)=(—%)2+1+COS(T)=x2+1+ccsx=/k),

又定义域为R,故为偶函数，

所以a=2.

故答案为：2.

即时根(

1.(2024・陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=x3-x+lnk+而71xeR)为奇函数，贝!]a=()

15

D.41

【答案】c

【分析】由奇函数的定义可得〃x)+/(-x)=O,结合对数的运算性质计算即可求解.

【详解】因为/(x)为R上的奇函数，所以〃x)+〃-x)=O,

BPx'-x+ln(x+Ja+x~)-x3+x+In(-x+\/tz+x~)=0,

整理得lna=O,解得。=1.

故选:C

2.(2024・山东•模拟预测)已知函数/absindl+A'］是偶函数，则根的值是(

A.-2

【答案】A

【详解】因为函数/(x)=sin"l+D是偶函数，所以/'(-X》八司,

所以-1+旦=1+'^,所以(1一,)以=2,即皿=_2,故A正确.

xxx

e-ll-ee-l

故选：A.

n.e"—，+X—1X>0

3.(2024•上海奉贤•三模)若函数'='为奇函数，则a+6+c=

x2+bx+c-l,x<0

【答案】3

【分析】利用函数是奇函数得到〃T)=-〃X),然后利用方程求解。,6,C,即可得解.

【详解】因为函数V=/(x)=公犬1”：。为奇函数，

[x+bx+c-l,x<0

所以〃r)=-/(x),

当%>0时，贝!J一％<0,

则f(一%)——bx+C—1——^Cl'QX—%2+X-1)=-Q'QX+%2—X+1,

即ci,QX+(1—b)x+c—2=0,

a=0a=0

所以1—6=0,解得卜=1,

。-2=0c=2

所以a+b+c=3.

故答案为：3.

16

考点六、抽象函数奇偶性的综合应用

中典例引领

1.（2021•全国•高考真题）设函数“X）的定义域为R,/（x+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，当xe［l,2］时,

f（x）=ax2+b.若/'（（））+/（3）=6,则/［|］=（）

9375

A.——B.一一C.-D.-

4242

【答案】D

【分析】通过了（x+l）是奇函数和/（尤+2）是偶函数条件，可以确定出函数解析式/（尤）=-2/+2,进而利

用定义或周期性结论，即可得到答案.

【详解】［方法一］:

因为/（x+1）是奇函数，所以一x+l）=-/（X+1）①；

因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(f+2)②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=-(4.+6),由②得:/(3)=/(l)=a+Z),

因为/(0)+/(3)=6,所以-(4a+6)+。+6=6=>a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=-/(l)=/(l)=0ob=2,所以/(x)=_2/+2.

思路一：从定义入手.

所以唱.

［方法二］:

因为/（X+1）是奇函数，所以/（T+1）=-/（》+1）①;

因为/（X+2）是偶函数,所以/（x+2）=/（_x+2）②.

令x=l,由①得：〃0)=-/(2)=_(4a+6),由②得:/(3)=/(l)=«+Z),

因为/(0)+/(3)=6,所以-(4a+6)+a+6-6=>a--2,

令x=0,由①得：/⑴=一/(1)=/(1)=0=6=2,所以〃x)=_2/+2.

思路二：从周期性入手

17

由两个对称性可知，函数/(X)的周期7=4.

故选：D.

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计

算的效果.

2.(2024•河南郑州•模拟预测)已知了=/(无+1)+1为奇函数，则

/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/>()

A.-14B.14C.-7D.7

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.

【详解】因为了=/(尤+1)+1为奇函数，

故〃0+l)+l=0n/■⑴=7,

/(1+1)+1=-[/(-1+1)+1]=>/(2>/(0>-2,

/(2+1)+1=-[/(-2+1)+1]^/(3>/J1>-2,

/(3+1)+1=-[/(-3+1)+1]n/(4)+A-2)=-2,

故)(-2)+4-1)+/(0)+〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=-1+3X(_2)=-7.

故选：C.

3.(2024・河南•三模)(多选)定义在R上的函数"X)满足/(v+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,贝IJ()

A./(0)=0B./(I)=0

C./1+1)为奇函数D./(x)单调递增

【答案】BCD

【分析】利用赋值法可求/(1)=0及/(x+l)=x,故可判断各项的正误，也可以由题意得

/(刈+1)=f(y)f(x)+f(x)+y,结合条件/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x推出/⑴的解析式，进而即可求解

判断ABCD四个选项.

【详解】法L令x=y=0,贝1]/(1)=r(0)+〃0)=〃0)(〃0)+1),

令x=0,j=l,则〃1)=/⑴(/(0)+1),

若/⑴=0或/(。)=0，

若/(0)=0，则/(1)=/«/(0)+/(0)+x即/(I)=/(x)/(0)+/(0)+x=x,

由x的任意性可得/(l)=x不恒成立，故/(0)=0不成立，故;■⑴=0,

故A错误，B正确.

令y=1，则/(X+1)="X)/⑴+/⑴+X=x,

故〃x+l)为奇函数，且/(x)=x-l,它为R上的增函数，

18

故CD正确.

法2：由条件/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,得/■(xy+l)=/(y)/(x)+〃x)+y

n/(y)+X=/(x)+ynf(y)-y=f(x)-x,

由的任意性得/(x)=x+C，。为常数，

故代回去f(xy+1)=/(x)/(y)+/(了)+x得：

◎+l+C=(x+C)(y+C)+y+C+xo(C+l)(x+y+C-l)=0,

所以由羽V的任意性