函数模型及其应用-2025年高中数学一轮复习

第07讲函数模型及其应用

（3类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、幕函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考复习的重要内容

IN.考点梳理，

知识点1三种常见函数模型的性质

知识点2常见函数模型

核心知识点

知识点3解函数模型问题的步骤

函数模型及其应用考点1指数函数模型

考点2对数函数模型

核心考点

考点3建立拟合函数模型解决实际问题

知识讲解

1.三种函数模型的性质

y=axy=logaXy=xn

（心1）（Al）（心0）

1

在(0,+°°)±

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表随〃值变化而各有

图象的变化

与y轴平行现为与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型於）="+6（0,6为常数，aWO）

二次函数模型=ax2-\~bx~\~c（a,b,c为常数，QWO）

反比例函数模型fix）=-+b（k,6为常数且左WO）

x

指数函数模型J（x）=ba+c（afb,c为常数，〃>0且qWl,bWO）

对数函数模型/（x）=61ogax+c（Q,b,c为常数,Q>0且QWI,bWO）

a

募函数模型J（x）=ax+b（afb,a为常数，aWO,aWO）

3.解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

考点一、指数函数模型

典例引领

1.(山东•高考真题)基本再生数R。与世代间隔了是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型:

/⑺=e”描述累计感染病例数/(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与%,「近似满足R0=l+”.有

2

学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得/«）=e"=e°g,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间

为％天，根据非蹩+a）=2e°.两,解得"即可得结果.

a—1

【详解】因为凡=3.28,T=6,R0=\+rT,所以「=±^^=0.38,所以/（。=e"=，

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为％天，

038f

贝!]e°38（M）=2e-,所以eg%=2,所以0.3甑=In2,

In20.69,丁

所以4=---X----X1.o8天.

0.380.38

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

2.（2024•陕西安康•模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用

/⑺表示从"0开始，晶体管数量随时间f变化的函数，/（0）-1000,若f是以年为单位，则/⑺的解析式

为（）

A./。）=1000+^^B./«）=1000x2'

C./（?）=1000x2^D.7（0=1000+2（

【答案】C

【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得/⑺为指数型函数,

即可判断.

【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，

根据时间f以年为单位，以及"0）=1000,得了⑺=1000x2匕

故选：C.

3.（2024高三下•全国・专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直

以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例P

-0.968+Ax

与小微企业的年收入X（单位：万元）的关系为P而丁（丘R）.已知小微企业的年收入为80万元时,

其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：

ln3®1.0986,In2®0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

【答案】A

3

-0.968+Ax

【分析】先根据题中数据代入计算函数尸=/^^（左€1^中参数左的值，然后计算还款比例为40%时的

值即可.

-0.968+80A:

【详解】由题意知50%=旬…，化简得e368+8。*=1,

]+g―u.yoo+oUK

故一0.968+80左=0,得太=0.0121.

-0.968+0.0121%n

则当尸=40%时，40%=e,化简得e-°-968+0012U=；,

]+g―u.yoo+u.uizix3

两边同时取对数，W-0.968+0.012lx=In2-In3~-0.4055,得xa46.49,

故当实际还款比例为40%时，小微企业的年收入约为46.49万元.

故选：A

即时检测

I______________________

1.（2024•湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同

款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法,设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是〃小〃eN）万,

则m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【分析】根据题意，列出不等式，解之并取近似值，即得加的值.

4

【详解】依题意，ZM（I-2O%）（I-IO%）<8,解得冽v—=1£22291

0.8x0.96561

贝ij加415.24,又加EN,则加=15.

故选：C.

2.（2024・广东茂名•一模）Go%e〃z曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生

长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f（x）=k£（其中左>0/>0,

。为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现〃=e.若工=1表示该

新产品今年的年产量，估计明年（x=2）的产量将是今年的e倍，那么6的值为（e为自然数对数的底数）（）

A.B.C.75-1D.V5+1

22

【答案】A

【分析】由。=e,得到/（x）=左•一、，分别代入x=1、x=2,得到〃1）和〃2）的值，进而得到=峭3'=e

keb

求解即可.

【详解】由",得到/（无）=he〃r,

4

.•.当X=1时，f{\}=k-eb'；

当x=2时，〃2）=左e『.

依题意，明年（》=2）的产量将是今年的e倍，得：J=e/-"=e,

keb

■—~=1,即62+6_1=0,解得b=—1-也.

b-b2

,n.>/5—1

■.■b>0,；.b=------

2

故选：A.

3.（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类

果蔬的保鲜时间M单位：小时）与储藏温度x（单位：。C）满足函数关系.y^^+h（a,b.为常数），若该果蔬在

7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中

果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.

pja+b_^00[[

人+「“,则/"==,即e7"=g显然°<0,

{e=3293

设物流过程中果蔬的储藏温度为fC,于是>96=3二21.=e-7Je2^=/也，

解得以+6214Q+Z）,因此才414,

所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.

故选：A

考点二、对数函数模型

甲典例引领

1.（2024•湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯・

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为加=1©-1乜，其中W表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数据：尼2名0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

【答案】B

【分析】根据题意，得到M=lg5000-lg0.002,结合对数的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,

5

可得M=lg5000-lg0.002=1g-1g=4-lg2-（lg2-3）=7-21g226.4.

故选：B.

2.（2024•山东泰安•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常

用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据/和小数记录法的数据「满足£=5+lg%.己

知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为

匕匕，则？的值所在区间是（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】D

【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算求解即得.

【详解】依题意，=两式相减得05=1g匕-1g匕=1g2,

[4.5=5+吆匕匕

解得%=10°'=丽，所以JSe（3,3.5）.

故选：D

3.（2023•全国•高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压

级4=20xlg上，其中常数。。（0>0）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为0M2,2,则（）.

A.px>p2B.02>1023

C.23=10°夕0D.px<100/72

【答案】ACD

【分析】根据题意可知4e[60,90],Zp2e[50,60凡=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：4460,90],“<50,60],4=40,

对于选项A：可得人-JuZOxlgC1■-20x1g--20x1g—,

PoPoPi

因为则y4=20xlg隆0,即lg旦NO,

PlPl

所以包21且R,2>0,可得故A正确;

Pl

6

对于选项B：可得4rL=20xlg--20x1g—=20xlg—,

PoPoP3

因为J-4=4—40210,贝ij20xlg&210,即lg三

23232

所以&»而且P2，P3＞。，可得02次必，

23

当且仅当42=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为J=20xlg匹=40,即1g匹=2,

PoPo

可得星=100,即p3=100p0,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：Ln-Lp2=20xlg—,

<90-50=40,贝ij20xlg且W40,

即lg&V2,可得且W100,且百也＞0,所以041002，故D正确;

PlP1

故选：ACD.

即时检测

I____________________

1.（2024•重庆•模拟预测）物理学家本•福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以"开头的数出现的

w-L1

概率为8（〃）=1。&匕，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律,

n

在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（）倍（参考

数据：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得/⑴=lg2/°（9）=l-21g3,结合对数的运算法则，即可求解.

ri-L1

【详解】由题意，以〃开头的数出现的概率为片（〃）=1。&巴巳,

n

可得耳。（1）=lg2,4。（9）=吟=Igl0-lg9=1-21g3,

所以露二言…

故选：C.

2.（2024・江西•二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程

中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA的

7

数量X"与扩增次数〃满足lgX“=〃lg(l+p)+lgX。，其中X。为DNA的初始数量，P为扩增效率.已知某被

测标本DNA扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率。约为()

(参考数据：1O025«1.778,1O-025«0.562)

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

【答案】D

【分析】由题意七=10000招，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得.

【详解】由题意知，lg(lOOOOXo)=161g(l+jp)+l&Yo,

4

即lgl0+lgXo=161g(l+p)+lgX。，即4=161g(1+p),

所以lg(l+p)=；=0.25,则l+p=10°25°i.778,解得2*0.778=77.8%.

故选：D.

3.(2024•四川•模拟预测)2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km

自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/(单位：W/n?)表示声音在传播途

径中每平方米上的声能流密度，声强级Z(单位：dB)与声强/的函数关系式为C=A)lg(a/),其中,为基

准声强级，。为常数，当声强/=此时，声强级Z=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：

声源与声源的距离(单位：m)声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为。4，A，则下列结论正确的是()

A.。=30B./1>/2C./2>10/3D.I,<100/2

【答案】B

【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级乙，即可判断A；计算右-4可得"A大小关系，

即可判断B,D；计算4可得A/大小关系，即可判断.

【详解】对于A：因为声强/=3时，声强级£=20dB,

a

所以/=41g,•—1=20,解得4=20,故A错误；

对于B：因为4-&=20[lg(aZ1)-lg(al2)]=201g30,

A

所以721,即4上右，故B正确；

8

对于c：Z2-£3=20[lg(a/2)-lg(a/3)]=201g^>20-10=10,

I11

所以即人之京万人，故C不正确；

对于D,右-4=20[1g（盟）-1g（吗）]=201g^<80-20=60,

所以，W103,即《V1000/2,故D不正确.

故选：B.

考点三、建立拟合函数模型解决实际问题

典例引领

1.（全国•高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国

航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯

联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4

点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为地月距离为R,4点到月

球的距离为心根据牛顿运动定律和万有引力定律，：•满足方程：

----------J+T=(R+r)T-.

3

(7?+r)2r-R

设。==，由于a的值很小，因此在近似计算中;则r的近似值为

【答案】D

【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立0的方程，解方程、近似计算.题

目所处位置应是“解答题"，但由于题干较长，易使考生"望而生畏"，注重了阅读理解、数学式子的变形及运

算求解能力的考查.

V

【详解】由a=—,得fR

R

M,M.、M

因为-----T=(R+')-T~，

〃(K+r)2户''R3

+旦

所以=(1+

心(1+々)2&2A2

9

2a5+3a4+3tz3

即丝1=«[(l+a)------二]=73a3

(1+a)2—(1+a)2

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式

子的变形出错.

2.(2024•陕西商洛■模拟预测)人工智能(ArtificialIntelligence),英文缩写为//.它是研究、开发用于模拟、

延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使

机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送、机器人测控体温等

都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生

产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，

每年年底各项人员工资、税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第"年年底企业

除去各项支出资金后的剩余资金为％万元，第机("eN*)年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数，*

的最小值为.(Ig2。0.3010;lg3x0.4771)

【答案】6

a

【分析】由题意中的递推，得证数列｛%-3000｝是以3000为首项，；为公比的等比数列，求出通项后解不

等式%>21000即可.

【详解】由题意得，«[=5000(1+50%)-1500=7500-1500=6000,。用=(1+50%)-1500=-1500.

即°用-3000=：(%-3000),%-30005m7叫二,

2%-3000。“-30002

3n-1

数列｛a〃-3000｝是以3000为首项，万为公比的等比数列，即%-3000=3000x3

=3000x+3000>21000,

lg6Ig2+lg30.3010+0.47710.7781

m-l>log6==«4.42

3^I-lg3-lg2m>6,

20.4771-0.30100.1761

所以加的最小值为6.

故答案为：6.

即时检测

■一

1.(2024・重庆•二模)英国经济学家凯恩斯(1883-1946)研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系,

10

强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核

心要素：国民收入丫，国民消费c和国民投资/,假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：

=q+°y•其中常数旬表示房租、水电等固定消费，“。叫为国民"边际消费倾向".则（）

A.若固定/且/汽），则国民收入越高，"边际消费倾向“越大

B.若固定/且¥加，贝IJ"边际消费倾向"越大，国民投资越高

C.若。=£，则收入增长量是投资增长量的5倍

D.若。==4，则收入增长量是投资增长量的微1

【答案】AC

【分析】利用已知可得可判断A；由/=可判断B；若。=g,可得丫=54+5/，

由导数的意义可判断C；同理可判断D.

[Y^C+I

【详解】由题意可得固定/且/30,又「上所以1旬+。丫+/,

[C=aQ+ai

所以。=1-4」，由于4,/为定值，所以可得y增大时（国民收入越高），

。增大（"边际消费倾向”越大），故A正确；

由上可得/=y-y.a-4,为定值，故。增大，/减小（投资越小），故B错误；

4

若由丫=即+。丫+/,可得y=5〃o+5],

AY

由导数的定义可得芸=5,所以可得收入增长量是投资增长量的5倍，故C正确；

A/

同C项讨论可得若。二-：4，可得9y=54+5/,因此收入增长量是投资增长量的15倍，故D错误.

故选：AC.

2.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中夕是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=户.当夕,$不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

【答案】C

【分析】由题意可得?=；1"CS,,c=病20，结合选项，依次判断即可.

11

ii2尸

【详解】由题意，f=~pCSv2,P=Jv,所以PuyCSv"c=-——,

A：当P,S,。不变，v比原来提高10%时，

贝I」4=；pCS（1+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，4=1.33:pCS/,

所以尸比原来提高不超过40%,故B错误；

2P2P2P

C:当P，S,尸不变，V比原来提高10%时，G=H^=云次=075说，

所以C比原来降低不超过30%,故C正确：

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

Ml.好题冲关.

基础过关

一、单选题

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的

关系为1郎=4.8+15",2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量

记为£”2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为5，则比值与的整数部分

Ei

为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由对数运算性质可得3善，进而可得与，结合5’<1000<6,可得结果.

E2

【详解】由已知得lg£[=4.8+1.5x5.7,lgE2=4.8+1.5x52,所以1g善=L5x0.5=0.75,

所以且=10°，5=10]=痂丽，

E2

因为5,<1000<64,所以5<“1000<6,

所以粤=痂面e（5,6）.

E2

故选：B.

2.（2024•北京昌平•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种

绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从

12

90℃开始，经过/min后的温度为了℃,可选择函数>=60x09+20（120）来近似地刻画茶水温度随时间变化

的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）

（参考数据：lg2yo.30,lg3ko.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

2

【分析】令60x09+20=60,则09=丁两边同时取对将怆2“0.30,lg3。0.48代入即可得出答案.

【详解】由题可知，函数了=60x0.9'+20（拈0）,

2

令60x09+20=60，贝1」0.9'=§,

2Q

两边同时取对可得：炫09=坨鼠即Hg历=/（21g3-l）=lg2-lg3,

Ig2-lg30.30-0.480.18

即/=巨———«-----------:4.5min.

21g3-l2x0.48-1004

故选：B.

3.（2024・陕西安康•模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为左立方米，每天往这段河流

排水〃立方米的污水，则;天后河水的污染指数机⑺=:+仿。为初始值，/>0）.现有一条被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要

使河水的污染指数下降到初始值的;，需要的天数大约是（参考数据：山7gl.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【答案】C

【分析】由已知化简函数式得加⑴=加°e「高，再利用约/天后，河水的污染指数下降到初始值的;，可得方

-L111

程机声取=1m0,然后两边取对数得-京f=最后利用已知的对数值可计算得到结果.

【详解】由题意可知：r=0,7=60,所以机⑺=J+」=/e6。'

kk\kJ

设约，天后，河水的污染指数下降到初始值的即加卢6。=1外,

所以-Lf=ln」=f=601117*60x1.95=117,

607

故选：C.

4.（2024・四川凉山•三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量了（单位:

mg/L）与过滤时间1小时的关系为y=%e"（为,“均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，

那么当污染物过滤掉50%还需要经过（）（最终结果精确到lh,参考数据：lg2，0.301,lg3«0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

13

【答案】D

【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数。，即可解出.

a"

［详解】V废气中污染物含量了与过滤时间t小时的关系为y=yoe-,

令/=0,得废气中初始污染物含量为＞=%,

又：前5小时过滤掉了10%污染物，

.•.（1-10%）%=%晓"，则inw_lnT，

Cl——

55

・,•当污染物过滤掉50%时，（1-50%）%=邓一"，

Inl

In25In251g251g2

则”」=»33h,

10

一QQin,101-21g3

lgy

9

当污染物过滤掉50%还需要经过33-5=28h.

故选：D.

5.（2024•江西•模拟预测）酒驾最新标准规定：100ml血液中酒精含量达到20mg的驾驶员即为酒后驾车，达

到80mg及以上认定为醉酒驾车.如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为L2mg/ml,从此刻起停止饮酒，血

液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：

lg2»0.301,lg3-0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.

【详解】由1.2（1-25%）'＜0.2.即＜1,两边取对数可得,

lg|

一鹿一

7=32+33~0778=6224

Ig3-lg421g2-lg30.125-'

叼

故至少经过7个小时才能驾驶.

故选：B

6.（2024・全国•模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可

以用函数R=15e1K（。为常数）表示.若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30,则当玉米幼

穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（）（参考数据：历2。0.7,ln5.5al.7）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用函数R=15e%由题意已知x=7,R=30,求出待定系数再用火=82.5,去求解了。17,

当然这里面有取自然对数及取值计算.

【详解】由题意知30=15e7",;」7。=2,则等式两边同时取自然对数得7a=In2ko.7,.•.”0.1,

14

:.R=l5e01x.­.-82.5=15e01x,e01x=5.5,，O.lx=ln5.5a1.7,.".x«17,

故选：C.

7.（2024•全国•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五

分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录法的数据/满足工=5+lgK.已知小

明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为匕匕，

则上（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【分析】根据题意得到方程组，求出冷河，根据25。98<100<35=243得到丽武2.5,3）.

【详解】依题意，［?二：+的，两式相减可得，04=1g匕-1g匕=1g1,

故去=10"=痂M而25笈98<100<35=243,故此前e（2.5,3）.

故选：C.

8.（2024・江苏•模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，

例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2OO8年5月12

日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的

（）倍

A.1B.需C.IO15D.1048

【答案】C

【分析】由题意分别求得震级"=8.0和M=7.0时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比.

【详解】设里氏震级"=8.0时释放的能量为片，里氏震级M=7.0时释放的能量为其，

则lg&=4.8+1.5x8=16.8,lg£2=4.8+1.5x7=15.3,

153

所以片=10整8,£2=10,

所以丝=1（）38-15.3=101.5,

E1

即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的102倍，

故选：C.

9.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度V（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

15

A.0=0.5"+〃B.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogav+b

【答案】C

【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.

【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］；第二，在定义域单调递增且单位

增长率变快；第三，函数图象过原点.

A选项：函数。=05+。在定义域内单调递减，故A错误；

B选项：函数0=av+6的单位增长率恒定不变，故B错误；

C选项：Q=aM+6/+cv满足上述三点，故C正确；

D选项：函数。=8ogaV+6在v=0处无意义，D错误.

故选：C

/A

4_

。_

6_

2_

_

o

2_

~O20406080100120140160*

10.（2024•宁夏银川•一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为

Q=ktp,其中。（单位mAh）为电池容量损失量，〃是时间f的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定,

后是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂

电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得。=0.5,相关统计学参数尺2>0.995,且预测值与实际值

误差很小.在研究M对0的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化

规律为左/=e（­）〃，经实验采集数据进行拟合后获得/=2.228,8=1.3,相关统计学参数尺？=0.999，

且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后，电容量损失量约为（）

（参考数据为：e3-22*25.08,e3-232«25.33,e3-265®26.26,e3-628®37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【答案】C

【分析】根据题意，得到。=e0228+L3M）/5,将M=80%=0.8,f=16,结合