高考数学专项复习：活用隐圆的五种定义妙解压轴题（五大题型）解析版

活用隐圆的五种定义妙解压轴题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................2

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长...................................2

题型二:隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值.............................5

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90。....................................8

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值'对角互补、数量积定值..................10

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值................................12

03过关测试....................................................................17

方法技巧与总经

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定

点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90。、边与对角为定值且

对角互补、到两定点距离之比为定值。

解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性

质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性

质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰

明了。

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

【典例1-1】已知是单位向量，a-b=O,若向量满足任一£+司=1,则E-司的取值范围是（）

A.[V2-1,V2+1]B.[1,V2+1]C.[0,2]D.[V5-1,V5+1]

【答案】D

【解析】单位向量满足限在=0,即作厉=2,砺=5,以射线CM,08分别作为x、y轴非负

半轴建立平面直角坐标系，如图，

a=(1,0),S=(0,1),设e=(x,y),贝［jc—a+B=(x_l,y+l),由|c—a+B|=］得：(x-1)2+(y+1)2=1,

|x=l+cos0_

令［尸-/出户"。)，ipC=(l+cos^-l+sin0),

「-1|=J(1+cos6)2+(—2+sin吓=J6-2(2sin9-cos6)=«-2遥sinQ-0)，其中锐角。满足

r.1

SHI0二

<

2

COS0二

因此，当sin(e-°)=-l时，丘_51=«+2刈=4+1，当sin(6>-0)=1时，£_B京=/6-29=逐-1

所以的取值范围是[石-1,石+1].

故选：D

【典例1-2】已知单位向量值与向量B=(o,2)垂直，若向量不满足M+B+W=i,则同的取值范围为()

A.[1,^-1]B.[?，2[C,[^-1,^+1]D.[卓,3

【答案】C

【解析】由题意不妨设1(1,0),设e=(x,y),贝IJ万+5+O=(l,O)+(O,2)+(x/)=(l+x,2+y).

•.•|a+^+c|=l,.-.(1+X)2+(2+J；)2=1,即表示圆心为(T-2),半径为1的圆，设圆心为P,二

|OP|=7(-l)2+(-2)2=V5.

•.卡卜表示圆P上的点到坐标原点的距离，V5-l<|c|=7x2+y2<V5+l,•••同的取值范围为

故选：C.

【变式1-1】如果圆(》-。)2+"-。)2=8上总存在两个点到原点的距离为正，则实数。的取值范围是(

A.(—3,3)B.(-1/)

C.(-3,1)D.(-3,-1)U(1,3)

【答案】D

【解析】问题可转化为圆。：。-。)2+"-。)2=8和圆。|：/+/=2相交，

两圆圆心距d=-0)2+(«-0)2=V2\a\,

由火_「<|00/<尺+「得2后_也<0旧|<2夜+四,

解得1<|。]<3,gp«G(-3,-1)u(1,3).

故选：D

【变式1-2】设机eR,过定点/的动直线》+2+切(了-7)=0和过定点2的动直线加x-y-加+3=0交于点

P(x,y),则阳|+『科的取值范围是()

A.[75,275]B.[VW,4V5]C.〔2百4石]D.〔5,5点]

【答案】D

【解析】由题意可知，动直线尤+2+加(中7)=0经过定点/(-2,7),

动直线》x-y-加+3=0即m(无一l)-y+3=0,经过定点8(1,3),

•.•冽*0时，动直线x+2+加(y-7)=0和动直线机x-y一加+3=0的斜率之积为一1,始终垂直,

加=0时，也垂直，所以两直线始终垂直，

又尸是两条直线的交点，，尸4，尸8,，|尸4『+回|2=|/02=25.

设/ABP=9,K!j|^|=5sin0,\PB\=5cos,

由归/上0且1PHz0,可得0,1,

二.户/|+\PB\=5(sin0+cos=5^2sin[6+?),

八九713万

♦.50,1,0H---G一,—

444

故选:D.

【变式1-3】设加ER,过定点A的动直线x+叼=0和过定点5的动直线加工-〉-加+3=0交于点尸(x,y),

则|尸叶|尸耳的最大值是()

A.4B.10C.5D.y/10

【答案】C

【解析】由题意可知，动直线工+加以=0经过定点月(0,0),

动直线〃式一>一机+3=0即加(x-l)-y+3=0,经过定点8(1,3),

因为lx加-加xl=0,所以动直线x+加y=0和动直线机x-y-机+3=0始终垂直，

P又是两条直线的交点，

则有尸/_L尸8,PA^+\PB|2=|AB|2=10,

2pg2

i^\PA\-\PB\<l^l+l|=5(当且仅当|尸/|=|必|=6时取"=”),

故选：C.

【变式1-4】设meR,过定点A的动直线x+即=0和过定点8的动直线加x->-机+3=0交于点尸(x,y),

贝『尸/『+|尸切2的值为()

Vio

A.5B.10rD.V17

2

【答案】B

【解析】由题意，动直线x+叼=0经过定点(。,0),则40,0),

动直线蛆-了一根+3=0变形得〃7@-1)+(3-了)=0,则8(1,3),

x+my=0m2-3m3-m

由得尸

mx—y—m+3=0m2+19m2+1

2222

m2—3m3-mm2-3m]2.3

：.\PA^+\PB^=1+I+l

m2+1m2+1m2+1+m+1

(加2一3阴)+(3-加)2+(3冽+1)2+(3加2+刃)

(加2+1)2

43222432

_m-6m+m+9-6m+m+9m+6m+1+m+6m+m

[m1+1)

10/+20加2+io

=----------------7------=10

(m2+l)，

故选：B.

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

【典例2-1】在平面直角坐标系为勿中，尸(2,2),。(-4,0)为两个定点，动点"在直线x=T上，动点N满

足NO2+N02=16,贝/同7+丽|的最小值为

【答案】5

【解析】设点N(x,y),由NQ2+NQ2=16得：x2+/+(x+4)2+/=16,

BPx2+j^2+4x=0,即(x+2)2+y2=4,

在以。。为直径的圆上，不妨设N(2cos"2,2sin9),,

贝U两=(-3,加一2),WV=(2cos6»-4,2sin6»-2),

两+丽=(2cos"7,2sine+"-4),

PM+PN|2=(2cos8-7)2+(2sin9+-4)2=m2-+69+4[(m-4)sin9-7cos0\

=("?-4)2+53+47(w-4)2+49sin(6»-<p),其中。为辅助角,

令J("z-钎+49=t,sin(0~(p)=a,贝I]f27,-1<a<1.

,-.\PM+PN^=t2+4+4at,

令/(/)=/+4+43=。+24+4-4/,t>l,-1<(Z<1,

・・・/«)在［7,+8)上单调递增，

故当/=7时，/⑺取得最小值53+28a,

再令g(a)=53+28a,—1<<1,

显然g(a)在［-1,1］上单调递增，

故。=-1时，g(。)取得最小值53-28=25,

综上，当f=7,。=-1时，|两+而「取得最小值25.

故|西7+丽］的最小值为5,

故答案为：5.

【典例2-2】(2024•江苏盐城•三模)已知4瓦。,。四点共面，BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA，则

|瓦|的最大值为.

【答案】10

【解析】设/C=w,由题意可得：DC=3m,AB=」2Q-m2,

/比+叱―/炉m2-8

则:cosC=

2ACxBC2m

m+2〉,20-加2

AB。构成三角形，则：〈历丁解得:2<m<4,

由余弦定理:

BD=7BC2+CD2-2BCxCDxcosC=,4+9m2-2x2x3mxULll=752+3m2,

V2m

当加=4时，|而|取得最大值为10.

【变式2-1】已知圆C:(x+l)2+(y-2)2=l,点/㈠,0),5(1,0),设P是圆C上的动点，令d=|/M「+|尸川,

则d的最小值为.

【答案】14-40

【解析】设尸(%,%),附「=(%+1丫+%2,阀「=伉一1『+了，

2x2222

I尸+1PBi2=(%-1)2+%?+(毛+1)+方=o-2/+1+%?+x0+2x0+1+y0=2xg+2y0+2

=2(x02+4)+2,

当|。尸|取得最小值时，归/「+|尸砰取得最小值，

由圆C:(x+l)2+(y-2)2=l,则圆心C(-l,2),半径r=l,

易知104nm=|OC|-r=Vu4-l=V5-l,则d皿=2(石一1『+2=14-4G.

故答案为：14-4遥.

【变式2-2】已知圆C:(x+l)2+(y-2『=4,点4-2,0),/2,0).设尸是圆C上的动点，令

d=陷「+|PB|2,则d的最小值为.

【答案】26-875

【解析】

由已知C(f,2),r=2,

2

设P(Xo,yo)，E={(,+2)2+.,\PB\=yl(x0-2)+y^,

所以d=|弱气|尸砰=(/+2)2+"+(2-2)2+诉=2(•+4)+8,

因为|O尸卜,所以当|0P|取得最小值时，d取得最小值，

由|0P|的最小值为|0C|-厂=^(-1)2+22-2=75-2,

故答案为：26-875.

【变式2-3】正方形/5CD与点尸在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且归/「+|尸砰=|PC「，则

归回的取值范围为.

【答案】［2一在2+回

【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则4(0,0),3(1,0),

设点P(x,y),则由1PH2+M2=|PC『'

得X?+y2+(x_］)2+,2=(x_］)2+(y_1)2,

整理得/+(y+l『=2,

即点P的轨迹是以点M(0,T)为圆心，也为半径的圆，

圆心跖到点。的距离为快M=2,所以=2-上,|尸。1mx=2+后，

所以|尸必的取值范围是［2-0,2+收］

故答案为：［2-V2,2+V2］.

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90。

【典例3-1】已知向量2,b,工满足同=4,同=2后，z与否的夹角为:，p-a).(s-a)=o,则R的最

大值为.

【答案】V10+V2

【解析】设0=>OB=b,沃二,

以04所在的直线为x轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系，

因为同=4,网=2a,.与刃的夹角为5，

所以/(4,0),8(2,2),设C(x,y),

即方=2=(4,0),丽=3=(2,2),OC=c=(x,y),

所以d-工二(4一羽一歹)，b-c=(2-x,2-y),

因为(1_1)•(B—l)=0,所以/—6x+8+y2_2y=0,BP(x-3)2+(j/-l)2=2,

圆心坐标为。(3,1),半径「收，同表示点。到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，

因为圆心。(3,1)到原点的距离为d=FF=厢，所以同max=d+r=A+6.

【典例3-2】已知向量落B为单位向量，且万4=0,若3满足(”沙(1己)=0,则同的最大值是.

【答案】V2

【解析】向量为单位向量，且鼠彼=0，

不妨设3=(1,0),)=(0,1),令"(XJ),

则)一/=(1_x,-y),b-c=[-x,\-y),

，伍-研B-e)=-x(l-x)-y(l-y)=0即f+V-x-”。，它表示以为圆心，等为半径的圆，

22

可知同=M+F=^(x-0)+(j；-0)表小圆上的点到原点距离，故其最大值是2r=也.

故答案为：V2.

【变式3-1】已知点Z(-加,0),5(m,0)，若圆。：炉+^2一6%—8y+24=0上存在点尸，使得

PA-LPBf则实数加的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】圆C：x2+y2—6x—8y+24=0即为：(X—3)2+(y—4)2=1，

其圆心为(3,4),半径为1,

设的中点为M,

因为点/(—加,0)，

所以M(0,0),

以N8为直径的圆的方程为：x2+y2=m2>

|CA1|=V32+42=5-

若圆C:J+/一6x-8y+24=0上存在点P，使得PA上PB，

则圆C与圆M有公共点，即网一11454M+1，

解得4W|m|<6，

所以实数加的最大值是6.

故选：C

【变式3-2】已知圆C：(x-iy+(y+3)2=10和点/(5,。，若圆C上存在两点A,8使得例J.俯，则实

数/的取值范围是.

【答案】-5<?<-1

【解析】圆c：(X-1)2+(J+3)2=10,则半径为c(i,-3),

如上图，对于直线x=5上任意一点

当40,5%均为圆的切线时//MS最大，

由题意，例_L俯即N4WB=90°时，此时M为满足题设条件的临界点,

-ACV2

此时有——=sinZAMC>—.

CM2

Vio

当M在临界点之间移动时，_有U昂cl2手V2，即

\CM\考

即有：（/+3『44,解得：

故答案为：-5型4-1

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

【典例4-1】已知大京G是平面向量，同=1,若非零向量方与G的夹角为巳，向量B满足

庐-4鼠0+3=0，则MT的最小值是.

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】设1=5力力=（1,0）3=（加,〃），则由@曰=三得dZ=B|B|cos：x=g正可得y=±6x,

由B2_4gZ+3=0得加2+〃2—4加+3=0,（加―2）2+〃2=],

因此，NT=J（%_=）2+（y_〃『表示圆（加-2了+〃2=1上的点（加,〃）到直线歹=上的点（羽歹）的距离;

故其最小值为圆心（2,0）到直线y=士瓜的距离d=乎=G减去半径1，即6-1.

故答案为：V3-1

【典例4-2】设向量满足。=疗=2,a-b=-2,（a-c,b-c）=6Q°,则，的最大值等于（）

A.4B.2c.V2D.1

【答案】A

因为口=忖=2,a.b=-2,所以cos'3=邮同=一],落3=120。.

如图所以，设方=2,赤=反反=",则0=["，赤=3-3,408=120。.

所以44c8=60。，所以44O2+N/C8=180。，所以4。,5。四点共圆.

不妨设为圆M,因为刀=否-£,所以次2=齐_2展B+7=12-

所以向|=2g,由正弦定理可得"OB的外接圆即圆M的直径为2R=陷=4.

sin4408

所以当为圆M的直径时，『|取得最大值4.

故选：A.

【变式4-1](2024•天津•一模)如图，梯形/5CD中，/切|CD,4B=2,CD=4,BC=4D=百,E和尸分别

为4D与8c的中点，对于常数2,在梯形/BCD的四条边上恰好有8个不同的点P,使得丽.而=彳成立,

则实数几的取值范围是

AB

【答案】D

【解析】以cz＞的中点为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则

^(-l,2),5(l,2),C(2,0),Z>(-2,0),E,F

当p在边CD上时，设尸(x,O),|x|e(O,2)，则2=丽・丽=Y

当尸在边C8上时，设尸(x,4—2x),xe(l,2)，则4=丽・而=J—2+(3—2x)?=5/—12x+至e

卜

当P在边28上时，设尸(x,2),|x|e(O,l)，则几=苑•而=必一;

当尸在边40上时,设尸(x,2x+4),xe(—2,—1)，则

2=PE-PF=%2--+(3-2%)2=5x2-12x+—e-

41'4I204J

综上所述，实数力的取值范围是-二:1故选D.

(44)(204)(204)

【变式4-2](2024•广东广州•一模)在平面四边形48CZ)中，连接对角线2D,已知0=9,BD=16,

4

/BDC=9Q°,sin/=《，则对角线NC的最大值为.

【答案】27

4

【解析】画出图像如下图所示，由于sin/=I、5。=16为定值，故A在以8。为弦的圆上运动，由正弦定

[6

理得2火=工=20,，=10,故圆心的坐标为(8-6),4C的最大值即为C/的值，也即是C0+R的值，由两

点间的距离公式有C0+R=A/82+152+10=27.

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

PB

【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点48及动点尸，若—\\=彳（A>0

且4*1）,则点尸的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏

圆”）.在平面直角坐标系中，已知。（0,0）00,也），直线/：船-y+左+3=0,直线4：x+⑶+3左+1=0,

Q1

若尸为32的交点，则京「。|+总尸。|的最小值为（）

A.巫B.6-3后C.9-3收D.而

2

【答案】A

【解析】当先=0时，ll：y=3,l2:x=-1,此时4,4,交点为P（T，3）.

当左w0时，由4：Ax—y+左+3=0,斜率为左，

由4:x+ky+3k+1=0,斜■率为/,

~"k"

综上，/14.

又4%—+3=0,二直线4恒过颐-1,3）,

4：x+1+左（了+3）=0,：.直线/2恒过尸（-1,-3）,

若尸为4,4的交点，则PEL尸尸，设点尸（x,y）,

所以点尸的轨迹是以所为直径的圆，除去尸点，

则圆心为族的中点C（-l,0）,圆的半径为r=网=3,

2

故？的轨迹方程为0+1）2+歹2=93工-3）,

即x2+y2+2x=8（yW—3）,贝lj有y2=—x2—2x+8.

又0（0,0）,可0,亚）,易知。、0在该圆内,

又由题意可知圆C上一点4（2,0）满足山。|=2,取。（8,0）,

则山斗6,满足灯=3.

下面证明任意一点P（x。）都满足±方=3,即\PD\=3\PO\,

又\PD\=&-8丫+y2=y/(x-8)2-x2-2x+8=J-18x+72=j9(-2x+8),

:.3\PO\=\PD\.

所以3户。|+|尸0|=|尸必+|PQ闫

X\DQ\=^（8-o）2+（0-V2）2=而,

所以g|尸0|+J

如图，当且仅当2尸,。三点共线，且尸位于A。之间时，等号成立

即||尸。|+gpol最小值为年.

故选：A.

【典例5-2】（2024•江西赣州•模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为

亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的

是：己知动点〃与两定点/,2的距离之比为"4>0,彳21）,那么点〃的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称

阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆。：八/=1、点«_别和点（0,‘，”为圆0上的动点，则

2|也川-|河圻的最大值为（）

A.2R后

D.----------c.-D.总

2222

【答案】B

,、,,,1

【解析】设M（x,y）,令21M=,则\M廉A=5,

由题知圆x2+j?=i是关于点/、。的阿波罗尼斯圆，且人;,

设点。（加,〃），则阚卜十万］：

\MC\^（x-m）2+（j-n）22

整理得：/+/+即七x+=

比较两方程可得：2/=0,y=o,.+；T=1,即机=一2,〃=0,点C（-2,0）,

当点〃位于图中M的位置时，2］九优］-|儿园=也门7八烟的值最大，最大为忸q=乎.

故选：B.

【变式5-1］(2024•湖南•模拟预测)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平

面内到两个定点48的距离之比为定值几(2*1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名,

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X0中，/(-4,1),3(-4,4),若点尸是满足4=g的

阿氏圆上的任意一点，点。为抛物线C：/=16x上的动点，。在直线》=-4上的射影为R,则

|P8|+2|尸0|+2|。|的最小值为()

A.475B.8#>C.—D.2765

2

【答案】D

【解析】设P(x,y),

则尸/-«"+盯+(。-11一匕

PBJ(x+4)2+(y-472

化简整理得(x+4)2+y2=4,

所以点尸的轨迹为以(-4,0)为圆心2为半径的圆，

抛物线C：/=i6x的焦点尸(4,0),准线方程为x=-4,

则|/叫+2|尸。|+2|。尺|=2|上4|+2|尸。|+2|纱|

=2(|尸川+|尸0|+|0尸|)22|/同=2病,

当且仅当4尸,。，尸(尸，。两点在4尸两点中间)四点共线时取等号，

所以|尸8|+2|尸0|+2|0?|的最小值为2病.

【变式5-2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，

他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆

是他的研究成果之一，指的是：已知动点"与两定点A,8的距离之比为那么点M的轨

迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M与两定点/8(5,0)的距离之比为|时的阿波罗尼斯圆为

x2+y2=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆。:/+/=4上的动点〃和定点

8(1,1),则2口划+跟却的最小值为()

A.2+V10B.V21C.726D.729

【答案】C

因此21MH+同=|MV|+1闫BN|=J(_4_iy+12=反，当且仅当点初是线段2N与圆。的交点时取

等号，

所以2|朋R+的最小值为画.

故选:c

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点48的距离之比为定值>0,且;1*1）的点的

轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆''.在平面直角坐标系无勿中，/（-2,0）,B（4,0）,点尸满足自J="设点

\PB\2

尸的轨迹为曲线C,则下列说法错误的是（）

A.C的方程为（x+4y+y2=16

B.当45P三点不共线时，则44尸。=/8尸。

C.在C上存在点"，使得|MO|=2|M4|

D.若。（2,2）,则|网+21尸必的最小值为4石

【答案】C

【解析】设P（xj），由*=得天化简得（x+4）。+/=16,故A正确;

\OA\1\PA

当4。尸三点不共线时,局=5-一陷篇，所以尸。是//尸8的角平分线，所以N4PO=/APO,故B正

确；

22

设M（x,y）,则《丁+了=2&x+2）2+了,化简得（x+g）2+/=：,/（-4+^）+（0-0）=-<4--,

39Y333

所以C上不存在点使得|M0=2|M4],故c错

误；

PA]

因为其=5,所以忸周=2|尸4,所以I尸司+2|尸。=2|尸4|+2|尸422|40|=46，当且仅当尸在线段4D

上时，等号成立，故D正确.

故选：C.

1.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成

果之一，指的是：已知动点M与两定点0,尸的距离之比扇=X（X>0"wl）,那么点M的轨迹就是阿

波罗尼斯圆.已知动点〃的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+产=1,定点。为X轴上一点，

且2=2,若点8(1,1),则21Mpi+|A®|的最小值为()

A.V6B.V7C.VioD.VT1

【答案】c

【解析】设0(凡0)，M(x,y),所以|M0|="二了“7,

又动点A/的轨迹是—+/=晨

包3=0

3

所以2,，解得。=-2,

a"-1

----=1

[3

所以。(一2,0),又=

所以21Mpi+=+因为8(1,1),

所以2的P|+1儿制的最小值为忸0|=《+2)2+(1—0)2=弧.

故选：C.

2.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥

曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果

之一，指的是：己知动点〃与两个定点/、3的距离之比为几(A>0,2—1),那么点”的轨迹就是阿波

罗尼斯圆.若已知圆。：/+了2=1和点彳-3,0),点以4,2),M为圆。上的动点，贝I]21M+的最小

值为()

A.2vnB.2厢

C.V35D.737

【答案】B

【解析】令2]|例=|MC|,则盟=；，所以幽=

1,

\MC\2

2m+42nm2+n2_i

整理/+/+-----XH-----y=-----一,得加=一2,〃=0,点M位于图中、M?的位置时,

333

20划+口叫=四。卜|〃耳的值最小可得答案.设令20划=|MC|,则朋=g

由题知圆V+y=l是关于点/、C的阿波罗尼斯圆，且％=g，

设点。（加川，则|四|++.],整理得:

阿+(y2

2m+42nm2+n2-I

x2+y2+-----XH-----y=---------

333

2m+4=。，筌。,m2+n2-1

比较两方程可得:=],

33

即加=一2,〃=0,点C(-2,0),

当点加位于图中〃[、/2的位置时,

21九回+\MB\=\MC\+\MB\的值最小，最小为2回.

故选：B.

3.已知g是单位向量，a-b=0,若向量[满足|工--心卜1,则1的取值范围为()

A.[V5-1,V5+1]B.[1,V5+1]C.[5,6]D.

【答案】D

【解析】•工3是单位向量，雨咽=L

.,卜-35-40=1

|c-35-4a|=c-2“3刃+4a)+93+24a-Z?+16a=1且Ho.

...2〉（33+砌=7+24,又•.俘+44=牺+哂=5,

•••|c|+24=2x5x|c|cos6>（。是工与33+4之的夹角）.

又一1WcosO<1,

.-.24<|C|2+24<10|C|,

.­.|C|3-10|C|+24<0.

根据一元二次不等式的解法，

解得4W同46.

故选：D.

4.如果圆C:（x-〃7）2+。-加）2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则实数加的取值范围是（）.

A.[-3d）B.（-V2,V2）

C.（-3V2,V2）D.（-3V2,-V2）U（V2,3V2）

【答案】D

【解析】如果圆。：（厂机）2+。-加）2=16上总存在两个点到原点的距离为2

贝!J圆C：+（>-机）~=16和圆。：x?+jJ=4相交，

又圆=16的圆心为C（机，机），半径为八=4

两圆圆心距|CO|=+（"?—0）~=血网，

由|4-2|<|。0|<4+2得4一2<也|同<4+2,

解得会<帆<36,即加e（-3V2,-V2）u（V2,3V2）.

故选：D.

5.设meR,过定点A的动直线s-y=O和过定点3的动直线x+叼-4〃?-3=0交于点尸，则1PH+俨8

的取值范围是（）

A.[75,275]B.[275,5]

C.[5,5V2]D.[5,10]

【答案】C

【解析】由已知可得动直线机x-y=0经过定点A（0,0）,

动直线x+机y-4加-3=0经过定点3（3,4）,

且两条直线互相垂直，且相交于点P,

所以P/J.P8,即1PH2+|P8「=|48『=25,

由基本不等式可得|尸/『+1尸靖<(K+1即)2<2(眼「+1尸比卜

即25<(|/M|+\PB[f<50,可得5引尸/|+|P5|<572,

故选：C.

6.设"cR,过定点A的动直线》+叩+用=0和过定点8的动直线/nx-y-%+2=0交于点尸(x,y),则

|P/|+|PB|的取值范围是()

A.[75,275]B.[V10,2V5]C.[V10,4V5]D.12氏4病

【答案】B

【解析】由题意可知，动直线X+叩+加=0经过定点40,-1),

动直线〃7x-y-〃7+2=O,gpm(x-l)-y+2=0,经过点定点8(1,2),

动直线x+/«y+加=。和动直线加工—歹一加+2=0的斜率之积为一1,始终垂直，

尸又是两条直线的交点，

PALPB,PA^+\PB|2=|AB|2=10.

设Z.ABP=9,贝!]|尸/1=V10sin。，IPB|=V10cos0,

由且可得8e[0,1]

PA\+\PB\=ViO(sin6+cos0)=26sin(9+-),

4

1],

cTC7C3»r

:.0+—Er[—,——],

444

•冗、11

sin/(Z61+—)G[2，1」，

2V5sin(6»+1)e[V10,2向，

故选：B.

7.设向量＜?,b1满足：@=|凹=1,a-b=,(a—c,b—c^=60°,则|3|的最大值为()

A.2B.百C.V2D.1

【答案】A

【解析】由题意可得111=|B|=1,=T.".lxlxcos^a,^^=--,

二.cosgW=_g,又〈扇兀],.•.@3)=120。，

设场二不，砺=B，OC=c^贝！)第=万一己，CB=b-c,

X(a-c,6-c\=60°,ZACB+AAOB=60°+120°=180°,

：.A,0、B、C四点共圆，

当©最大时，有I可=|无|=2R,R为该圆的半径,

由诙2=(5-于=筋+7_2鼠5=3,所以，p|=V3

百

在工。8中，由正弦定理可得.心=2,

sin120。

当且仅当。C是，的平分线时，取等号，此时©的最大值为圆的直径大小为2.

故选：A.

8.(2024・辽宁•模拟预测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262年至前190年)与欧几里得、阿

TM

基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.平面内两个定点M,N及动点尸，若而=大(2>0且无wl),则

点7的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.点尸为圆/：(》-以+/=4上

一动点，。为圆8：(x-3)2+(y-4)2=l上一动点，点C(-3,0),则|尸。+|尸°|+|尸目的最小值为.

【答案】9

【解析】由尸为圆4:(尤-1)2+<=4上一动点,得/(1,0)，留=2,

由。为圆B：(x-3)2+(y-4)2=l上一动点,得8(3,4),忸0|=1,

又陷=1,|/C|=4.

AOAP\1

因为不"=二71=3，NACP=/ACP,所以尸〜△4PO,

于是|PC|=2|PO|.

当P,Q,B共线且\PQ\<附时\PQ\+/科取得最小值,即\PQ\+\PB\>2\PB\-l.

所以I尸q+|尸0|+|p4221Poi+21尸同-1N2|O5|一1=27(3-0)2+(4-0>-1=9,

当。，尸”共线时等号成立.

y/

故答案为：9.

9.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点/、

B,动点尸满足尸川=几|四|(其中2是正常数，且2片1),则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼

斯圆”.现已知两定点”(-1,0)、N(2,l),尸是圆O:/+/=3上的动点，则右归M|+|PN|的最小值为

【答案】V26

【解析】如图，在x轴上取点S(-3,0),

“MOPfPOS,:.\PS\=S5\PM\,

^\PM\+1PM=\PS\+|PN|>\SN\(当且仅当尸为SN与圆。交点时取等号),

故答案为：^26.

10.(2024•高三・吉林通化・期末)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米

德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网

络殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点48的距离之比为定值2(4N1)的点的轨

迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.比如在平面直角坐标

系中，4(0,1)、3(0,4),则点尸满足彳=；所得尸点轨迹就是阿氏圆；已知点C(-2,4),。为抛物线

V=8x上的动点，点0在直线x=-2上的射影为凡M为曲线(x+2『+/=4上的动点，贝”

；MC|+|QM+|0M的最小值为.则|同。|+|0川+|。朋1的最小值为

【答案】后;4,5-2收

【解析】设次X/),由题意名=〈，即有=；,整理得/+v=4.

PB2J/+—4)22

因为圆卜+2)?+/=4可以看作把圆/+F=4向左平移两个单位得到的，那么A点平移后变为。(-2,1),

所以根据阿氏圆的定义，〃满足

结合抛物线定义1。〃1=1。产1，

!\MC\+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\>|^|(当且仅当D,M,Q,厂四点共线，且0,M在。,

厂之间时取等号)，此时|尸0=a-2-2)2+(1_())2=历,

\MC\+\QH\+\QM\=\MC\+\QF\+\QM\>\MC\+\MF\(当且仅当跖Q,尸三点共线时等号成立)，

根据光学的最短光程原理，我们从C点发出一束光，想让光再经过尸点，光所用的时间一定是最短的，由

于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。

而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到,

当过点M的切线与/CW的角平分线垂直，即当过点M的圆的切线与直线FC平行且离直线尸。近时，

|MC|+|MF|取得最小值，此时切线方程为y=r+20-