2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知y=4x的反函数为y=f（x），若则x的值为（）

A.-2

B.-1

C.2

D.

2、已知函数是上的减函数，则的取值范围是（）A.（0，3）B.C.D.3、【题文】与y轴相切和半圆x2＋y2＝4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹是()A.y2="4(x-1)"(0B.y2=-4(x-1)(0C.y2="4(x+1)"(0D.y2="-2(x-1)"(04、【题文】直线和直线平行，则（）A.B.C.7或1D.5、下面的结论正确的是()A.一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则6、一个几何体的三视图如图所示；则此几何体的表面积为（）

A.B.C.96D.112评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、已知函数f（x）=的值域是[0，+∞]，则实数m的取值范围是____．8、在数列中，则等于9、【题文】对a,b∈R,记max(a,b)=函数f(x)=max(|x+1|,-x2+1)的最小值是____.10、【题文】幂函数的图象过点则的解析式是_____________。11、一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)12、设A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+2=0}；B⊆A．

（1）写出集合A的所有子集；

（2）若B非空；求a的值．

13、【题文】本小题满分12分）

已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB；

N为AB上一点；AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(I)证明：CM⊥SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小．14、【题文】如图，在直三棱柱中，点是的中点，点在侧棱上，且．

（1）求二面角的大小；

（2）求点到平面的距离．

15、

（1）证明://平面

（2）在棱上是否存在点使三棱锥的。

体积为并说明理由.16、【题文】每一行星都按照一个椭圆轨道绕太阳运行．行星的轨道周期是该行星绕太阳一周所需的时间．每一行星轨道的半长轴是该行星与太阳之间的最大距离和最小距离的平均值．开普勒发现行星的周期与它的半长轴的次幂成正比．距离太阳最近的水星，其半长轴为5800万千米，水星的运行周期约为88天．距离太阳最远的冥王星，其半长轴为60亿千米，冥王星的运行周期是多少（以年计）？地球轨道的半长轴为亿千米，地球的运行周期是多少（以年计）？17、为治疗某种流行疾病；医生让某患者服用一种抗生素，规定每天早上八时服一片，现知该药片每片含药量为128毫克，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的50%，问：

（1）经过多少天；该患者所服的第一片药在他体内残留不超过1毫克？

（2）如果抵抗这种疾病要求体内的药物含量不低于25毫克，该患者自服药起的6天内都能抵抗这种疾病，那么该患者应至少连续服药多少天？18、已知圆C的圆心坐标为（2；2），且和直线3x+4y-9=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）是否存在实数a，使圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且满足∠AOB=90°．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．评卷人得分四、计算题(共4题，共36分)19、已知二次函数f（x）=ax2+bx-3（a≠0）满足f（2）=f（4），则f（6）=____．20、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M；交DC于N．

（1）设AE=x；试把AM用含x的代数式表示出来；

（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．21、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．22、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．评卷人得分五、证明题(共2题，共16分)23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．24、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

因为y=4x的反函数为y=f（x），

所以x==2．

故选C．

【解析】【答案】利用函数的反函数与原函数的定义域与值域的对应关系，直接通过得到方程，求出x的值．

2、D【分析】试题分析：是上的减函数，当时，有当时，有当时，则考点：函数的单调性；【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】设动圆圆心为M（x，y），切点为A，M到y轴的距离为d，则有|OA|=|OM|+d,而d=x，所以，化简得y2=-4(x-1)(0【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】本题考查两直线平行的充要条件.

设直线则。

由条件得：由得：解得代入（*）不适合，满足.故选B【解析】【答案】B5、D【分析】【分析】设计算法要本着简单方便的原则；这是设计算法的基本原则，选D。

【点评】基础知识填空题，仔细阅读课文，加深对双方的理解。6、A【分析】解：由已知中的三视图；可得该几何体是一个以俯视图为底面的正方体和四棱锥的组合体；

棱锥的侧高为：=2

故此几何体的表面积S=5×4×4+4××4×2=

故选：A

由已知中的三视图；可得该几何体是一个以俯视图为底面的正方体和四棱锥的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．

本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．【解析】【答案】A二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

当m=0时，f（x）=值域是[0，+∞），满足条件；

当m＜0时；f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；

当m＞0时；f（x）的被开方数是二次函数，△≥0；

即（m-3）2-4m≥0；∴m≤1或m≥9；

综上；0≤m≤1或m≥9；

∴实数m的取值范围是：[0；1]∪[9，+∞）；

故答案为[0；1]∪[9，+∞）．

【解析】【答案】当m=0时；检验合适；m＜0时，不满足条件；m＞0时，由△≥0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集．

8、略

【分析】【解析】

因为数列中，两边同时除以可知【解析】【答案】389、略

【分析】【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|,

y2=-x2+1中的较大者,作出两个函数在同一直角坐标系中的图象,则f(x)的图象是图中的实线部分,

由图象易知f(x)min=0.【解析】【答案】010、略

【分析】【解析】解：因为幂函数的图象过点可以设y=x代入之后可得，

因此的解析式是【解析】【答案】11、略

【分析】解：根据等腰三角形的对称性可知；

一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；

相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形；

符合圆锥的定义和结构特点；故几何体的名称为圆锥．

故答案为：圆锥。

由圆锥的定义知；如果以这个等腰直角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是圆锥．

题考查几何体的结构特点，主要考查了多面体和旋转体的概念．属简单题．【解析】圆锥三、解答题(共7题，共14分)12、略

【分析】

（1）由题可知：A={1；2}，所以集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}；

（2）因为B非空集合；

①当集合B中只有一个元素时，由判别式等于0可得，a2-8=0可知

此时B={x|x2-ax+2=0}={x|=0}，故B={}或{}；不满足B⊆A，不符合题意．

②当集合B中有两个元素时；A=B，比较方程的系数可得a=3；

综上可知：a=3．

【解析】【答案】（1）解一元二次方程求得A={1；2}，由此可得集合A的所有子集．

（2）因为B非空；①当集合B中只有一个元素时，由判别式等于0可得a的值，检验不合题意，舍去．②当集合B中有两个元素时，A=B，比较方程的系数可得a=3，从而得出结论．

13、略

【分析】【解析】如果已知向量的坐标；求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ得到。

（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明·＝0即可；根据向量数量积的运算，我们不难证明；

（2）要求SN与平面CMN所成角的大小；我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．

解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，MNS

(1)证明：＝(1，－1，)，＝因为·＝－＋＋0＝0；

所以CM⊥SN.

(2)＝设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则

∴取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因为|cos〈a，〉|＝

所以SN与平面CMN所成角为45°.【解析】【答案】(1)证明：见解析；(2)SN与平面CMN所成角为45°.14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）如图，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。

并设则

则∵则

设向量为平面的法向量，则

又

令则

由题意为的中点，所以又三棱柱为直三棱柱。

∴平面为平面的法向量。

∴二面角的大小为8分。

（2）向量在平面的法向量上的射影的长为

向量在平面的法向量上的投影长即为点到平面的距离．

∴点到平面的距离为15、略

【分析】【解析】(1)证明：连接交于点，连接得∥

平面平面//平面6分。

(2)侧棱⊥底面⊥过作⊥=则∥

12分。

在棱上存在点使三棱锥的体积为且是线段的三等分点.

12分【解析】【答案】

（2）在棱上存在点使三棱锥的体积为且是线段的三等分点16、略

【分析】【解析】设行星轨道的半长轴为由题意可知．

当时，所以，．

当时，当时，．

答：冥王星的运行周期约为255年，地球的运行周期约为1年．【解析】【答案】冥王星的运行周期约为255年，地球的运行周期约为1年17、略

【分析】

（1）可设经过x天，第一片药在他体内残留为y毫克，然后建立x，y间的关系式，从而解不等式即可得出答案；

（2）可设连续服药x天，体内残留药y毫克，并得出x，y的关系式为解不等式即可得出答案．

考查建立函数关系式解决实际问题的方法，指数函数的单调性，等比数列的求和公式．【解析】解：（1）设经过x天，第一片药在他体内残留为y毫克，则：

解得；x≥4；

∴经过4天；该患者所服的第一片药在他体内残留不超过1毫克；

（2）设连续服药x天，体内残留药y毫克，则：=

解得，

∴

x=3时；不等式不成立，x=4时，不等式成立；

∴该患者应至少连续服药4天．18、略

【分析】

（1）根据直线和圆相切的关系求出圆的半径；即可求圆C的方程；

（2）将直线和圆联立；根据条件∠AOB=90°．进行消元转化为根与系数的关系即可得到结论．

本题主要考查圆的方程，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．【解析】解：（1）由于圆C与直线相切，故圆C的半径是r=

则圆C的方程为：（x-2）2+（y-2）2=1．

（2）由x-y+a=0得y=x+a；代入圆的方程，得：

（x-2）2+（x+a-2）2=1；

整理得：2x2+（2a-8）x+a2-4a+7=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2）；

则x1+x2=4-a，x1x2=

若∠AOB=90°成立，需．

即=x1x2+y1y2=0；

即x1x2+（x1+a）（x2+a）=2x1x2+a（x1+x2）+a2=a2+7≠0；

∴x1x2+y1y2≠0；

所以不存在a的值，满足条件∠AOB=90°．四、计算题(共4题，共36分)19、略

【分析】【分析】先把x=2代入得出一个方程，再把x=4得出一个方程，根据f（2）=f（4），即可得出f（6）=的值．【解析】【解答】解：∵f（x）=ax2+bx-3；

∴x=2时，f（2）=4a+2b-3；

x=4时，f（4）=16a+4b-3；

∵f（2）=f（4）；

∴4a+2b-3=16a+4b-3；

∴6a+b=0；

∵f（6）=36a+6b-3=6（6a+b）-3=-3；

故答案为-3．20、略

【分析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME；根据勾股定理求出即可．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2，代入求出即可．【解析】【解答】解：（1）连接ME．

∵MN是BE的垂直平分线；

∴BM=ME=6-AM；

在△AME中；∠A=90°；

由勾股定理得：AM2+AE2=ME2；

AM2+x2=（6-AM）2；

AM=3-x．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b；

因MN垂直平分BE；

则ME=MB=6-a；NE=NB；

所以由勾股定理得

AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2

即a2+x2=（6-a）2，b2+（4-x）2=42+（6-b）2；

解得a=3-x2，b=x2+x+3；

所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12；

即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2）；

答：S关于x的函数关系式是S=2x+12．21、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．22、略

【分析】【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA-cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解析】【解答】解：由题意得：（2sinA-cosA）2=0；

解得：2sinA-cosA=0；2sinA=cosA；

∴tanA===0.5．

故答案为：0.5．五、证明题(共2题，共16分)23、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【