2025年物理新高考备考2025年（版）物理《三维设计》一轮总复习（提升版）第3讲　机械能守恒定律

第3讲机械能守恒定律考点一机械能守恒的理解和判断1.重力做功与重力势能的关系（1）重力做功的特点①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。②重力做功不引起物体机械能的变化。（2）重力势能①表达式：Ep＝mgh。②重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。（3）重力做功与重力势能变化的关系重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。2.弹性势能（1）定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大。即W＝－ΔEp。3.机械能守恒定律（1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。（2）表达式：mgh1＋12mv12＝mgh2＋12机械能是否守恒的三种判断方法（1）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。（2）利用做功判断：若物体或系统只有重力（或系统内的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功（或做功代数和为0），则机械能守恒。（3）利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。1.【机械能守恒的判断】（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒B.乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析：CD甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；。丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，二者代数和为零，所以A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。2.【系统机械能守恒的分析】（多选）如图所示，斜面体置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是（）A.物体的重力势能减少，动能增加，机械能减小B.斜面体的机械能不变C.斜面体对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D.物体和斜面体组成的系统机械能守恒解析：AD物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，由于地面光滑，斜面将向右后退，物体对斜面的压力对斜面做正功，所以物体的机械能减小，A正确；物体在下滑过程中，斜面体加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做功，系统机械能守恒，D正确。3.【含弹簧的系统机械能守恒的分析】（多选）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动。设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力。下列分析中正确的是（）A.小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋mvB.小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋mvC.从A到B的过程中，小球的机械能守恒D.从A到B的过程中，小球的机械能减少解析：AD小球过B点时，对圆环恰好没有压力，则小球不受圆环的弹力，由弹簧的弹力与重力的合力提供向心力，则有F－mg＝mv2R，解得F＝mg＋mv2R，故A正确，B错误；对小球来说，由于弹簧对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，小球的部分机械能转化为了弹簧的弹性势能，而使小球的机械能减少，故C1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。2.对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。3.对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。考点二单个物体的机械能守恒问题1.机械能守恒定律的表达式2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路【例1】（多选）如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4m，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）A.最高点时小球所受的合力竖直向下B.图乙中x＝25m2/s2C.小球在B点受到轨道作用力为10ND.小球质量为0.2kg答案：ABD解析：在最高点，小球所受重力和弹力的合力提供向心力，方向竖直向下，A正确；由图乙可得在最高点，小球的速度vC2＝9m2/s2，由牛顿第二定律得mg＋FC＝mvC2R，解得小球的质量m＝0.2kg，故D正确；小球从A运动到C的过程中，由机械能守恒定律得12mvA2＝12mvC2＋mg×2R，解得x＝vA2＝25m2/s2，故B正确；小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得12mvA2＝12mvB2＋mgR，解得vB2【例2】（多选）（2023·湖南高考8题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（）A.小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大B.小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变C.小球的初速度v0＝2D.若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道答案：AD解析：小球恰好运动至C点，小球在C点vC＝0，小球在圆弧BC上运动到D点的受力分析如图所示。D位置：mgcosα－FN＝mv2R，D到C过程：－mg（R－Rcosα）＝－12mv2，解得FN＝3mgcosα－2mg。B到C过程，α减小，cosα增大，则FN增大，由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力逐渐增大，A正确；A到C过程，重力瞬时功率PG＝mgvy，vy减小，则PG减小，B错误；小球从A到C，由机械能守恒得mg·2R＝12mv02，解得v0＝2gR，C错误；若小球在B点的速度满足mgcosθ＜mv考点三多物体的机械能守恒问题1.解决多物体系统机械能守恒的注意点（1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。2.几种实际情景的分析（1）速率相等情景注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。（2）角速度相等情景①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。②由v＝ωr知，v与r成正比。（3）关联速度情景两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。（4）含弹簧的系统机械能守恒问题①由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。③对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。速率相等情景【例3】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的2倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高，将A由静止释放，B上升的最大高度是（）A.2R B.RC.4R3 答案：C解析：设B球质量为m，则A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝mgR＋12（2m＋m）v2，得v2＝23gR，B球继续上升的高度h＝v22g＝R3，则B球上升的最大高度为h＋R＝角速度相等情景【例4】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球L3处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求（1）小球P的速度大小；（2）在此过程中小球P机械能的变化量。答案：（1）2gL3（2）增加解析：（1）两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得2mg×23L－mg×13L＝12mv2＋12×2m×（2解得v＝2gL（2）小球P机械能增加量为ΔE，则ΔE＝mg×13L＋12mv2＝4在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒。（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒。关联速度情景【例5】如图所示，跨过同一高度处两光滑轻质定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度为h＝0.2m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角为θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角为θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大？（设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，取g＝10m/s2，结果均保留1位小数）答案：1.1m/s1.6m/s解析：A、B两物体组成的系统，只有动能和重力势能的转化，机械能守恒。设θ2＝53°时，A、B两物体的速度分别为vA、vB，B下降的高度为h1，则有mgh1＝12mvA2＋其中h1＝ℎsinvAcosθ2＝vB联立代入数据解得vA＝1.1m/s由于绳子的拉力对A做正功，使A加速，因此A至左滑轮正下方时速度最大，此时B的速度为零，设此过程B下降高度设为h2，则由机械能守恒定律得mgh2＝12m其中h2＝ℎsin联立代入数据解得vAm＝1.6m/s。含弹簧的系统机械能守恒问题【例6】（2024·山东威海模拟）如图所示，A、B两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A放在固定的倾角为30°的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，使细线恰好伸直，保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知B、C的质量均为m，重力加速度为g。松手后A由静止开始沿斜面下滑，当A速度最大时C恰好离开地面，则A下滑的最大速度为（）A.2gm5k B.C.g23mk答案：A解析：对A、B整体，由平衡条件可得mAgsin30°＝F＋mg，F为此时弹簧的弹力，因A速度最大时C恰好离开地面，则有F＝mg，联立解得mA＝4m，C恰好离开地面时，对C则有kx2＝mg，解得x2＝mgk，此时A、B有最大速度，且A、B速度大小相等。开始时系统静止，弹簧被压缩，绳上无拉力，对B则有kx1＝mg，解得x1＝mgk，从释放A到C恰好离开地面的运动中，弹簧的弹性势能变化量是零，在此运动中A、B、C组成的系统机械能守恒，可得4mg（x1＋x2）sin30°＝mg（x1＋x2）＋12（4m＋m）vAmax2，解得vAmax＝2非质点类机械能守恒问题在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。“液柱”类问题【典例1】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度大小为（）A.18gℎ C.14gℎ 答案：A解析：当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据机械能守恒定律有18mg×12h＝12mv2，解得v“链条”类问题【典例2】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：（1）链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；（2）链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？答案：（1）见解析（2）g解析：（1）链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和AB面均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。（2）设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，高度减少量h＝a＋L－a该部分的质量为m'＝mL（L－a由机械能守恒定律得mL（L－a）gh＝12mv解得：v＝gL跟踪训练·巩固提升1.（2023·浙江1月选考4题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（）A.弹性势能减小 B.重力势能减小C.机械能保持不变 D.绳一绷紧动能就开始减小解析：B游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值。橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为橡皮绳的弹性势能，C错误；绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D错误。2.（2024·山东烟台模拟）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最高、设施最完善的大型滑雪场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角θ＝30°，示意图如图所示。运动员从a点由静止自由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计一切阻力，若要求运动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差（）A.不大于54R B.不大于1C.不小于52R D.不小于解析：A运动员从a点到b点，根据机械能守恒定律有mgh＝12mv2，在b点，由圆周运动规律有F－mgsinθ＝mv2R，F≤3mg，联立解得h≤54R3.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（）A.圆环的机械能守恒B.弹簧弹性势能变化了3mgLC.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析：B圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝3mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。4.如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的14圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，O、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（A.2gR B.C.5gR2 解析：D由几何知识可知，图中O、O'连线经过N点，设O、O'连线与水平方向的夹角θ，由几何关系可得sinθ＝R2R＝12，可得θ＝30°，设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知mgRsinθ＝12mv2，解得v＝gR，故D正确，A、5.（2024·四川成都模拟）如图，圆心为O1的光滑半圆环固定于竖直面，轻弹簧上端固定在O1正上方的O2点，c是O1O2和圆环的交点，将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长，在c点时弹簧被压缩，aO1⊥aO2。则下列判断正确的是（）A.小球在b点受到的合力为零B.弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量C.弹簧处于原长时，小球的速度最大D.在a、b之间，小球机械能最大的位置有两处解析：D套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间往复运动，表明小球在a点的合力不等于零，合力的方向沿着a点的切线向上，因为系统的机械能守恒，a点和b点关于O1O2对称，所以小球在b点受到的合力不等于零，合力的方向沿着b点的切线向上，A错误；小球从a点到c点运动的过程中，小球在a点时动能最小等于零，小球在a点时位置比在C点时低，小球在a点时的重力势能比在C点时小，那么，小球在a点时的机械能比在C点时小，又因为小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以小球在a点时，弹簧的弹性势能比在C点时大，则小球在a点时弹簧的形变量大，所以弹簧在a点的伸长量一定大于弹簧在c点的压缩量，B错误；小球受到重力、弹簧的弹力、圆环的支持力，这三个力的合力为零时，小球的速度最大，此时弹簧处于伸长状态，C错误；因为系统的机械能守恒，所以弹簧处于原长时，小球的机械能最大，在a、b之间，弹簧处于原长的位置有两处，一处位于a、c之间，另一处位于c、b之间，这两点关于O1O2对称，D正确。6.（多选）如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的14圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（A.a球下滑过程中机械能保持不变B.a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变C.a、b滑到水平轨道上时速度为2D.从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR解析：BD由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b两球和轻杆组成的系统机械能守恒，A错误，B正确；对a、b系统，由机械能守恒定律得mgR＋2mgR＝2×12mv2，解得v＝3gR，C错误；对a由动能定理得mgR＋W＝12mv2，解得W＝mgR7.（多选）（2024·江苏常州模拟）如图所示，两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在天花板上，一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮，两端分别系住小球A、B，现用一轻质光滑小挂钩将小球C挂在滑轮P、Q之间的水平细绳的中间位置上，静止释放小球C，在小球C下降的某时刻，拉小球C的细绳与水平方向成θ角。已知三小球A、B、C的质量均为m，A、B小球始终没有与P、Q相撞，忽略一切阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列关于小球C在下降过程中说法正确的是（）A.A、B、C三小球组成的系统机械能守恒B.小球C重力做功的瞬时功率保持不变C.A、B、C三小球的速度大小的关系为vA＝vB＝vCsinθD.当θ＝37°时小球C下降到最低点解析：AC忽略一切阻力，A、B、C三小球组成的系统机械能守恒，A正确；小球C在下降过程中，小球C的速度先增大后减小，由P＝mgv可知，小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小，B错误；把小球C速度分解如图所示，由对称性可知vA＝vB，又vCsinθ＝vA，得vA＝vB＝vCsinθ，C正确；设滑轮P、Q之间的水平细绳的长度为2l2，小球C下降到最低点时，下降的高度为h，滑轮与小球C之间长度为l1，如图所示，小球C下降到最低点过程中，三球组成的系统机械能守恒2mg（l1－l2）＝mgh，又h＝l12－l22，联立解得l2＝35l1，此时cosθ＝l2l18.如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4kg的物体A，一轻细绳通过光滑定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，B距地面足够高。用手托住物体B使绳子刚好伸直且没有拉力，然后由静止释放。取重力加速度g＝10m/s2。求：（1）弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；（3）物体A的最大速度的大小。答案：（1）30N（2）20cm（3）1m/s解析：（1）弹簧恢复原长时，对B：mg－FT＝ma对A：FT－mgsin30°＝ma联立代入数据可求得FT＝30N。（2）初态弹簧压缩量x1＝mgsin30°当A速度最大时有FT'＝mg＝kx2＋mgsin30°弹簧伸长量x2＝mg－mg所以A沿斜面向上运动x1＋x2＝20cm时获得最大速度。（3）因x1＝x2，故弹簧弹性势能的改变量ΔEp＝0由机械能守恒定律有mg（x1＋x2）－mg（x1＋x2）sin30°＝12×2mv解得v＝1m/s。9.如图所示，质量分别为2m、3m的小球A和小球B分别固定在由轻质杆构成的直角尺的两端，直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴，AO、BO的长分别为2L和L，开始时直角尺的AO杆部分处于水平位置而B在O的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求：（1）当小球A到达最低点