高考数学试题专项分类汇编：计数原理与概率统计

考点8计数原理与概率统计——五年（2020-2024）高考数学真题专

项分类汇编

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.[2024秋•高二•山东淄博•月考校考]从2至8的7个整数中随机取2个不同的

数，则这2个数互质的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

1.答案：D

解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）共

7种，故所求概率尸=包二2=2.故选D.

213

2.[2020年全国高考真题]要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村，每个

村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

2.答案：C

解析：方法共有C；・C；•A；=6种.故选C.

3.[2023年全国高考真题]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分

层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初

中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C«.C盛种B.C黑种C.CX.C；：。种D.C1.C舞种

3.答案：D

解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x以=40人，高中部共抽取

600

60x迎=20人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有C%C北种.

oUU

故选D.

4.[2022年全国高考真题]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若

甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

4.答案：B

解析：法一：丙和丁相邻共有A，A：种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有

C；.A；种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A；-C；•A；.A；=24种站

法.

法二：因为丙和丁相邻，所以先把丙和丁捆绑，看成一个元素，连同乙，戊看成三个

元素排列，有A；种排列方式；又甲不站在两端，所以甲只需在此三个元素的中间两个

位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙和丁两人的顺序可交换，有2种

排列方式.故共有A；x2x2=24种不同的排列方式，故选B.

5.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.

甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示

事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，贝|（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

5.答案：B

解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则尸（甲）=l，P（乙）=,，尸（丙）=3，

6636

尸（丁）=1,尸（甲丙）=（）,尸（甲丁）=J_,p（乙丙）=_L,2（丙丁）=o,其中

63636

P（甲）P（丁）=P（甲丁），故甲与丁相互独立.

6.[2020年全国高考真题]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲

场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

6.答案：C

解析：第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有C；=6种，第二步：安排乙场馆的志

愿者，则乙场馆的安排方法有C；=10种，第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有

C；=1种.所以共有6x10x1=60种不同的安排方法.故选C.

7.[2021年全国高考真题]某物理量的测量结果服从正态分布N（10,4）,则下列结论

中不正确的是（）

A.b越小，该物理量一次测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5

C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等

D.该物理量一次测量结果落在（9.9,10.2）内的概率与落在（10,10.3）内的概率相等

7.答案：D

解析：对于A,b越小，代表正态曲线越陡，故A正确；

对于B,测量结果服从正态分布N（10,4）,则正态曲线的对称轴为直线1=10,故B

正确；

对于C,结合正态曲线可知x=10.01与％=9.99关于对称轴（直线x=10）对称，故C

正确；

对于D,结合正态曲线可知，区间（9.9,10.2）与（10,10.3）不关于对称轴（直线x=10）

对称，故D错误.故选D.

8.［2024年全国高考真题］某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型

水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理如下表所示.

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数61218302410

根据表中数据，下列结论正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间

8.答案：C

解析：对于A,因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4组的频率之

和836+0.30=0.66>0.5,所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为［1050,1100）,

故A不正确；

对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为

6+12+18+30xwo%=66%故B不正确；

100

对于C,因为1200-900=300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于

200kg至300kg之间，故C正确；

对于D,100块稻田亩产量的平均值为

j^x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不

正确.故选C.

二、多项选择题

9.[2024年全国高考真题]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并

举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样

本，得到推动出口后亩收入的样本均值元=2.1,样本方差$2=0。1.已知该种植区以往

的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布

N伍52),则(若随机变量Z服从正态分布NJ,/),则尸(2<〃+b)。0.8413)()

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0,5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0,8

9.答案：BC

解析：由题意可知，X~N(1.8,0』2),所以P(X>2)〈尸(X>1.8)=0.5,

P(X<1.9)«0.8413,所以P(X>2)<P(X>1.9)=1-P(X<1.9)«1-0.8413

=0.1587<0.2,所以A错误，B正确.因为y〜NQ.LO.F),所以P(y<2.2)^0.8413,

p(y>2)>p(r>2,i)=o.5,所以

P(2<Y<2,1)=P(2.1<Y<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2.1)»0.8413-0.5=0.3413,所以

P(Y>2)=尸(2<F<2.1)+P(Y>2.1)»0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解：

P(Y>2)=P(Y<2.2)®0.8413>0.8)所以C正确,D错误.故选BC.

10.[2023年全国高考真题]有一组样本数据x2,…，/，其中玉是最小值，4是

最大值，贝1)()

A.X2,x3,x4,毛的平均数等于七，工2，…，的平均数

B.X2,%3，了4，的中位数等于再，无2，…，尤6的中位数

C.X2,£，了4，%的标准差不小于西，无2，…，4的标准差

x

D.X2,x3,x4,%的极差不大于苞，2>%的极差

10.答案：BD

解析：对于选项A：-Xp4不确定，，七，/，…，4的平均数不确定，如L2,

2,2,2,4的平均数不等于2,2,2,2的平均数，故A错误;

对于选项B：不妨设“泊—5,则”的中位数为罟…，

々………，4的中位数为罟，故B正确；

XX

对于选项C：X],x2,x3,X4,X5,工6的波动性不小于％2，3»4,尤5的波动性，

XXX

X],马，4,5的标准差不大于X1,%2,/，了4，％5，6的标准差，故C错误；

对于选项D：不妨设々＜%＜/＜/，则X[＜々＜%＜%＜/＜/，二%＜%6-石，

即x2,x3,x4,x5的极差不大于xl,x2,x3,X4,毛，xb的极差，故D正确.故选

BD.

11.[2023年全国高考真题]在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0

时，收到1的概率为。（0＜。＜1）,收至Uo的概率为1—1；发送1时，收到o的概率为

伙0＜户＜1）,收到1的概率为1-77.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传

输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要

译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号

中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）（）

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为

（1-«）（1-^）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为，（I-，）？

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为尸（1-尸）2+（1_，）3

D.当0＜夕＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输

方案译码为0的概率

11.答案：ABD

解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1,0,1,依次收到1,0,1的概

率为（1-尸）（1一£）（1一万）=（1—0）（1-,）2,所以A选项正确.

对于B选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,0,1的概率为

Q-/3）/3Q-/3）=/3Q-/312,所以B选项正确.

对于C选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,1,1（即译码为1）的概率为

（1—万）（1—,）（1—尸）=（1—尸）3;发送1,依次收到1,0,1（即译码为1）,0,1,1

（即译码为1）,1,1,0（即译码为1）的概率为3（1——/）=3（1—尸）2",于是

译码为1的概率为(1-，)3+3(l-，)2，，所以C选项不正确.

对于D选项，采用三次传输方案，发送0,依次收到0,0,0(即译码为0)的概率为

(1-«)(1-«)(1-«)=(1-»)3；发送0,依次收到0,0,1(即译码为0),0,1,0(即

译码为0),1,0,0(即译码为0)的概率为3(1-a)a(l-。)=3(1-。)21,于是译码

为0的概率为(l—a)3+3(l-a)2a.采用单次传输方案，发送0,译码为o的概率为1—口.

依题意，有(l-a)3+3(l-a)2a〉l-a,BP-2a1+a>0,令函

数/(e)=—2/+a,«e[o,—则/(o)=o(l—2。)>0在上恒成立，所以D

选项正确.故选ABD.

三、填空题

12.[2022年全国高考真题]已知随机变量X服从正态分布N(2Q2),且

尸(2<X<2,5)=0.36,则P(X>2.5)=.

12.答案：0.14

解析：随机变量X的均值为2,所以由对称性，可得P(X>2)=P(X<2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2,5)=0.5-0.36=0.14.

13.[2022年全国高考真题][1-£](》+炉的展开式中的系数为(用数字作答).

13.答案：-28

解析：(x+4展开式的通项(+|=C，-y,r=0,1,•,7,8.令/'=6,得小=鹿一咒令一,

得小=C江3y5,所以11一j(x+4的展开式中x2j6的系数为C；-C；=-28.

14.[2023年全国高考真题]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学

生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课

方案共有种(用数字作答).

14.答案：64

解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1

门，有C；C；种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2

门，有C；C：种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1

门，有CjC；种方案.综上，不同的选课方案共有C；C：+C；C；+C；C；=64(种).

法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C；-C：-C：=16（种）选课方案；若学

生从这8门课中选修3门课，则有C；-C；-C：=48（种）选课方案.综上，不同的选课

方案共有16+48=64（种）.

15.[2024年全国高考真题]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲

的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行

四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡

片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的

卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的

概率为..

15.答案：-

2

解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分

最多为3.

若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢，所以只有1种组合：3-2,5-4,

7—6,1-8.

若甲的总得分为2,有以下三类情况：

第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3-2,5-4,1-6,7-8；

第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3—2,7-4,1—6,5—8或3—2,7-4,1-8,

5—6或3—2,7—6,1-4,5—8,共3种组合；

第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4,

1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,

1—4,3—8或5—2,7—6,1—8,3—4或5—4,7—6,1—2,3-8,共7种组合.

综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4x3x2x1=24

（种），所以甲的总得分不小于2的概率尸=三io=工1.

242

四、双空题

16.[2024年全国高考真题]在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均

恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选

中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

16.答案：24；112

解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一

个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、

二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、

三个数均不同列的数，只有1种选法.

由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4x3x2x1=24.

先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再

按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5,故从第一

行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第4行选15,此时个位上的数字之和最

大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.

五、解答题

17.[2023年全国高考真题]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的

某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频

小于或等于。的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记

为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为虱c).假设数据在组内均匀分

布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率以c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+4(c)，当ce[95,105]时,求/(c)的解析式，并求/(c)在区间

[95,105]的最小值.

17.答案：(1)c=97.5；q(c)=3.5%

-0.008c+0.82,95<c<100,

⑵/(c)=0.02

0.01c-0.98,100<c<105,

解析：(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,

所以95<c<100,所以(c—95)x0.002=0.5%,解得c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0,002=0.035=3.5%.

(2)当ce［95,100］时,/(c)=p(c)+q(c)=(c—95)x0.002+(100—c)x0.01+5x0,002

=-0.008c+0.82>0.02；

当ce(100,105］时，/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002

=0.01c-0.98>0.02,

乜f-0.008c+0.82,95<c<100,

故〃c)=

t0.01c-0.98,100<c<105,

所以/(c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

18.［2022年全国高考真题］在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病

患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该

地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这

种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区

间的概率，精确到0.0001).

18.答案：(1)47.9岁

(2)0.89

(3)0.0014

解析：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为0.001x10x5+

0.002xl0xl5+0.012xl0x25+0.017xl0x35+0.023xl0x45+0.020x

10x55+0.017x10x65+0.006x10x75+0.002x10x85=47.9^.

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率

P=0.012xl0+0.017xl0+0.023xl0+0.020xl0+0.017xl0=0.89.

(3)设事件A：此人患这种疾病，事件3：此人年龄位于区间［40,50),

则由题意知P(AB)=23%x0.1%=0.023%,P(5)=16%,

所以若此人年龄位于［40,50),

则此人患这种疾病的概率P(A|B)=£段=%工0.0014.

P(B)16%

19.［2021年全国高考真题］某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每

位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错

误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论

回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0

分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能

正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.答案：(1)X的分布列见解析

(2)小明应选择先回答B类问题

解析：(1)由题知，X的所有可能取值为0,20,100,

则P(X=0)=0.2,P(X=20)=0.8x0.4=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）小明应选择先回答B类问题，理由如下：

由（1）知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答B类问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,80,

100,

贝l]P（y=0）=0.4,P（y=80）=0.6x0.2=0.12,P（y=100）=0.6x0.8=0.48,

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6>54.4,

所以小明应选择先回答B类问题.

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为

良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例

组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数

据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，3表示

事件''选到的人患有该疾病”，吧&与丝的比值是卫生习惯不够良好对患该

P（B|A）P（B|A）

疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R

P(A|B)P(A\B)

（i）证明：R=

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用该调查数据，给出P（A|5）,P（A|历的估计值，并利用（i）的结果给出

R的估计值.

n(ad-be)?

附：K-=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)答案：有

解析：

“x|x5尸.

因为片＞6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)答案：(i)证明见解析

(ii)6

解析：=

P(B\A)P(B\A)

_P(HA)P(A)

一P(B\A)P(A)P(B\A)P(A)

_尸(AB)P(A8)

一P(M)。(疝)

_P(A|B)P(月历

-P(A|B)P(A|B)'

(ii)由调查数据得，病例组中卫生习惯不够良好的频率为9=0.4,

100

对照组中卫生习惯不够良好的频率为也=0.1,

100

所以P(A|B)的估计值为0.4,P(A|B)的估计值为0.1.

P(A|B)的估计值为0.6,P(A|B)的估计值为0.9,

利用(i)的结果可得R的估计值为咛义匕=6.

0.60.1

20.[2023年全国高考真题]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命

中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的

命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一

次投篮的人是甲、乙的概率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率.

(2)求第，次投篮的人是甲的概率.

（3）已知:若随机变量X,服从两点分布，且P（Xj=l）=l-P（Xj=O）=[,

i=l,2,,n,则=记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的

\i=l7i=l

次数为匕求砂）.

20.答案：（1）0.6

2Z-1

/(2c)、—1+—1x

36

52

(3)n-+—x[l-(-)n]

3185

解析：（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件

B,则4=加+期，

所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

=0.5x（1-0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）设第，次投篮的人是甲的概率为p,,

由题意可知，Pi=；，Pi+i=Pix0-6+（1-/?,）x（1-0.8）,

21

即Pi+i=0.4^,.+0.2=-pi+-,

i2（n

所以p+i

所以数列[p-4是以工为首项，2为公比的等比数列，

3236[3J65

g、i11

所以。厂£=/义£，

福a11（2\-1

所以P产£+-

（3）设第，次投篮时甲投篮的次数为X,，则X,的可能取值为0或1,

当X‘=0时，表示第，次投篮的人是乙，当X,=l时，表示第，次投篮的人是甲,

所以「（X,.=1）=0,P（Xi=0）=l-Pi，所以£”,）=外

y=%+*2+X3++x”，

则E(F)=E(X]+X2+X3+'+X")=P1+夕2+23++Pn，

由(2)知，Pi+，

所以B+P2+P3++^=i+6X[1+?+(?r+