2024-2025学年湖北省武汉市高三上册迎国庆联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期迎国庆联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，，则（

）A． B． C． D．2．如图，平行四边形中，，，若，，则（

）A． B． C． D．3．已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（

）A． B． C． D．4．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（

）A． B． C． D．5．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．7．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数，下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若复数满足，则在复平面对应的点是−1,7D．若是关于的方程的一个根，则10．设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（

）A．B．若，则C．若，则当取得最小值时，D．若，则11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（

）A．当时，点在棱上B．当时，点到平面的距离为定值C．当时，点在以的中点为端点的线段上D．当时，平面三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为．13．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为.

14．函数满足恒成立，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为．(1)求的值及关于的表达式；(2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式．16.（本小题15分）已知，，函数．(1)求函数的解析式及对称中心；(2)若，求的值；(3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围．17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的方程；(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.19.（本小题17分）设函数的导函数为f'x，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．(1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；(2)若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；(3)若函数为区间0,1上的“一阶有界函数”，求的取值范围．2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期迎国庆联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】因为，所以且，所以.故选：C.2．如图，平行四边形中，，，若，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】因为四边形为平行四边形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以.故选：D.3．已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】当时，由可得，两式相减可得，当,满足上式，所以恒成立，所以，所以；时，.所以,故选择支ABD错误，当时，．故选：C.4．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】设样本空间为，则，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，则，所以.故选：B.5．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】因为，令，则，令，得到，所以或，令，得到或，令，得到或，又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点，所以，得到，故选：B.6．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（

）A．6 B． C． D．【正确答案】D【详解】两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D7．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】椭圆，即：，设椭圆上两点Ax1,y1,Bx则，，所以，所以，所以，代入直线方程得，即，因为在椭圆内部，所以，解得，即的取值范围是．故选：B．8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】将不等式化简可得；令，可得，即对任意的，，都有，所以函数在上单调递减，则等价于，即，可得，又，所以，所以等价于，因此可得，解得,可得x的取值范围是.故选：B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数，下列结论正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若复数满足，则在复平面对应的点是−1,7D．若是关于的方程的一个根，则【正确答案】CD【详解】若，则不一定成立，比如，满足，但，不满足，A选项错误；比如，满足，由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B选项错误；，所以在复平面对应的点是−1,7，C选项正确；若是关于的方程的一个根，则为方程另一个根，故，即，D选项正确.故选：CD10．设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（

）A．B．若，则C．若，则当取得最小值时，D．若，则【正确答案】AB【详解】因为数列an为正项等比数列，则，对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：若，则，所以，故B正确；对于选项C：因为，则，当且仅当时，等号成立，若取得最小值，则，即，解得，故C错误；对于选项D：例如，则，，可得，因为，则，可得，即，符合题意，但，故D错误；故选：AB.11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（

）A．当时，点在棱上B．当时，点到平面的距离为定值C．当时，点在以的中点为端点的线段上D．当时，平面【正确答案】BCD【详解】对于A，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在上，故A错误；对于B，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在棱上，由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；对于C，当时，取的中点的中点，所以且，，即，所以即，又，所以三点共线，故在线段上，故C正确；对于D，当时，点为的中点，连接，由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，设与相交于点O，则，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由正方形性质可知，又，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为．【正确答案】9【详解】由得平分．因为，故由，可得，化简得，即，则．因为，故，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值9．故913．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为.

【正确答案】【详解】设，，，∵，∴，，，，或(舍去），令，则，∵，∴，解得，故14．函数满足恒成立，则的取值范围是.【正确答案】【详解】，设，在上单调递增，，令，，当时，ℎ'x<0，ℎx当x∈2,+∞时，ℎ'所以，又a>0，则的取值范围为：故四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为．(1)求的值及关于的表达式；(2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式．【正确答案】(1)，．(2)证明见解析，．【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则，且与互斥．根据题意得，，，，即．（2）又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，从而．16.（本小题15分）已知，，函数．(1)求函数的解析式及对称中心；(2)若，求的值；(3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围．【正确答案】(1)，对称中心为(2)(3)【详解】（1），令，则，，函数的对称中心为．（2）由可知，，化简有，则．（3）由可得，即，又，所以，由正弦定理有，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以，则，所以周长的取值范围为．17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)存在；【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；（2）取中点为，连接，又∵，∴．则，∵，∴，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设为平面的一个法向量，则由，得，令，则．设与平面的夹角为，则；（3）假设在棱上存在点点，使得平面.设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点点，使得平面，此时.18.（本小题17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的方程；(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由题意得解得，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由得，由，得，则.，解得或当时，直线经过点，不符合题意，舍去；当时，直线的方程为.（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，所以为定值.19.（本小题17分）设函数的导函数为f'x，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．(1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；(2)若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；(3)若函数为区间0,1上的“一阶有界函数”，求的取值范围．【正确答案】(1)是上的“一阶有界函数”；不是上的“一阶有界函数”；理由见解析(2)正确；理由见解析(