2023年流体力学知识点总结

流体力学

11.1流体的基本性质

1）压缩性

流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可当作一种持续媒质。与

弹性体相似，流体也可发生形状的变化，所不一样的是静止流体内部不存在

剪切应力，这是由于假如流体内部有剪应力口勺话流体必然会流动，而对静止口勺流

体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起

流体的体积应变，其大小可由胡克定律

..Av

Ap=­K---

V

描述。大量日勺试验表明，无论气体还是液体都是可以压缩日勺，但液体的可压

缩量一般很小。例如在500个大气压下，每增长一种大气压，水H勺体积减少许不

到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少许不到原体积的百万分

之四。由于液体的压缩量很小，一般可以不计液体日勺压缩性。气体的可压缩性体

现口勺十分明显，例如用不大的力推进活塞就可使气缸内口勺气体明显压缩。但在可

流动的状况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是由于气体密度小在受压时体

积尚未来得及变化就已迅速地流动并迅速到达密度均匀。物理上常用马赫数M

来鉴定可流动气体的压缩性，其定义为M二流速/声速，若M2<<1,可视气体为不

可压缩日勺。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而

当气流速度靠近或超过声速时气体应视为可压缩H勺。总之在实际问题中若不考虑

流体时可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。

2）粘滞性

为理解流动时流体内部日勺力学性

质，设想如图10.1.1所示口勺试验。在

两个靠得很近的大平板之间放入流

体，下板固定，在上板面施加一种沿

流体表而切向日勺力F。此时上板面下

的流体将受到一种平均剪应力F/AH勺作用，式中A是上板的面枳。

试验表明，无论力F多么小都能引起两板间日勺流体以某个速度流动，这正是流

体日勺特性，当受到剪应力时会发生持续形变并开始流动。通过观测可以发现，在

流体与板面直接接触处H勺流体与板有相似的速度。若图10.1.1中H勺上板以速度u

沿x方向运动下板静止，那么中间各层流体H勺速度是从0（下板）至h（上板）的

一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。试验成果表明，作用在流体

上口勺切向力F正比与板的面积和流体上表面口勺速度u反比与板间流体的厚度/,因

此F可写成

因而流体上表面H勺剪应力可以写成

1。

式中%是线段ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微

分形式表达更具有普遍性，这时上式可以改写成

du

T=LI------

dl,

mdU…

dF=Li----dA

或

dlo

上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数日称为流体的粘滞

系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。口为常数日勺流体称为牛顿流体，它反应了切应

力与角形变是线性关系，口不是常数日勺流体称为非牛顿流体。

流体欧J粘滞系数N是反应流体粘滞性的大小日勺物理量，在国际单位制中，粘

滞系数H勺单位是牛顿・秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动

层之间日勺流速不一样，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内

摩擦力就是上式中口勺切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流

体内部各流动层之间的粘滞阻力。

试验表明，任何流体流动时其内部或多或少口勺存在粘滞阻力。例如河流中心的

水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水口勺粘滞性导致时。在实际处

理流体的流动问题时，若流动性是重要日勺粘滞性作用影响不大，则可认为流体

是完全没有粘滞性H勺，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。

3）压力与压强

从前面日勺讨论懂得静止流体表面上没有剪应力，因此容器壁作用在静止流体

表面上的力是与液体表面正交口勺，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上口勺力也与

容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假

想平面，平面一方流体作用该平面日勺力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流

体内各点H勺压力一般是不一样样的，在流体表面压力的I方向只能是垂直于液体表面

,而流体内部某点的压力沿各个方向均有，由于过流体内部一点我们可以取任意

方向日勺平面。在流体力学中为了描述流体内部日勺作用力，引入一种叫做压强的物

理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计

算流体内某一点口勺压强，我们应当设想通过该点的假想平面As是无限小的，若该

面上口勺正压力为AF,则定义该点口勺压强

AF

p=lrim——

A。ASO

在国际单位制中压强欧J单位是牛顿/米2,也称为帕用Pa表达。在实际应用中压

强也有用等价欧I流体柱高表达的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压

强H勺单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元H勺法向也是矢量。既然流体

内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面

的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力AF可写成dF=-pdso由于

流体内部每一点均有压强因此说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所

考虑平面的法线决定，可以是任何口勺方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。

4）流体的密度和比重

在流体力学中常用密度来描述流体的）动力学规律，其定义和固体定义同样为

单位体积流体的J质量，即流体内某点的密度为

「Amdm

p=lim-----=——

AV->O

Avdvo

对均匀不可压缩H勺流体密度是常数，一般状况下流体内部各点H勺密度是不相似

的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积△▽，Av

中包括流体H勺质量为Am,因而Av内流体区J重量为Amg,由定义该流体区I比重

Amg

Y=lrim——-=pg

Av<-0Av

11.2流体静力学方程

1）静止流体内任一点的压强

静止流体内过一点可以沿许多不一样的方向取面元，目前来研究这些不一样

取向的面元上压强有什么关系。在静止日勺流体内部取一种很小的四面体ABC包围

该点，如图1021所示c设面元ABC法线H勺方向余弦为a、［3、

Y，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强Pl、P2、P3和

P表达，当流体静止时所受到口勺合外力为零，即

PASCOB-PASABCa=0

,P2ASOAC-PASABC-0=0

P3ASOAB-PASABC-y=0

由于

△SABC,a=ASCOB

'ASABC=AS°AC

.△SABC.y=ASOAB

由上式得到

P=Pl=P2=P3o

由于四面体是任意选用H勺，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上

沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线口勺方向无关。正由于如此，流

体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一种面的。

2）流体静力学方程

处理流体静力学问题时，常常取流体内部一-种小流体元作为研究对象。作

用在小流体元上的力大体可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，

我们称之为面力，如液体表面日勺正压力Pds。另一类是作用在整个小流体元上与

流体元日勺体积成正比的力，如重力pgdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿

定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处在静止状态时，流体内任一

小流体元受到的面力与体力之和必然为零，即平衡条件为

ZF面+ZF体=0

O

f占

与压强类似，我们引入一种体力密度dv,它

表达作用在单位体积流体上的体力。例如在只有重力

作用下，体力密度担勺大小就是比重陛，方向沿重力方

向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f=—pa。为

了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图1022所示的立方体流体元,

根据平衡条件有

PxASyz-(Px+APx)ASyz+Zf'Av=0

PyAS"—(Py+2^\)八50+ZfyAv=0

PzASxy-(Pz+APz)ASxy+ZfzAv=0

整顿后得

—APx.ASyz+Zf0v=O

一APyAs^+ZfyAv=0

一卸2乐丫+ZfzAv=0

运用

△p、—=A…七

AAAPyAA9A

△Py.AS"=—^-As^Ay=—^-Av,

.AyAy

△Pz.As.=W・ASxy・Az=W・Av,

AzAz

可将前式简化成

△Px

+Ef)-Av=O

Axx

△Py

+£fy)・AV=O

△y

维+Zfz)-Av=O

Azz

显然体积AvWO,因此只能是

-芈+〃=0，-卓+「=0,-普+。=。

AxAy"

在上面日勺式子中取极限Ax—°，Ayf°，AzTo,就可得静止流体内

任一点都

必须满足口勺方程

啜+江=。-凯西=。，卷+小=。

借助梯度算符

V=2在亘j+

dxdy

上式可以改写成更简洁的形式

Ef=vP

这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该

点

处压强的梯度则流体一定处在静止状态。

3）重力场中流体内部压强分布

i）液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设

液体日勺密度为p放置在一长方

形的容器内，液面日勺柱面高为Z0,液体表面内压强为Po

如图10.2.3所示。

在重力场中液体受到的体力密度为一pgk,由流体静

力学普遍方程得

Sp6p3p

—=0,—=0,—=-pg

dxdydz

由上述方程知液体内部压强与坐标x、y无关，只是深度日勺函数。积分第三

式得

p=-pgz+c,

当z=zo时P=Po/"=Po+pgzo,因此液体内部压强随深度变化的J关系为

P=pg(zo-z)+Po=pgh+Po.

式中h为液面下的深度。上式表明静止液体内部日勺压强只与距离液面下的

深度

有关与液体内部水平位置无关。

ii）气体：目前来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简朴起见,

假

定空气FI勺温度是不随高度变化的并且空气可以当作理想气体。假如在地

面处

空气日勺压强为Po、密度为po,则理想气体的状态方程可表达成

工堞

pPoo

以地面为坐标系原点所在处，Z轴垂直地面向上，由流体静力学方程

dp=-pgdz,o

将理想气体状态方程代入上式消除p得到

八八

dp=——PP°gdz

Po

分离变最后

LnR二-腌z

完毕上面的积分得P。P。

因此压强随高度日勺变化

p=poexp[-pgz/po]j,

这表明空气压强随高度日勺变化满足波尔兹曼分布。

4）帕斯卡原理

假如将不可压缩液体放在一种密闭口勺容器内，容器上端与一种可移动的

活

塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为Po时，按照重力场中液体内部

压强

公式，在液面卜深度为h处II勺压强为

P=Po+pgho

假如把活塞对液体表面的压强增大至Po+APo,液面下h深处日勺压强也会变

化，

按照液体内部压强公式，此时液体下h深处口勺压强变为

P'=P（）+AP+pgh=P+AP

（）（）o

这就是说当液体表面压强增长AP。时液体内任一点（h是任意）日勺压强也增

大了

APo,因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面啊压强传递到液

体

内的各个部份包括寄存液体的器壁，这•结论称之为帕斯卡原理，是初期

由

帕斯卡从试验中总结出来日勺，从现代观点看它是流体静力学方程日勺一种椎

论。

5）阿基米德定律

任何形状n勺物体置于密度为P口勺液体中都会受到液体口勺浮力，浮力［I勺大

小等

于物体排开液体日勺重量。这是一种试验规律称为阿基米德定律。从现代

观点

看，它也是流体静力学方程的推论。

如图1024所示，物体完全浸没在密度为plKj液体

中。由于物体在液体中处

于平衡状态，因此它受到日勺浮力与同体积的液体所受

到合外力相似，这样我们可以将此物体用同体积的液体

置换，置换部份液体受到H勺重力是-pgdv。耍使液体保持

平衡，周围的液体必然对它有一种向上H勺面力（浮力）作用于它。由流体静

力学方程

-pgk=Vp

dpdFdF

—pg=—=---------=—

得dzdxdydzdv

或者。

dF=­pgdv积分后得Ff,=F2-Fi=-pgv.于是得到浮力大小

F浮=FLF2=pgv

这就是说浮力是钻直向上的其大小等于物体排开液体日勺重量。

例一；在密闭的容器内盛满密度为pi欧I液钵，在液体中浸放一长为L、密

度为

p2的l物体，如图10.2.5所示。设p2<pi,则它必然浮于液体表面，当容器以

加

速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？

解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体

置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其他部份

保持平衡。若将容器取为参照系，可运用流体静力学方程

求H1液体整体运动时内部压力分布。

由f=Vp,

f惯=2，黑="重力

得dxdy

由于无沿y方向运动H勺也许性，故只讨论上式的第一种方程，其中

f产—pia

因此液体内部沿x轴压强分布为p=-piax+c（c为常量），置换液体相对其他

部份液体静止时两端口勺压强差为即=piLa,对应的压力差为AF=piav（v为置换部

份口勺体积），在所选择仙J参照系看来，合外力E=AF+F惧=piav-piav=0,液体相对

静止。对实际物体来说，受到的惯性力为-p2av,而物体两端的J压力差不变

仍然为AF,因此实际物体受至IJ的合夕卜力F'=AF+F©=piav-p2av>（）,由此可知，实

际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。

例二；密度为P日勺不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器

内，若此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液

体表面H勺形状。

解：以容器为参照系，此时流体内任一流体元都受到

重力与惯性力的作用，

对应H勺体力密度为pgk和-pa。由流体静力学方程

Vp=-pgk-pa=-pgk+pco2xi+pco2yj

得至1J

5P29p2

—=pojx,—=pcoy,

因此有

22

dx+—dy+一dz=pcoxdx+pcoydy-pgdz

6x6y6z

=—pco2d(x24-y2)-pgdz=—pco2dr2-pgdz,

积分后得

p=—pco-r-pgz+c

如附图10.2.6所示，当r=0时,z=h,p=po（po是液体表面的压强），因此c=po

+pgh,

最终求得液体内压强分布

p①2/L\

P=Po+亏r-pg(z-h)

o

又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处在静止状态,

液体

表面上任一点口勺合力必然沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满足下式

dz八parrarr

drPggo

积分后

32r2

z=------+c

2g,

当r=0时z=h,故c=h。最终得到液体表面日勺曲线方程

29

3r1

z=-------bh

2g.

由此式懂得液体表面为一旋转抛物线。

11.3流体运动学描述

1）流体运动分类

流体流动H勺分类有许多种，这里简介常常碰到H勺几种。

理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把

流体当作是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体日勺流动过程是无能耗

的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定

流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点『、J流速、密度、温度等物理量不

随时间变化。

例如在稳定流动时，假如流体内某点日勺速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s,则

在流体后来日勺流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、p、T分别表

3Vdp5T八

达流体内部速度、密度以及温度日勺分布，则稳定洸动时满足5t6toto

史=0

反之若流体内任一点的速度不满足5t就说流动不是稳定的），例如变速水泵

喷出的水流就是如此。

均匀流动：流体流动过程中假如任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相

史=0

似，不随空间位置的变化就称流动是均匀口勺。用公式表达可写成31，其中/

表达沿任意方向求导数。反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相似的流动

称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管日勺流动是稳定日勺均匀流

动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定日勺非均匀流动，流体加速

通过一喇叭形长管H勺流动是不稳定的非均匀流动。

层流与湍流；在流体流动过程中假如流体内的所有微粒均在各自的层面上作

定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样样，因此各流动层之诃存

在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层

流在低粘滞性，高速度及大流量的状况下是不稳定日勺，它会使各流动层之间日勺微

粒发生大量H勺互换从而完全破坏流动层，使流体内日勺微粒运动变得不规则，这种

现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更

多口勺能量损耗。

有旋流动：在流体的某一区域内，假如所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称

流体是作有旋流动。最直观欧I有旋流动是涡流，但不是仅仅J

「A

只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体与否作有旋流动是__广

---------A

用所谓日勺环量来刻画的。设想在流体内10.3.0

取一任意日勺闭合回路C,将流速V沿此回路日勺线积分定义为环量「，用公式表

达就是

屋=v•dl=Jvcos0dl

cc。

流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量到处为零口勺流动称为无旋流

动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。

2）流线与流管

研究流体的运动，可以观测流体内微粒通过空间各点时区I流速。一般状况

下，流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布

是时间与空间的I函数，即

V=V(X,y,z,t)o

物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，因此流体内各点流速分布就可

以当作速度场。描述场的几何措施是引入所谓H勺场线，就像静电场中引入电力线,

磁场中引入磁力线同样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定日勺，流线为

流体内日勺一条持续日勺有向曲线，流线上每一点日勺切线方向代表流体内微粒通过该

点时的速度方向，图10.3.1(a)给出了几种常见的流线。

一般状况卜空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由

于流线分布与一定口勺瞬时相对应

(参见图10.3.1(c)),因此在一般状况

下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道,

只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此

时流线才表达流体中微粒实际通过的行迹。

10.3.1

此外，由于流线的切线表达流体内微粒运动

的方向，因此流线永远不会相交，由于假如流线在空间某处相交就表达流体中的

微粒通过该点时同步具有两个不一样的速度，这当然是不也许的。

假如在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的

细管就称为流管，如图10.3.1(b)所示。由于流线不会相

交，因此流管内、外内流体都不具有穿过流管的速度，也就

是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外H勺流体也不

能流入流管内。

3）流量

流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流

体内部截取一种面A,定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体

积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它日勺边界作一流管，

在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会所有

通过面元dA,因此通过面元dA『、J流量就是dQ=vcosOdA。假如把面元定义为矢

量，取其外法线方向为面元H勺正方向即dA=dAn,那么通过面元dA的流量可以表

达成dQ=v.dA,而通过整个截面A的流量就可以表达成更简洁日勺形式

Q=JdQ=JvcosOdA=Jv・dA

AAA

11.4流体力学基本方程

1)一般方程

在流体内沿流管截取一小流体元，设在I时刻小流体元占有体积为V,边界为S。

按照它的体形在速度场中选用一假想体积，使得在I时刻假想体积与截取流体元

的体积完全一致如图1041(a)所示。图中虚线表达实际的流体元，实线表达假

想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间

-1

1

假象体积：1

会发生相对运动变成图10.4.1.(b)所示的状III;1T1T

I'IV•

况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，时刻io,4.

而周围日勺流体会流入假想日勺体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。

设N是流体元所携带日勺某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。

n是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是NH勺密度。我们来考察流体流动

时，物理量N随时间日勺变化规律。注意到在t+及时刻流体元占据的体积是O+IV,

而在t时刻占据日勺体积是I或II+HI,因此在t到t+加时间内流体元所携带物理量N的!

变化量

N+&-N=[Jndv+JndV'+出-[Jndv]t

II【VI

在上式右侧加上零因子

Undvjt+At-[jndV]t+At

inin

重新组合，然后除以出得

上式口勺第一部分

jr)dV_jr)dV>/dt=—jr|dV

Lil+dtLi

是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分

别为

UndV]t+dt[fndv]t+dt

—=1釉边界川vdA,-一=-1_

dA

,表达单位时间内流入流出假象边界口勺物理量N,它10.4.2

们可以用密度n对流量的积分给出。选择假想体积边界

面的外法线为正方向，如图10.4.2,上两式合起来就是

J假象边界nv,dA。将上面口勺成果代回方程得到

dN_ar.r"

—stJ假想体积n"+J假想边界n,y•dA

o

上式阐明流体元日勺某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物

理

量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该

体

积边界流入N量的净增长值。这是流体动力学的一种普遍规律，由此可以推出

流

体动力学H勺几种重要方程。

2）持续性方程

若考察流体流动过程中质量变化规律，取N=m,这时n=P。由于流体流动

驷=0

过程中质量不变出,一般方程式化为

°

出J假想体积PdV+/假想边界pv•dA=0

o

这就是流体力学日勺持续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到日勺，

其意义为在一种假想体积中，流体H勺质量随时间的变化等于单位时间从其边界流

入该体积的净质量。运用体积分化为面积分日勺公式

jV（pv）dV=jpv«dA

vs

持续性方程可化为

f—p.dV+|V(pv)dV=0

vStv

+V(pv)]dV=0

即

由于dVwO,因此只能

*pv)=。

上式就是持续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。

3）能量方程

假如我们讨论流体H勺能量变化，可取N二E,此时n=Pe,式中e为单位质量

流体

的能量。由一般方程式得

dEd

了二观/f假想体积PedV+Jr假想边界Pev•dA

9

上式就是流体内部能量满足口勺方程。它表达流体能量随时间日勺变化可由假想

体积内流体能量随时间口勺变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。

4）动量方程

假如我们讨论的是流体动量怎样随时间变化，可取N二p,此时”=pv。

将此关

系代入一般方程可得流体力学日勺动量方程

三=及J假想体积PV,dV+J假想边界pv（v.dA）

其意义为流体日勺动量随时间H勺变化率等于假想体积内流体的动量随时诃的

变化加上从假想体积边界流入该体积中口勺净动量。

5）方程的应用

i）作为持续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳

定日勺，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体

曳二0

积由流管的边界与上、下两个面1和2包围。对稳定流动式,这时持续性方程

退化成

［假想边界PV・dA=O

O

这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净

质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，因此流体

只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1

流入内流体质量必然等于通过截面2流出假想体积口勺质量,

JpMdA]=Jp2V2dA2

即siS20

假如用pl及p，2分别表达微面1与截面2处日勺豆均密度，用Ql、Q2表达通过截

面1与截面2日勺流量，上式可以表达成更以便日勺形式

pQ=PM,

对于不可压缩的流体

Pi=P2,

上式退化为Q尸Q?o

成果表明，不可压缩口勺流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相似，

它是质量守恒的必然成果。

ii）作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。

沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两1

史=0

个截面包围，同样地，对稳定流动有St且任意一点流速

10.4.4

v=常量因此动量方程退化成

dp.

假想边界pv(v.dA)

dt

由于在载流管的边界处流速V垂直于载流管H勺内表面，因此上式中对假象体

积H勺外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分

dp

=JpM(V[.dA)+fp2v2(v2.dA)

dtsiS2

=P|VIfv1.dA+p2v2fv2.dA

SIS2

=-plVlQl+p2V2Q2

这里日勺PI、P2、VHV2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。假如

流体是不可压缩的且流动过程中质量守恒，这时pl=p2=p,Q1=Q2=Q,

成果简化成

^=pQ(v2-v1)

dt。

从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的变化是由于管壁施加给流体作用力

的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对

载流管日勺作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。

11.5理想流体的流动

1）沿一条流线的欧拉方程

先来简介流体力学中一种十分重要的方程一欧

拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无黏滞

性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S,如图

10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA,氏为ds^J一

小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截

面上的正压力（以流线的方向为参照方向）

-(p-Pj)dA喂"Ads-生dv

2ds

力的方向沿着流线口勺切向。这段流体元还受到重力日勺作用，其大小为Amg=

pgdv,方向竖直向下。设重力与流线之间日勺夹角为8,则重力沿着流线切线方向的

投影为（见图10.5.1）

pgcosOdv=-pg—dv

ds

对所取MJ流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是

-生dv-pg包dv=padv

dsds

式中a为流体元沿流线切向日勺加速度。将pg用比重y表达，并消除上式中dv得到

dp

---Y—=pa

Ssas0(i)

式中的切向加速度a可改写成

dv5vds6vSv6v

a=—=-------1----=v-----1----

dt3sStdtdsdi,

把上面的式子代回前面的式子（1）就可以得到

1dpdz5Vsyc

—--+g——+v——+——=0

p5sdsdsdt

史=0

这就是沿一条流线的欧拉方程。对于稳定流动St,欧拉方程退化成

1dpdzSv

4-g------FV——二0

p3sds8s

由于此时只有一种变量（空间变量s）,上式中的偏微分可用全微分替代，去

掉微分公因子ds后得

—+gdz+vdv=0

P-

2）柏努利方程

无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必然满足上式。对理想流体,

由于不可压缩上式中的密度p是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度p为常量

就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程

PIgzI1丫2=常数

P2

上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是伴随不一样

流线而变化的。式中每一项H勺量纲都是单位质量的能量［M2S-2］。若将上式除以g,

每项就成为单位重量的能量，即

R+z+二=常数

Y2g

对液体来说，用上式比较以便。若用pg乘上式就得到

p+pgz+-^pv2=常数

该式用于气体显得以便某些，由于对气体来说高度z日勺变化往往是不很重要

的，在精度规定不很高日勺状况可将其略去，这样方程显得简朴。

目前来阐明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项p/p是单位质量流

体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做

的功。为了弄清这一点可参见图1052装置，一种由叶片构成的涡轮」

放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一种力矩

使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面10.5.2

积dA,若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r,就是作用在涡轮转轴上的力

矩。假定叶片在出时间内转过d0角度，则力矩对涡轮做功

dw=Nd0=PdArdO=PdAds

式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以dt时间内流出液体日勺总质量pdAds,

就是单位质量的液体对涡轮所作日勺功

pdA•ds_p

pdA-dsp

第二项gz是单位质量流体日勺势能。由于质量为Am日勺流体在重力场中提高z

高度时重力所做日勺功是-Amgz,这时流体日勺势能增长了Amgz,因此单位质量

流体的I势能就是gz。v2/2项是单位质量流体日勺动能。由于质量为Am

的流体以速度v运动时它具有动能是Amv2/2,故单位质量流体的动能为V2/2,从

上面日勺分析可以懂得，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时日勺能量方

程。

有关柏努利方程的应用应注意下面几点，a）当所有的流线都源于同一流

体库，且能量到处相似，这时柏努利方程中时常数不会因流线不一样而有所不一

样。这时对所有的流线来说柏努力数都相似，此时柏努力方程不限于对一条流线

的应用。b）在通风系统中口勺气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气

体可以当作不可压缩的，柏努利方程仍可合用，不过气流的密度应取平均密度。

c）对渐变条件下日勺非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起日勺误差不会很

大。d）对于实际流体的|稳定流动，可先忽视流体日勺粘滞性，用柏努利方程得到一

种理想日勺成果，然后再用试验作某些修正，也就是说要加入能量损耗项。

例题，水正沿着如附图所示日勺管内流动，管上端的直径为2米，管内流速

为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体,

沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。

解：沿管日勺中心取一条流线，按柏努利方程在流线日勺两端I、2处

22

VV

..Pl,7_2,P2+7

—十—十z1——i--------十Z?

2gy2gy

由已知P|二P2因此

(Zl-Z2)=7-(V2-Vi)

2g

设管上端与地面的落差为y,显然y=zi-Z2-0.5,由此得到

y=；(v：_v；)_0.5

2g

将v尸3米/秒，V2=1O米/秒代入上式，解得尸3.64米。

11.6实际流体的流动

1）斜面上稳定的层流

在实际流体的流动过程中必须考虑流体H勺粘滞

性。各流动层之间日勺内摩擦力使实际流体的流动变

成不可逆过程，也导致流动过程中能量的损耗。目

前考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示。设

上平面口勺流速为v,它的流动平行于斜面，下平面与

斜面接触流速为零，整个流动层口勺厚度为a,各流动层之间存在速度梯度。为了

分析以便，在流体内沿流动层隔离出一种高度为cy、长度为dl、单位宽度的薄片

状流体元，如图中央欧J长方块所示。在稳定流动条件下此薄片以恒定速度u沿斜

面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受到三个力的作用。a）平行于

斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）

jzjdpjdpj

pdy-(pdy+—dy-dl)=—dydl

b）粘滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小

为

../clx,...(IT...

-rdl+(idlH----dydl)=—dydl

dydy

c）薄片状流体元受到日勺重力，其大小为rgdldy方向竖直向下，设重力与斜

面法线

的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是

pgsinOdldy=-pg(—)dldy

dl。

式中dl是流体元沿斜面H勺长度，dh是流体元两端距地面的高度差。由于讨论

的是稳定流动，此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零，其动力学方程就

是

dp,,dx_』/dh、皿八

——-dydl+—dydl-pg(—)dldy=0

dldydl

将上式除以dydl,整顿后得

dxd..

d?=dl(zp+Yh)

另首先，运用牛顿粘滞性定律

du

T=LI——

dy,

dxd2ud..

一=日—7=—(p+yh)x

2

可得dydydl

式中(p+gh)与y无关只是沿斜面/的函数，这是由于流体元沿着y方向无运动。

将上式对y积分一次后

dud,A

口矿y》p+yh)+A

再积分次就得到速度分布

u=—y2—(p+yh)+—y+B

211dl|LI

式中A与B都是积分常数，运用边界条件y二。时u二0及y二a时U7。可得

B=0,

A|LIVId.

A=T-^(P+Yh)a0

将其代回到解式最终得到流体内部速度分布

V1d.L、/2、

u=_y一丁刀(p+yh)(ay—y)

a2|idl

假如层流的宽度不是一种单位而是任意宽度上式仍然成立，这是由于流动层

的速度与宽度无关可从方程中消除。从平面层流向速度分布函数可以看出，流体

沿斜面稳定流动时其内部的速度分布是抛物线形丛j,这意味着流速最大的流动层

并不在上衣面而是在流体内部的杲一层。将上式对y积分可以求出流体沿斜苴流

动日勺平均速度

_1r,V1d

『尸丁用疝(P+Yh.2

因此沿斜面稳定流动过程中每米宽度的流量

C-va1d.仆3

Q=w=2(P+9

2）圆管内稳定层流。

当流体在圆管内稳定流动时，由于流体的流动

具有圆柱形对称性，故取一轴对称圆柱壳形日勺流

体元作为研究对象，如图10.6.2所示。圆柱薄壳

的半径为r,

壳的厚度为dr,柱高为dl。作用在流体