中考数学三轮冲刺培优训练专题20几何变式与类比探究综合问题（原卷版）

专题20几何变式与类比探究综合问题（最新模拟40题预测）一、解答题1．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α(1)问题发现①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD(3)问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD的长______．2．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）【问题背景】在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是___________．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=1【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．（2023秋·四川德阳·八年级统考期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为______；②线段AE、BD之间的数量关系为______；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．4．（2023·全国·九年级专题练习）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且5．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）问题探究(1)如图①，在正方形ABCD中，AB=4，点F为BC的中点，过点F作FE⊥AC于点E，则EF的长为__________；(2)如图②，四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，点E、F分别在AC、BC上，连接CH，求证：CF=2问题解决(3)为打造宜居环境，建设美丽家园，计划对如图③所示的菱形空地ABCD进行绿化改造，菱形ABCD足够大，∠D=60°，EF是一条水渠，点E、F分别是AB、CB的中点，点G、H分别在EF、FC上，点M在菱形ABCD内部，现将四边形GMHF改造成草地，并沿线段FH、FG、FM种植乔木绿化带，已知GM=HM，∠GMH=60°，GF+HF=40米，且种植乔木绿化带每米费用约为200元（不计宽度），请计算种植上述三条乔木绿化带大约需花多少钱？6．（2022秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GP⊥AE．①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；②推断：GFAE的值为：（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB=23．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC、AB上，求DNAM（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若BEBF=34，7．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∘（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、8．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α0°<α<90°，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；(3)再探究：在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；(4)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．9．（2021秋·福建漳州·九年级漳州三中校考期中）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．(1)如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求线段EF的长；(2)如图3，连接DG，当EF∥BD且点D，G，E三点共线时，求线段AE的长；(3)当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出线段AE的长；若不存在，请说明理由．10．（2023·全国·九年级专题练习）某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ、则BP和CQ(2)变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为10，CQ=2，求正方形ABCD11．（2022春·广东珠海·八年级统考期末）宽与长的比是5−1如希腊的巴特农神庙等．下面我们折叠出一个矩形：第一步，在一张宽为2的矩形纸片一端，用下图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如下图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到下图中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D处折出DE，得到矩形BCDE．(1)证明矩形BCDE（下图）是黄金矩形．(2)定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1<S2），如果S1(3)下图中，以C为原点，CD、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直接写出△END中经过点C的“黄金分割线”的解析式．（不要求写过程）12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝3，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．13．（2023·河南驻马店·统考一模）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．(1)如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、(2)将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．(3)已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．14．（2023·贵州遵义·统考一模）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE=DF．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN15．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．16．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是射线BC上的动点，连结AP，在AP的右边作∠PAQ=12∠BAC，交射线BC(1)当BP=1时，求点P到AB的距离．(2)当点P在线段BC上运动时，记BP=x，CQ=y，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．(3)在点P的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为45°时，求BQ的长，并指出相应的45°角．17．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB，BC上，BE=CF，AF与CE交于点P．(1)求证：∠APE=60°；(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长？(3)当AB=23时，求PD18．（2023·河南安阳·统考一模）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．(1)操作探究：如图1，△OAB为等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE=°，OF与DE的数量关系是(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的角平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形△OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°．将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF．当∠EAB=15°时，请直接写出OF的长．19．（2023·江苏淮安·统考一模）【背景】如图1，矩形ABCD中，AB=43，AB<AD，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD使点A落在MN上的点K处，折痕为BP【操作】（1）用直尺和圆规在图1中的AD边上作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；【应用】（2）求∠BKM的度数和MK的长；（3）如图2，若点E是直线MN上的一个动点．连接EB，在EB左侧作等边三角形BEF，连接MF，则MF的最小值是__________；【拓展】（4）如图3，若点E是射线KM上的一个动点．将△BEK沿BE翻折，得△BET，延长CB至Q，使BQ=KE，连接TQ．当△BTQ是直角三角形时，KE的长为多少？请直接写出答案：__________．20．（2023·广西南宁·校考一模）如图甲，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，且BE=CF，连接AE、BF交于点G．(1)求证：AE⊥BF；(2)如图乙，连接GC，若GC平分∠EGF，求证：AB=2CF；(3)如图丙，在（2）的条件下，连接GD，过点E作EH∥GD交CD边于点H，交BF于点M，若FH=1，求线段FM的长．21．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，圆O为△ABC的外接圆，BO延长线与AC交于点D，OE⊥BC，点F在OE上，BD平分∠ABF．(1)如图1，求证：△ABD∽△OBF；(2)如图2，连结DF，求证：DF∥AB；(3)如图3，连结CF并延长分别交BA，BD于G，H两点，若∠DFC=6∠BCG，BD=2FG，求GHBH22．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0<t<4）．(1)设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？(2)在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；(3)如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，当四边形PQP'C为菱形时，求实数t的值．23．（2023·安徽合肥·校考一模）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE=DF”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：(1)【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH(2)【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH(3)【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF24．（2023·河南新乡·统考一模）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0°<a<360°)，连接BD，AE，请完成如下问题：(1)如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是________；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；类比探究：(2)如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD=60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=22，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD25．（2023·陕西西安·校考二模）（1）如图，在△ABC中，∠B=120°，AB=4，则BC边上的高为______．（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=43，BC=10，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若（3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=60°，AD=12，CD=16，△AEF的顶点E，F分别在边BC，CD上，若∠AEF=60°，26．（2023·安徽蚌埠·校联考一模）如图1，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F在AD边上，DE与CF交于点G．(1)若G为DE的中点．①求FGCG②连接EF，若∠EFC=90°，求证：DC=DF．(2)如图2，若∠EGC=∠A，求证：AD⋅FC=2AE⋅DE．27．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF=45°，(1)不添加辅助线，在图中找出一个与△BDE相似的三角形（不需证明）；(2)若AD=1，AF=2，求(3)若tan∠BDE＝128．（2023·福建莆田·校考一模）如图，△ABC中，∠BAC=90°，以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形ACD，AC=CD，∠ACD=90°，点E是BC边上一点，且(1)探究：∠CDE与∠ACB的数量关系；(2)求证：BC=CF+AB；(3)若AD=42，AB=3，求EF29．（2023·安徽滁州·校联考一模）在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在BC边和AC边上，AD，BE相交于点F．(1)如图（1），已知：∠AEF=∠BDF．①若ACAB=3②若AD=BF，求证：AD⋅CD=AC⋅DF；(2)如图（2），若AE=CD，BD=AC，EG⊥BE交AF于G，求证：EF=EG．30．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4.点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．(1)填空：∠AHC______∠ACG；(填>或<或=)(2)设AE=m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值；②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．31．（2023·河南洛阳·统考一模）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连接CD，CG．若CG⊥DE，CD=10，AE=6，求DEBC【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=8，求32．（2023·上海金山·统考一模）已知平行四边形ABCD中，AB=35,tan∠ABC=2,BC=5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD=∠ABC，射线PE交射线BA于点(1)如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；(2)如图2，点E在BA的延长线上，当EP=AD时，求AE的长；(3)当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．33．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）已知两个等腰Rt△ABC,Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF,M是AF(1)如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；(2)如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．34．（2023·上海徐汇·统考一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE=∠ABC，AE交对角线BD于点F．(1)求证△ABF∽△DBA；(2)如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE，当DE⊥FC时，求cos∠ABD35．（2023·湖南衡阳·衡阳市华新实验中学校考一模）已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF=90°，AB=BF=8cm，AD=BE=6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，过点M解答下列问题：(1)当t为何值时，MF⊥BD？(2)连接MN，作NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；(3)连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t36．（2023·陕西西安·校考一模）（1）如图1，⊙A的半径为2，AB=5，点P为⊙A上任意一点，则BP的最小值为．（2）如图2，已知矩形ABCD，点E为AB上方一点，连接AE，BE，作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，求∠BPE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP，CP，若矩形的边长AB=6，BC=4，BE=BA，求此时CP的最小值．37．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考一模）问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）问题探究探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB