北京市西城区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷（含解析）

北京市西城区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷本试卷共4页，全卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A.(-∞，1) B.(-2，1)C.(-3，-1) D.(3，+∞)2.复数在复平面上的对应点落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，值域为且在区间(0,+∞)上单调递增的是A. B.C. D.4.设等差数列的前项和为,若,,则A. B. C. D.5.设，则（）A B. C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（）A. B.C. D.7.“”是“函数为偶函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.点声源在空间中传播时，衰减量（单位：dB）与传播距离r（单位：米）关系式为，则r从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（）参考数据：A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB9.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.10.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11.已知角终边上一点，则______．12.函数的定义域为____.13.已知为第二象限角，，则______．14.已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数______.15.已知函数，给出下列三个结论：①当时，函数单调递减区间为；②若函数无最小值，则的取值范围为(0,+∞)；③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在四边形中，，，，，.（1）求；（2）求的长.17.已知函数，且．（1）求a的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间；（3）若对于任意的，总有，直接写出m的最大值．18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调性；（3）求函数在上的最小值．19.在中，已知．（1）求角C大小；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长是．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为.现从若干张不同人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明）21.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）若，证明：北京市西城区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷本试卷共4页，全卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A.(-∞，1) B.(-2，1)C.(-3，-1) D.(3，+∞)【正确答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【详解】由题意得，，则．故选A．本题考点为集合的运算，为基础题目．2.复数在复平面上的对应点落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】D【分析】根据复数四则运算可求解.【详解】由题可知，所以复数对应的点为在第四象限，故选:D.3.下列函数中，值域为且在区间(0,+∞)上单调递增的是A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．【详解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；（B）的值域是（0，＋∞），排除；（D）＝，（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；只有（C）符合题意.故选C.本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．4.设等差数列的前项和为,若,,则A. B. C. D.【正确答案】B【详解】等差数列的前项和为Sn，，，故选5.设，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用指数函数的性质，求得，再结合对数函数的性质，得到，即可求解.【详解】由指数函数的性质和，可得，即根据对数函数的性质，可得，因为，所以，综上可得.本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6.已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据图像求出，周期，利用周期公式可求，又过点，利用五点作图法可求，即可求函数的解析式．【详解】根据图像得，，可得，∴，又过点，可得，由五点法可得，解得，所以．故选：C．7.“”是“函数为偶函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用，得出，从而求出，再利用偶函数的定义进行判断即可得出充分性成立，再利用，得出，从而判断必要性成立，从而得出结果.【详解】若，得到，所以，当时，，当时，，即或，当时，恒有，当时，，所以，若，则为偶函数，若为偶函数，则，所以，化简得，所以，故选：C.8.点声源在空间中传播时，衰减量（单位：dB）与传播距离r（单位：米）的关系式为，则r从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（）参考数据：A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB【正确答案】B【分析】根据对数的运算法则化简计算即可求得增加值.【详解】由已知，所以r从5米变化到40米衰减量的增加值为，整理得.故选：B9.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即故选B本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.10.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【正确答案】B【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为+S△POB+S△POA=4β+.故选B.本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11.已知角终边上一点，则______．【正确答案】##【分析】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角公式运算求解.【详解】因为角终边上一点，则，所以.故答案为.12.函数的定义域为____.【正确答案】【分析】根据函数有意义得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，所以函数的定义域为故13.已知为第二象限角，，则______．【正确答案】【分析】利用诱导公式与同角的正余弦的平方关系和两角和的正弦公式即可求解.【详解】因为，所以，因为为第二象限角，所以，所以.故答案为.14.已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数______.【正确答案】（答案不唯一）【分析】结合导数公式写出一个满足条件的函数即可.【详解】因为是偶函数，设，则，由题意可知，，解得，故.故答案为.15.已知函数，给出下列三个结论：①当时，函数的单调递减区间为；②若函数无最小值，则的取值范围为(0,+∞)；③若且，则，使得函数恰有3个零点，，，且．其中，所有正确结论的序号是______．【正确答案】②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；对于②，函数可转化，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数无最小值，则取值范围为(0,+∞)，故②正确；对于③，令即，结合函数图象不妨设，则，所以，，，所以，令即，当时，，存在三个零点，且，符合题意；当时，，存在三个零点，且，符合题意；故③正确.故②③.本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在四边形中，，，，，.（1）求；（2）求的长.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.【详解】（1）因为，，则、均为锐角，所以，，，，，则，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17.已知函数，且．（1）求a的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间；（3）若对于任意的，总有，直接写出m的最大值．【正确答案】（1）；（2）函数的最小正周期为，单调递增区间为，；（3）m的最大值为.【分析】(1)由条件列方程求a，(2)由辅助角公式化简函数表达式，结合正弦函数的性质求函数的最小正周期及单调递增区间；(3)解不等式求x的范围，由此确定的最大值.【小问1详解】因为，，所以，所以，所以，所以，【小问2详解】由(1)，化简得，所以，所以函数的最小正周期，由，，得，，所以函数的单调递增区间为，；【小问3详解】由，可得，所以，所以，，化简可得由对于任意的，总有可得的最大值为.18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调性；（3）求函数在上的最小值．【正确答案】（1）.（2）当时，单调递减；当时，单调递增.（3）答案见解析.【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，利用导数的正负即可得到单调性；（3）按a的取值情况，再借助单调性讨论求解即可.【小问1详解】当时，，则，所以，，所以曲线在处的切线方程为.【小问2详解】由题意得，因为恒成立，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.【小问3详解】由（2）得，①当时，在上单调递减，；②当时，在单调递减，在单调递增，；③当时，在上单调递增，.19.在中，已知．（1）求角C的大小；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长是．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理边化角即可结果；（2）利用正弦定理可得.若选条件①：根据题意可得，进而分析其唯一性即可；若选条件②：利用余弦定理可得，，进而求，进而可得面积；若选条件③：根据周长可得，利用余弦定理并分析其唯一性.【小问1详解】因为，即，可得，且，所以.【小问2详解】因为，，由正弦定理可得，可得.若选条件①：因为，，即，可得，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意；若选条件②：因为，由正弦定理可得，且，则，可得，则，，因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，又因为，所以的面积；若选条件③：因为的周长是，则，即，由余弦定理可得，即，整理可得，且，可知方程有2个不相等的实根，且，可知方程有2个不相等的正实根，即边a不唯一，不合题意.综上，只有选条件②符合题意.20.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为.现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明）【正确答案】（1）（2）分布列见解析；（3）【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知的所有可能取值为，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片