1.4角平分线的性质 同步练习（含答案）-八年级下册数学（湘教版2024）

.4角平分线的性质一、单选题1．如图，∠1=∠2，A．PD=OD B．PC=PD C．∠DPO=∠CPO D．OD=OC2．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC3．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若△ABC的周长为30，OM=4．则△ABC的面积为（）A．30 B．15 C．60 D．1204．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，如果CD=5，P为AB上一动点，那么PD的最小值为（）A．8 B．5 C．3 D．25．下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等二、填空题6．如图，∠ABC的平分线BD与外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，BE=10，CF=8，则EF=7．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交OA，OB于M，N两点：分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线OP，若点Q在射线OP上且到OA边的距离恰好为5cm，则点Q到OB边的距离为8．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB=5，AE=3，则△ADE的周长为9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=18，AB=8，BC=4，则DE=10．如图，在长方形ABCD中，点E在CD上，并且∠EAD=13°，将△ADE沿AE翻折并压平得到△AD'E，若AF平分∠BAD'，过点E作EF⊥AF11．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC=30°，且OM=ON，则∠ABO=°．三、计算题12．如图1，将直角三角板BOC中一个60°角的顶点O放置在直线MN上．（1）若按照图2摆放，使边OC在∠AON内部，且OC平分∠AON，∠MOA=100°，则∠AOB=______度；（2）若按照图3摆放，射线OA平分∠BON，写出∠BOM与∠AOC度数关系，并说明理由；（3）若三角板边OC与射线ON重合时（如图4），三角板在直线MN上绕点O逆时针旋转运动（OC边始终在∠AON内），∠AON=α60°<α<180°，在旋转过程中，试探究∠BON与∠AOC13．已知∠AOB=90°，∠COD(1)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD=；②∠BOC-(2)若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC-(3)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°(n≤360)，若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD14．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点．图1图2图3（1）问题探究①若AB=6，AC=2，求MN的长度；（写出计算过程）②若AB=a，AC=b，则MN=___________；（直接写出结果）（2）继续探究“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知∠AOB=80°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的角平分线OM，ON．③若∠AOC=30°，求∠MON的度数；（写出计算过程）④若∠AOC=m°，则∠MON=_____________°；（直接写出结果）（3）深入探究“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若∠AOB=n°，在角的外部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的角平分线OM，ON，若∠AOC=m°，则∠MON=__________°．（直接写出结果）四、解答题15．如图，三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上，三角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边只处于直线AB的上方），OM，ON分别平分∠AOC和∠（1）当三角板旋转到∠AOC=40°的位置时，求∠MON（2）∠MON的度数是否随着三角板的旋转而变化？五、作图题16．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）六、综合题17．如图，如图，已知等腰ABC中，AC=AB，BD是∠ABC的角平分线.（1）尺规作图：作出∠ACB的角平分线，交AB于点E，交BD于点F(不写作法，保留作图痕迹)（2）试判断△BFC的形状，并说明理由.18．如图，已知：AB=AD，BC=CD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．求证：（1）∠B=∠D；（2）AE=AF．19．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）求∠E的度数．（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．七、实践探究题20．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD．CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

答案解析部分1．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质2．【答案】C【知识点】角平分线的判定3．【答案】C【知识点】角平分线的性质4．【答案】B【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质5．【答案】B【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题6．【答案】2【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念7．【答案】5【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线8．【答案】8【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线9．【答案】3【知识点】角平分线的性质10．【答案】32°【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质11．【答案】15°【知识点】角平分线的判定12．【答案】（1）20（2）∠BOM=60°+2∠AOC（3）∠BON+∠AOC=60°+α【知识点】角的运算；角平分线的性质13．【答案】(1)①150°；②30°；(2)8t－60或2t+60；(3)∠EOF的大小为15°或165°.【知识点】角的运算；角平分线的性质14．【答案】（1）①3；②12a；（2）③40°；④【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算15．【答案】（1）135°（2）不变【知识点】角的运算；角平分线的性质16．【答案】如图，点P为所作．【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线17．【答案】（1）证明：（1）作图∴如图所示，CE为所求．（2）解：△BFC是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACB．∵BD平分∠ABD，CE平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，∴∠FBC=∠FCB，【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线18．【答案】（1）证明：在△ABC与△ADC中，

AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D（2）证明：∵△ABC≌△ADC，

∴∠ACB=∠ACD，∵AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∴AE=AF【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质19．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E，∵∠A=40°，∴∠E=20°（2）解：∠A=2∠E，理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），∴∠A=2∠E【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质20．【答案】（1）解：如图①，在OP上任意取一点A.然后以点O为圆心，任意长为半半作弧.分别交OM，ON于点B，C，连接AB，AC，则△OAB≌△OAC.FE与FD之间的数是关系为FE=FD．（2）解：（1）中的结论FE=FD仍然成立．证明如下：如图（3），在AC上截取AG=AE．连接FG．∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠GAF．又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，AE=AG，∴∠AFE=∠AFG．FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠DAC+∠ECA=60°．∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．∴∠CFG=∠CFD=60°．由∠ECA=∠ECB及FC为公共边，易得△CFG≌△CFD，∴FG=FD，∴FE=FD．∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=4