2025年外研版三年级起点九年级数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点九年级数学上册阶段测试试卷970考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、抛物线y=-2x2+x+3与两坐标轴的交点个数为（）A.0B.1C.2D.32、下列图形中，某个图形中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的，这个图形是（）A.B.C.D.3、下列图形中，是中心对称图形的是()4、（2011•潍坊）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）。同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A.甲B.乙C.丙D.丁5、如图，隆脩O

中，PC

切隆脩O

于点C

连PO

交于隆脩O

点AB

点F

是隆脩O

上一点，连PFCD隆脥AB

于点DAD=2CD=4

则PFDF

的值是(

)

A.2

B.5

C.53

D.43

6、△ABC中，tanB=cot（90°-C）=，则△ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7、小明用一枚均匀的硬币进行试验；连续抛掷三次，结果都是同一面的概率是（）

A.

B.

C.

D.

8、如图；等腰梯形ABCD的周长是104cm，AD∥BC，且AD：AB：BC=2：3：5，则这个梯形的中位线的长是（）

A.72.8cm

B.51cm

C.36.4cm

D.28cm

9、如图；矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于。

A.B.1C.D.2评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、已知一元二次方程的两根分别为-5、3，则此方程可以为____．11、如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA=40°，C为另一半圆上任意一点（不含A、B），则∠PCB＝度．12、若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．13、若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，则△ABC的最长边的高的长度等于____．14、有三张卡片（背面完全相同）分别写有；-2，3，把它们背面朝上洗匀后，小军从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张．

（1）小军抽取的卡片是的概率是____；两人抽取的卡片都是3的概率是____．

（2）李刚为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小军获胜，否则小明获胜．你认为这个游戏规则对谁有利？请用列表法或树状图进行分析说明．15、已知两圆的半径分别是4cm和5cm，当两圆外切时，两圆的圆心距为____cm．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)16、判断（正确的画“√”；错误的画“x”）

（1）若a=b，则a+2c=b+2c；____

（2）若a=b，则=；____

（3）若ac=bc，则a=b；____

（4）若a=b，则a2=b2；____．17、两条对角线相等的四边形是矩形．____．（判断对错）18、在同圆中，优弧一定比劣弧长．____．（判断对错）19、等腰梯形、直角梯形是特殊梯形．____（判断对错）20、了解2008年5月18日晚中央电视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率，采用抽查的方式____（判断对错）21、因为直角三角形是特殊三角形，所以一般三角形全等的条件都可以用来说明2个直角三角形全等．____（判断对错）22、矩形是平行四边形．____（判断对错）23、在学习代数式的值时，介绍了计算框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）

（1）①如图1，当输入数x=-2时，输出数y=____；

②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填____；

（2）①如图3，当输入数x=-1时，输出数y=____；

②如图4，当输出的值y=37，则输入的值x=____；

（3）为鼓励节约用水；决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费．请设计出一个“计算框图”，使得输入数为用水量x，输出数为水费y．

评卷人得分四、证明题(共4题，共28分)24、已知，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=1，PC=2，求证：∠BPC=135°．25、（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE2=EF•EC．

（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；

（2）求证：AF•AD=AB•EF．26、如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，求证：∠B+∠1=2∠2．27、在△ABC中，AD是中线，DM是∠ADB的平分线，交AB于M，DN是∠ADC的平分线交AC于N点．求证：BM+CN＞MN．评卷人得分五、解答题(共3题，共9分)28、计算：×（π-2012）0+sin45°-（）-1．29、计算：．

30、选择适当方法解下列方程：

（1）（x+2）2-3=0

（2）（2x-3）2=x2．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)31、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=-+bx+c交于A；B两点；点A在x轴上，点B的横坐标为-8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合）．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）连接PA；PB；在点P运动过程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一个直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过P作PD∥y轴交直线AB于点D；以PD为直径作⊙E，求⊙E在直线AB上截得的线段的最大长度．

32、如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（3；0），点B（-1，0），与y轴负半轴交于点C，连接BC；AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的倍？若存在；求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2；直线BC与抛物线的对称轴交于点K，将直线AC绕点C按顺时针方向旋转α°，直线AC在旋转过程中的对应直线A′C与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时点M的坐标．

33、已知在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴上，并且OA、OC是方程x2-12x+32=0的两根（OA＜OC）；AB⊥y轴；BC⊥x轴，将OC沿对角线OB进行翻折得到OD．求：

（1）点A；点B的坐标；

（2）直线OD的解析式；

（3）在直线OB上是否存在点E，使O、D、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．34、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-（m-1）x+m2-6交x轴于点A；D，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是y轴正半轴上一点；且在B点上方，∠ECB=∠CAB，求证：CE是△ABC外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P；使以B，D，P为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）图2中，设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度（0＜t≤）时；△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【分析】根据一元二次方程-2x2+x+3=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=-2x2+x+3与x轴的交点个数．【解析】【解答】解：当y=0时，-2x2+x+3=0．

∵△=12-4×（-2）×3=25＞0；

∴一元二次方程-2x2+x+3=0有两个不相等的实数根，即抛物线y=-2x2+x+3与x轴有两个不同的交点；

当x=0时，y=3，即抛物线y=-2x2+x+3与y轴有一个交点；

∴抛物线y=-2x2+x+3与两坐标轴的交点个数为3个．

故选D．2、B【分析】【分析】根据旋转的性质；关键是找到实际图形中的：

①定点-旋转中心；

②旋转方向；

③旋转角度；分析可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；关键是找到：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度；

分析可得：中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的；

故选B．3、B【分析】本题重点考查中心对称和轴对称的图形的概念。中心对称图形也有它的特点它的角一般为偶数个所以C、D不正确；而B绕中心旋转180度会和本身重合，而A不会。故B正确。【解析】【答案】B4、D【分析】【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可。

【解答】如图；甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；

乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50≈70.71m；

丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=≈67.18m；

丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45≈77.9m．可见JK最大；故选D．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值5、C【分析】解：连接ACOCOFBC

．

隆脽AB

是直径；

隆脿隆脧ACB=90鈭�

隆脽CD隆脥AB

隆脿隆脧ADC=隆脧BDC=90鈭�

隆脿隆脧ACD+隆脧CAD=90鈭�隆脧ACD+隆脧BCD=90鈭�

隆脿隆脧CAD=隆脧BCD

隆脿鈻�ADC

∽鈻�CDB

隆脿ADCD=CDDB

隆脿24=4DB

隆脿DB=8OA=OB=5OD=3

隆脽PC

是切线；

隆脿OC隆脥PC

隆脽隆脧DOC=隆脧POC隆脧ODC=隆脧OCP

隆脿鈻�ODC

∽鈻�OCP

隆脿ODOC=OCOP

隆脿OC2=OD?OP

隆脿OF2=OD?OP

隆脿OFOD=OPOF隆脽隆脧DOF=隆脧POF

隆脿鈻�DOF

∽鈻�FOP

隆脿PFDF=OFOD=53

故选C．

连接ACOCOFBC.

由鈻�ADC

∽鈻�CDB

推出ADCD=CDDB

求出DBOAOD

由鈻�ODC

∽鈻�OCP

推出ODOC=OCOP

推出OC2=OD?OP

推出OF2=OD?OP

即OFOD=OPOF

由隆脧DOF=隆脧POF

推出鈻�DOF

∽鈻�FOP

可得PFDF=OFOD=53

．

本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．【解析】C

6、B【分析】【分析】本题可根据tan60°=，cot30°=得出∠B、∠C的值．再判断三角形的形状．【解析】【解答】解：由题意得：∠B=60°；90°-∠C=30°，即∠C=60°；

∴∠A=∠B=∠C=60°．

∴△ABC为等边三角形．

故选B．7、B【分析】

共有2×2×2=8种情况，结果都是同一面的情况有2种，所以概率是．故选B．

【解析】【答案】列举出所有情况；看结果都是同一面的情况占所有情况的多少即可．

8、D【分析】

设AD=2x；则AB=3x，BC=5x．根据题意，得。

2x+3x+5x+3x=104；解得x=8．

所以这个梯形的中位线的长是（AD+BC）=（2×8+5×8）=28（cm）．

故选D．

【解析】【答案】此题首先根据梯形的各边的比；结合周长得到梯形的各边的长，再根据梯形的中位线定理求得梯形的中位线长．

9、C【分析】【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF，由勾股定理求出AE、BE，证△ABE∽△ECF，得出代入求出即可．【解答】∵四边形ABCD是矩形；

∴AD=BC=5；∠D=∠B=∠C=90°；

∵AF平分∠DAE；EF⊥AE；

∴DF=EF；

由勾股定理得：AE2=AF2-EF2，AD2=AF2-DF2；

∴AE=AD=5；

在△ABE中由勾股定理得：BE==3；

∴EC=5-3=2；

∵∠BAE+∠AEB=90°；∠AEB+∠FEC=90°；

∴∠BAE=∠FEC；

∴△ABE∽△ECF；

∴

∴

∴CF=．

故选C．二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】【分析】首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为-5，3，根据根与系数的关系可得p=-（-5+3）=2，q=（-5）×3=-15，继而求得答案．【解析】【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q=0；

∵二次项系数为1；两根分别为-5，3；

∴p=-（-5+3）=2；q=（-5）×3=-15；

∴这个方程为：x2+2x-15=0．

故答案为：x2+2x-15=0．11、略

【分析】试题分析：根据平角定义，得∠BOP=180°-∠AOP=140°，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠PCB=∠POB=70°．试题解析：∵∠POA=40°∴∠BOP=180°-∠AOP=140°∴∠PCB=∠POB=70°．考点:圆周角定理．【解析】【答案】70°．12、略

【分析】试题分析：由题意得△≥0，即（-2）2-4k≥0，解得k≤1；考点：根的判别式.【解析】【答案】k≤113、4.8【分析】【分析】根据a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，可以求得a、b、c的值，从而可以判断△ABC的形状，从而可以求得最长边上的高．【解析】【解答】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c；

∴a2+b2+c2+200-12a-16b-20c=0；

∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0；

∴a-6=0，b-8=0；c-10=0；

解得，a=6，b=8；c=10；

∵62+82=102；

∴△ABC是直角三角形；

∴斜边上的高是：=4.8；

故答案为：4.8．14、略

【分析】【分析】（1）抽取的卡片是的概率让张数1除以总张数3即可；找到所有情况；看两张卡片上的数字均为3的情况占所有情况的多少即可；

（2）列举出所有情况，看两张卡片上的数字之积为有理数的情况占所有情况的多少得到小军获胜的概率；进而得到小明获胜的概率，比较即可．【解析】【解答】解：（1）共有3张卡片，2的只有1张，所以概率是；每一次抽都有3种可能，那么两次共有9种可能，两人抽取的卡片都是3的只有1种情况，所以概率是；

（2）由表可以看出：出现有理数的次数为5次；

。小明

小军2-232有理数无理数无理数-2无理数有理数有理数3无理数有理数有理数出现无理数的次数为4次，所以小军获胜的概率为＞小明的．

此游戏规则对小军有利．15、略

【分析】

两圆外切；圆心距=两圆半径之和=4+5=9cm．

【解析】【答案】根据圆心距和两圆半径的关系可得．

三、判断题(共8题，共16分)16、√【分析】【分析】根据等式的基本性质对各小题进行逐一分析即可．【解析】【解答】解：（1）符合等式的基本性质1．

故答案为：√；

（2）当m=0时不成立．

故答案为：×；

（3）当c=0时不成立．

故答案为：×；

（4）符合等式的基本性质2．

故答案为：√．17、×【分析】【分析】举出反例即可得到该命题是错误的．【解析】【解答】解：∵等腰梯形的对角线也相等；

∴“对角线相等的四边形是矩形”错误．

故答案为：×．18、√【分析】【分析】同圆中，优弧是大于半圆的弧，而劣弧是小于半圆的弧．【解析】【解答】解：在同圆中；优弧一定比劣弧长，说法正确；

故答案为：√．19、√【分析】【分析】根据等腰梯形的定义以及直角梯形的定义判断即可．【解析】【解答】解：等腰梯形：两个腰相等的梯形叫等腰梯形叫做等腰梯形；所以可以得出：等腰梯形是特殊的梯形；

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；

由此可知等腰梯形；直角梯形是特殊梯形；所以原说法是正确的；

故答案为：√．20、√【分析】【分析】根据抽样调查和全面调查的区别以及普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解析】【解答】解：了解2008年5月18日晚中央电视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率；采用抽查的方式是正确的；

故答案为：√．21、√【分析】【分析】一般三角形全等的条件都可以用来说明2个直角三角形全等．【解析】【解答】解：命题“因为直角三角形是特殊三角形；所以一般三角形全等的条件都可以用来说明2个直角三角形全等”是真命题．

故答案为√．22、√【分析】【分析】根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形可得答案．【解析】【解答】解：矩形是有一个角是直角的平行四边形；故原题说法正确；

故答案为：√．23、×【分析】【分析】（1）①根据图形列出算式；即可求出答案；

②根据图形列出算式；即可求出答案；

（2）①根据图形列出算式；即可求出答案；

②根据图形列出算式；即可求出答案；

（3）根据图4画出即可．【解析】【解答】解：（1）①当x=-2时；y=-2×2-5=-9；

故答案为：-9；

②第一个运算框“×5”内；第二个运算框“-3”内；

故答案为：×5；-3；

（2）①当x=-1时；y=-1×2-5=-7＞-20，-7×2-5=-19＞-20，-19×2-5=-43＜-20；

故答案为：y=-43；

②分为两种情况：当x＞0时；x-5=37；

解得：x=42；

当x＜0时，x2+1=37；

解得：x=±6；x=6舍去；

故答案为：42或-6；

（3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨）；以2元/吨的价格收费；

当每月用水量超过15吨时；超过部分以3元/吨的价格收费；

所以水费收缴分两种情况；x≤15和x＞15；

分别计算；所以可以设计如框图如图．

．四、证明题(共4题，共28分)24、略

【分析】【分析】把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠DPB=90°，再求出∠BPC即可得解．【解析】【解答】解：如图；把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC；

由旋转的性质得；△PCD是等腰直角三角形，BD=AP=3，∠APC=∠BDC；

所以PD=PC=2；∠PDC=45°；

∵PD2+PB2=（2）2+12=9；

PA2=32=9；

∴PD2+PB2=BD2；

∴△PBD是直角三角形；∠DPB=90°；

∴∠BPC=90°+45°=135°；

∴∠BPC=135°．

故答案是：135°．25、略

【分析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD；∠ADC=∠ACD，推出△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠ECA，于是得到∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；

（2）根据相似三角形的性质得到，即，推出△FAE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代换即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）∵BD=AD=AC；

∴∠B=∠BAD；∠ADC=∠ACD；

∵AE2=EF•EC；

∴；

∵∠E=∠E；

∴△EAF∽△ECA；

∴∠EAF=∠ECA；

∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；

（2）∵△EAF∽△ECA；

∴，即；

∵∠EFA=∠BAC；∠EAF=∠B；

∴△FAE∽△ABC；

∴；

∴FA•AC=EF•AB；

∵AC=AD；

∴AF•AD=AB•EF．26、略

【分析】【分析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠BAD，再利用角平分线的定义转化证明即可．【解析】【解答】证明：∵∠1=∠B+∠BAC；∠2=∠B+∠BAD；

∵AD是△ABC的角平分线；

∴∠BAC=2∠BAD；

∴∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2．27、略

【分析】【分析】延长ND至P，使DP=ND，连结MP、BP，易证△BDP≌△CDN，根据全等三角形对应边相等的性质，线段中垂线定理可得MN=MP，再根据三角形三边关系即可求解．【解析】【解答】证明：延长ND至P；使DP=ND，连结MP；BP；

∵点D为BC的中点；

∴BD=CD；

在△BDP与△CDN中；

；

∴△BDP≌△CDN（SAS）；

∴PB=CN；

∵MD⊥PN；DP=DN；

∴MN=MP（线段中垂线定理）；

∵BM+BP＞MP；

∴BM+CN＞MN．五、解答题(共3题，共9分)28、略

【分析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式×（π-2012）0+sin45°-（）-1的值是多少即可．【解析】【解答】解：×（π-2012）0+sin45°-（）-1．

=2×-2

=2+1-2

=129、略

【分析】

原式=2+32÷（-8）+1-×

=2-4+1-1；

=-2．

【解析】【答案】本题涉及零指数幂；负指数幂、立方、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时；需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

30、略

【分析】【分析】（1）整理后开方；即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：（1）整理得：（x+2）2=9；

开方得：x+2=±3；

解得：x1=1，x2=-5；

（2）两边开方得：2x-3=±x；

解得：x1=3，x2=1．六、综合题(共4题，共28分)31、略

【分析】【分析】（1）根据直线y=x-1与抛物线y=-+bx+c交于A；B两点；点A在x轴上，点B的横坐标为-8，求出点A（2，0），B（-8，-5）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）假设存在这样点P，使△PAB恰好是一个直角三角形，只有∠APB=90°，即AP⊥PB，设出点P的坐标，表示出直线PA，PB的解析式，由直线AP和直线PB的斜率乘积等于-1建立方程，即可，【解析】【解答】（1）解：∵点A在x轴上，点B的横坐标为-8，且在直线y=x-1；

∴A（2；0），B（-8，-5）；

∵点A，B在抛物线y=-+bx+c上；

∴0=-1+2b+c，-16-8b+c=-5；

∴b=-1；c=3；

∴抛物线的解析式为y=y=--x+3；

（2）解：假设存在这样点P；使△PAB恰好是一个直角三角形；

∵△PAB恰好是一个直角三角形，直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A；B两点；P为抛物线上的点。

∴只能是∠APB=90°；即AP⊥PB

∴直线AP和直线PB的斜率乘积等于-1

设P（x，-x2-x+3）；而A坐标为（2，0），B坐标为（-8，-5）；

∴×=-1；

∴（x+6）（x-4）=-16；

解得x=2（舍）或x=-4．

存在点P（-4；3）使△PAB恰好是一个直角三角形．

（3）

解：∵OA=2；OC=1；

∴AC=；

∵QD∥OC；

∴∠OCA=∠QDF；

∵∠PFD=∠AOC=90°；

∴△AOC∽△PFD；

∴==；

∴DF=PD；

设D（x，12x-1），P（x，-14x2-x+3）；

∴PD=-x2-x+3-x+1=-x2-x+4；

∴DF=PD=×（-x2-x+4）；

∴当x=-3时，DF最大=×（-×32+×3+4）=．32、略

【分析】【分析】（1）知道A；B两点坐标后；利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．

（2）此题中；以A；B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：

①当点P在x轴上方时；△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；

②当点P在B；C段时；显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；

③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l1的直线解析式；这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．

（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是直线AC、直线BC中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；求出点M的坐标．【解析】【解答】解：（1）如答图1；∵点A（3，0），点B（-1，0）；

∴；

解得；

则该抛物线的解析式为：y=x2-x-；

（2）易知OA=3、OB=1、OC=，则：S△ABC=AB•OC=×4×=2．

①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=S△ABC；则：

点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即点P的纵坐标为；

令y=x2-x-=，化简得：2x2-4x-9=0

解得x=；

∴P1（，）、P2（，）；

②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于S△ABC；此种情况不合题意；

③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=AC•h=S△ABC=；则h=1；

在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1；交y轴于点E，如答图2；

在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=、OE=OC+CE=，点E（0，-）

∴直线DE：y=x-，联立抛物线的解析式，有：，解得：，；

∴P3（1，-）、P4（2，-）；

综上，存在符合条件的点P，且坐标为（，）、（，）、（1，-）、（2，-）．

（3）如答图3，由（1）知：y=x2-x-=（x-1）2-；

∴抛物线的对称轴x=1；

①当KC=KM时，点C、M1关于抛物线的对称轴x=1对称，则点M1的坐标是（2，-）；

②KC=CM时，K（1，-2），KC=BC．则直线A′C与抛物线的另一交点M2与点B重合；M；C、K三点共线，不能构成三角形；

③当MK=MC时，D（1，-），KD=DE=；即点D是KE的中点．

∵∠OCA=60°；∠BCO=30°；

∴∠BCA=90°；即BC⊥AC，则作线段KC的中垂线l必平行AC且过点D；

∴点M3与点D重合，即M3（1，-）．

综上所述，点M的坐标是（2，-）或（1，-）．

（注：计算相关线段的长度可利用坐标或∠BAC=30°）．33、略

【分析】【分析】（1）可求得方程的两根分别为4和8；且OA＜OC，所以求得OA=4，OC=8，又由AB⊥y轴；BC⊥x轴，可知四边形OABC为矩形，所以可求出A、B两点的坐标；

（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC==；所以可求得直线OD的解析式，可求其方程；

（3）可以求得OB的直线方程，分三种情况分别求E点即可．【解析】【解答】解：

（1）解方程可知方程两根分别为4和8；且OA＜OC；

所以OA=4；OC=8；

又由AB⊥y轴；BC⊥x轴；可知四边形OABC为矩形；

所以A点坐标为（0；4），B点坐标为（8，4）；

（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC==；

所以直线OD的斜率为：k=tan∠DOC==；

所以直线OD的解析式为y=x；

（3）B点为（8，4），所以可设直线OB的解析式为y=mx，代入B点坐标，可求得m=，所以直线OB的解析式为y=x；

在直线OB上有三个点可使△OCE为等腰三角形；

①以OD为底边，在直线OB上确定E1点，以E1点到OD距离为高；组成等腰三角形；

因为D点坐标为（4.8；6.4），所以OD中点坐标为（2.4，3.2）；

所以OD中垂线的方程为：y=-x+5；与OB所在直线方程联立可得方程组。

，解得，即E1坐标为（4；2）；

②以OD为一腰，在OB直线上确定E2点使OD=OE2；组成等腰三角形；

在OB所在直线上取点E2，使得OE2=OD=8，可求得E2坐标为（，）；

③以OD为腰，在OB所在直线上确定E3点，以OE3为底；组成等腰三角形；

建立垂直于OB且过D点的方程；则直线的斜率为-2，且D为（4.8，6.4），所以其方程为y=-2x+16；

与OB方程联立得方程组：

，解得，而E3坐标为该值的2倍，所以E3为（12.8；6.4）；

综上可知存在满足条件的E点，坐标分别为（4，2）、（，）和（12.8，6.4）．34、略

【分析】【分析】（1）把B点坐标代入y=-x2-（m-1）x+m2-6得到m1=3，m2=-3，由于顶点C位于第二象限，根据对称轴得到x=-＜0，即m＞1，所以m=3，于是得到抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）先确定A点坐标（-3，0）和C点坐标（1，4），而B点坐标为（0，3），根据两点间的距离公式得到AB=3，AC=2，BC=，易得AB2+BC2=AC2；根据勾股定理的逆定理得∠ABC=90°，则∠CAB+∠ACB=90°，由于∠CAB=∠DCB，所以∠DCB+∠ACB=90°，于是得到CD⊥AC．

（3）存在．首先证明△BOD∽△ABC，可得当点P与点O重合时，△BPD∽△ABC；作DP′⊥BD交y轴于P′，则△BDP′∽△ABC，由直线BD的解析式为y=-3x+3，推出直线DP′的解析式为y=x-，可得P′（0，-）；作BP″⊥BD交