2025中考数学一轮复习：实数及其运算（讲义）解析版

第01讲实数及其运算（讲义）【3大考点16大题型】

知识网络、

题型1实数的相关概念辨析

题型2实数与数轴

题型3用科学记数法表示数

题型4估算无理数

题型5实数的大小比较

题型6平方根、立方根及非负性的性质

题型7实数的简单运算

一题型8数的简便运算

考点二实数的运算题型9实数的混合运算

题型10实数的实际应用

题型11实数计算中的规律问题

.久题型13二次根式的值）

考点三二次根式}《题型14二次根式的混合运鼠

卜（题型型复合二次根式的化简）

题型16二次根式的实际应用）

新考向：新考法）

新考向：新趋势）

特色专项练新考向：新情境）

新考向：跨学科）

中考真题练

1.实数的分类

分法一：

”正有理数

有限小数或

有理数30

无限循环小数

、负有理数

实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

分法二:

'正实数

实数0

负实数

2.实数的相关概念

(1)数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

(2)相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，。和-a互为相反数。。的相反数是0。

a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0o

(3)绝对值

定义：一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，记作同。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即:如果a>0,那么⑷=a；

如果a=0,那么|a|=0；

如果a<0,那么间=-ao

。=间所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a>0o

(4)倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果。与b互为倒数，则有。6=1,反之亦成立。

a」所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，。=±1。

a

(5)科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中a大于或等于1且小于10,〃是正整数)，这种记

数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，〃是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数(axlO-)时，"是从小数点后开始到第一个不是0的数为止

的数的个数。

(6)近似数

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十

分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；…。

3.平方根、算术数平方根和立方根

平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。

正数有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方根。

算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

4.实数的大小比较

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，a—b>0=a>b;a—b=0=a=b;a—b<0«a<b;

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，『1=a>b；卜0a=b；*loa<b；

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|a|>|b|oa>b；

(5)平方法：设a、b是两负实数，则a2>b2=a<b.

典例分析1

【题型1实数的相关概念辨析】

【例1】(2024•黑龙江大庆•中考真题)下列各组数中，互为相反数的是()

A.|-2024|^-2024B.2024和募

C.|一2024|和2024D.一2024和七

【答案】A

【分析】本题考查相反数.根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可.

【详解】解：A、|-2024|=2024和-2024互为相反数，故A选项符合题意；

B、2024和焉互为倒数，故B选项不符合题意；

C、1-20241=2024和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；

D、-2024和高;不互为相反数，故D选项不符合题意；

故选：A.

【变式1-1]（2024・四川雅安・中考真题）将-2,it,0,V2,3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，

从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是.

【答案】|

【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有引种可能，而且

这些事件的可能性相同，其中事件A出现加种结果，那么事件A的概率P（A）='.先根据无理数的定义

n

得到取到有理数的有-2,三,0,3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解.

【详解】解：将-2,3n，0,V2,3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任

取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有-2,]0,3.14这4种结果，

所以取到有理数的概率为:=

63

故答案为：

【变式1-2]（2024•山东威海・中考真题）一批食品，标准质量为每袋454g.现随机抽取4个样品进行检测，

把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那么，最接近标准质量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【答案】C

【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标

准是哪一袋.

【详解】解：：超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.

••­|-3|<|-5|<|+7|<|10|

•1,最接近标准质量的是-3

故选：C.

【变式1-3]（2024•山东淄博・中考真题）下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握

运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数哥的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可.

【详解】解：A、3T=（是正数，符合题意；

B、-32=-9是负数，不符合题意；

C、-|-3|=一3是负数，不符合题意；

D、-百是负数，不符合题意；

故选：A.

【题型2实数与数轴】

【例2】（2024•山东德州•中考真题）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（）

ab

-1012

A.|a|>\b\B.a+b<0

C.a+2〉6+2D.|a—1]>|6-11

【答案】D

【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键.根据点在数轴

上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可.

【详解】解：根据数轴得a<0<1<6,

|CJ|<a+b>0,a+2<b+2,|a—1|>|b—1|）

故选：D.

【变式2-1]（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则J（a—b）2_

（6-a—2）的化简结果是（）

ItII।।1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

【答案】A

【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得3<a<-2,

0<b<l,,再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可.

【详解】解：由数轴知：3<a<-2,0<6<1,

/.a—h<0,

.*•J(a—b)2—(b-CL-2)

=|a—h|—(/7—a—2)

=­(a—h)—(h—a—2)

=­a+b—b+a+2

=2,

故选：A.

【变式2-2](2024.河北.中考真题)如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的二点A,B,。所对应的数依次为

-4,2,32,乙数轴上的三点。，E,尸所对应的数依次为0,x,12.

ABC

甲---------▲•

4232

DEF

乙0x12

(1)计算A,B,C三点所对应的数的和，并求祭的值；

(2)当点A与点£>上下对齐时，点、B,C恰好分别与点E,尸上下对齐，求x的值.

【答案】(1)30,J

O

(2)x=2

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；

(1)直接列式求解三个数的和即可，再分别计算4B,4C,从而可得答案；

(2)由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可.

【详解】(1)解：：甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为—4,2,32,

二一4+2+32=30,AB=2-(-4)=2+4=6,AC=32-(-4)=32+4=36,

.AB_6_1

，—36-6；

(2)解：：点4与点。上下对齐时，点8,C恰好分别与点E,尸上下对齐，

•.•-D-E--D-F,

ABAC

・X12

.•一=-9

636

解得：x=2

【变式2-3](2024•山东威海・中考真题)定义

我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.数轴上表示数a,b的点A,8之间的距离2B=

a-b(a>b).特别的，当a20时，表示数a的点与原点的距离等于a-0.当a<0时，表示数a的点与原

点的距离等于0-a.

应用

如图，在数轴上，动点A从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点8

从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

—।-------------1------------------------------------------------------1——>

-3O12

(1)经过多长时间，点A,8之间的距离等于3个单位长度？

(2)求点A,B到原点距离之和的最小值.

【答案】⑴过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：

(1)设经过尤秒，则A表示的数为-3+久，2表示的数为12—2%,根据“点4,2之间的距离等于3个单位

长度”列方程求解即可；

(2)先求出点A,B到原点距离之和为|—3+0+|12-2划，然后分x<3,3WxW6,%>6三种情况讨论,

利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可.

【详解】(1)解：设经过x秒，则A表示的数为-3+x,B表示的数为12-2x,

根据题意，得|12—2x—(—3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度；

(2)解：由(1)知：点A,2到原点距离之和为|—3+幻+|12—2幻，

当工<3时，|一3+幻+|12—2幻=3—x+12—2%=15—3x,

Vx<3,

.*.15-3%>6,BP|-3+x|+|12-2x|>6,

当3WxW6时，|-3++|12-2x|=x-3+12-2x=9-x,

V3<%<6,

A3<9-x<6,即3W|-3+x|+|12-2x|<6,

当x>6时，1-3+%|+|12-2x|=%-3+2x-12=3x-15,

Vx>6,

.*.3x-15>3,即|-3+x|+|12—2久|>3,

综上，|—3+x\+112—2x\>3,

.•.点A,B到原点距离之和的最小值为3.

【题型3用科学记数法表示数】

【例3X2024・山东济南・中考真题）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%,

将数字3465000000用科学记数法表示为（）

A.0,3465X109B.3.465x109C.3.465X108D.34.65X108

【答案】B

【分析】此题主要考查了科学记数法.科学记数法的表示形式为ax的形式，其中lW|a|<10,”为整

数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，w的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值大于等于10时，”是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

根据科学记数法定义，这里a=3.465,n=9.

【详解】3465000000=3.465x109.

故选：B.

【变式3-1］（2024•山东威海・中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院

量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子

计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理

高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样

本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为（）

A.1x10-5B.1x10-6c.lx］.。-D.1x10-8

【答案】B

【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为ax

10~n,其中lW|a|<10,n为整数.

【详解】解：百万分之一=-="1。-6.

故选：B.

【变式3-2］（2024.山东淄博•中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据

中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科

学记数法表示为3.07X10B则n的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为aX10几的形式，其中1<|a|<10,〃为整数,

确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同，

【详解】解：30.7万=307000=3.07X1。5,

则n=5,

故选：B.

【变式3-3]（2024・四川广元•中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予二位“追光”科学家，以表彰他们“为

研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十亿分之

一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为秒.

【答案】4.3X10T7

【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10-%解题的关键是熟知1W|a|<10.根

据题意可知，43阿秒=43xIO-*秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可.

【详解】解：根据题意1阿秒是IO-，秒可知，

43阿秒=43x10T8=4.3xICT"秒,

故答案为：4.3X10-17.

【题型4估算无理数】

【例4】（2024.河北・中考真题）已知a,6,w均为正整数.

（1）若n<V10<n+1,则n=；

（2）若n-1<Va<n,n<Vb<n+1,则满足条件的a的个数总比b的个数少个.

【答案】32

【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；

（1）由3<VTU<4即可得到答案；

（2）由n—1,n,n+1为连续的三个自然数，n—1<y/a<n,n<Vb<n+1,可得—1尸<\[a<

后<VF<V（n+1）2,再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案.

【详解】解：（1）：3<4,而71<n+1,

.*.n=3；

故答案为：3；

（2）•:a,b,〃均为正整数.

/.n—1,n,n+1为连续的三个自然数，而ri-1<<VF<n+1,

.'.y/（n—I）2<4a<Vz?,Vn2<&<yj（ji+l）2,

观察0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,……,

而02=0,F=i,22=4,32=9,42=16,

（n-1）2与"之间的整数有（2n-2）个，

"与（71+1）2之间的整数有2/1个，

满足条件的a的个数总比b的个数少2n-（2n—2）=2n—2n+2=2（个）,

故答案为:2.

【变式4-1］（2024.重庆・中考真题）己知小=内一次，则实数小的范围是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【答案】B

【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是

解决此题的关键.先求出m=g-g=V豆，即可求出川的范围.

【详解】解：,.,爪=何一曰=3百一遮=2旧=值，

V3<V12<4,

3<m<4,

故选：B.

【变式4-2］（2024.重庆・中考真题）估计g（鱼+百）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

【答案】C

【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可.

【详解】解：•.•g（a+V3）=2V6+6,

而4<V24=2V6<5,

.*.10<2V6+6<11,

故答案为：C

【变式4-3】（2024.江苏盐城・中考真题）对于整数”，定义［小］为不大于伤的最大整数，例如：［J司=1,

第一次第二次

［遥］=2,［g］=3,对26进行如下操作：26-»［V26］=51［伺=2,即对26进行2次操作后变为2.若

对整数a进行2次操作后变为3,贝b的最大值为（）

A.256B.255C.81D.80

【答案】B

【分析】本题考查了估算无理数的大小，［诉］的定义，由［迎］的定义为不大于低的最大整数，熟知估算无理

数大小的方法是解决此题的关键.

【详解】解：A、第一次W芯司=16,第二次［”司=4,故A不符合题意；

B、第一次［J西=15,第二次［词=3,255是最大整数，故B符合题意；

C、第一次［河=9,第二次［啊=3,81不是最大整数，故C不符合题意；

D、第一次［恂］=8,第二次［伤］=2,故D不符合题意；

故选：B.

【题型5实数的大小比较】

【例5】（2024•山东•中考真题）下列实数中，平方最大的数是（）

A.3B.|C,-1D.-2

【答案】A

【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.

【详解】解：..甘=9,（》2=3（—1）2=1,（—2）2=4,

而工<1<4<9,

4

平方最大的数是3；

故选A

【变式5-1］（2024•山东威海.中考真题）下列各数中，最小的数是（）

A.-2B.—（—2）C.——D.—V2

【答案】A

【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解.

【详解】解：一（一2）=2,

V-2<-V2<-j<-（-2）

最小的数是一2

故选：A.

【变式5-2］（2024.安徽•中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为同，祖冲之给出圆周率的一种分

数形式的近似值为彳.比较大小：Vio彳（填“>”或.

【答案】>

【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案.

【详解】解：••信）2=黑（沏2=10=答,

484490

而—V—，

4949

，传¥<（画）1

/.Vi0>y；

故答案为：>

【变式5-3]（2024•云南・中考真题）已知抛物线y=x2+bx—1的对称轴是直线i=|.设m是抛物线y=x2

bx-1与％轴交点的横坐标，记M=I、

（1）求b的值；

（2）比较M与手的大小.

【答案】（l）b=-3

（2）当M=\亘时，M>~当M=\亘时，手.

【分析】⑴由对称轴为直线％=-餐直接求解;

2a

（2）当“=平时,”>手；当"=手时,M（手.

【详解】（1）解：.抛物线y=/+法一1的对称轴是直线x=|,

,匕_3

••——9

2X12

b=—3；

(2)解：:??!是抛物线y=x2+bx-1与久轴交点的横坐标,

Am2—3m—1=0,

Am2—1=3m,

/.m4—2m2+1=9m2,

m4=11m2—1,

而血2-3m+i

代入得：m4=ll(3m+1)-1=2=33m+10,

Am5=m-m4=(33m+10)m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33,

s

.：.mM-=33---10-9-m+-3-3-33=m,

109109

Vm2—3m—1=0,

3±V13

解得:m=-------

2

3+713n...V133+V13g3、八

当M=m=----时，M-------=----------------=->0

22222

・••M呼

.,V133-V13V133-2V13/

当M=m=手时,M-------——=--------<0n

2222

•••””

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与X轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题

的关键是对爪5进行降次处理.

【题型6平方根、立方根及非负性的性质】

【例6】（2024•广东深圳•中考真题）如图所示，四边形4BCD,DEFG,GHIJ均为正方形,且S正方形谢。=以

S正方形GH4=1，则正方形DEFG的边长可以是.（写出一个答案即可）

E—

H-i/

/DGJ

【答案】2（答案不唯一）

【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算.利用算术平方根的性质求得4B=CD=同，GH=

GJ=1,再根据无理数的估算结合GH<DE<CD,即可求解.

【详解】解：：S正方形/BCD=13

：.AB=CD=V10,

正方形GH〃=1，

AGH=GJ=1,

V3<V10<4,即3<CD<4,

，正方形DEFG的边长GH<DE<CD,即1<DEW3,

正方形DEFG的边长可以是2,

故答案为：2（答案不唯一）.

【变式6-1］（2024•浙江宁波・中考真题）-8的立方根是.

【答案】-2

【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.

【详解】解：V（-2）3=-8,

/--8的立方根是-2,

故答案为-2.

【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

【变式6-2］（2024・四川成都•中考真题）若小，n为实数，且（爪+47+而再=0,贝式山+点下的值为.

【答案】1

【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得机、〃值，进而代值求解即可.

【详解】解：,••（巾+4）2+Vn^5=0,

m+4=0,71—5=0,

解得巾=-4,n=5,

（m+n）2—（—4+5）2=1,

故答案为：1.

【变式6-3】（2024・湖南娄底•一模）已知x,y为整数，y=V%+1011-Vx-1012,贝！jy的最小值是.

【答案】1

【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0.

根据被开方数大于等于。设x-1012=a?（a为非负整数），设a?+2023=炉，运用平方差公式分解因式

再计算即可得解.

【详解】解：,：为整数，y=V%+1011-V%-1012,

Vx+1011>0,Vx-1012>0,

即％+1011>0,x-1012>0,

x>1012,

设x-1012=a2（a为非负整数），

・•・％=Q?+1012,

・•・y=Va2+2023—a,

设小+2023=b2,

y=b—a,

・•・2023=b2-a2,即27x119=(b+d)(b-a)或7x289=(b+a)(Z?-a),

.­.(Va=*①或｛*a=289②或巴a=2023,

lb—a=17(6—a=7(b—a—1

•••b-a=17或7或1,

则y的最小值是1,

故答案为：1

考点二N实数的运荣。|

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1.实数的运算法则

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对

值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相

加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律a+b=b+a-,②结合律(a+b)+c=a+(b+c).

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(6c)；③分配律a(6+c尸"+ac。

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2.实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如

有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。■…

3.常见的几种实数运算

(1)乘方

定义：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做事。

如：屋二〃•〃•・•・•〃读作〃的几次方（皋），在〃〃中，Q叫做底数，儿叫做指数。

<__、，____j

〃个a

性质：负数的奇次塞是负数，负数的偶次塞是正数；正数的任何次幕都是正数；0的任何正整数次累都

是Oo

（2）零指数幕：a°=l（a^0）.

（3）负整数指数需V*（a/）,p为正整数）.

典例分析

【题型7实数的简单运算】

【例7】（2024•浙江杭州•中考真题）计算下列各式，值最小的是（）

A.2x0+1-9B.2+0x1-9C.2+0-1X9D.2+0+1-9

【答案】A

【分析】根据实数的运算法则，遵循先乘除后加减的运算顺序即可得到答案.

【详解】根据实数的运算法则可得：A.2义0+1—9=—8；B.2+0x1-9=-7；C.2+0-1x9=-7；D.2+

0+1-9=-6；故选A.

【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序和法则是解题的关键.

【变式7-1]（2024.内蒙古鄂尔多斯.中考真题）计算：『+（2021—兀）。+（/—1X）—1=.

【答案】-4

【分析】根据立方根、零指数塞、负整数指数塞的运算法则即可求解.

【详解】解：原式=—2+1+（—3）

=-5+1

=—4.

故答案为：-4

【点睛】本题考查了立方根、零指数幕、负整数指数幕、实数的混合运算等知识点，熟知上述的各种运算法

则是解题的基础.

【变式7-2]（2024•湖南湘西•中考真题）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2,则输出的值是—.（用

科学计算器计算或笔算）

输入x[=>|平方|=>|乘以3]=>|减去10]=>|输出

【答案】2

【详解】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果.

【详解】将x=2代入得：

3x22-10=12-10=2,

故答案为2.

【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式7-3].(2024•黑龙江绥化•中考真题)定义一种新的运算：如果a丰0.则有ab=a-2+ab+\-b\,

那么(一》团2的值是()

A.-3B.5C.--D.-

42

【答案】B

【分析】根据题意列出算式，求解即可

【详解】：a回b=a~2+ab+\—b\

11,1

2

,,(__)02=(--)-+(--)x2+|-2|

=4-1+2

=5.

故选B.

【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幕的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本

题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等.

【题型8数的简便运算】

【例8】(2024•四川内江・中考真题)对于正数尤，规定〃久)=三，例如：f(2)=鲁=3

XT1ZTI3\Zz—+13

2

〃3)=景甘，苔=%计算：f岛)+，岛)+诵人・+呜+屋)+，⑴+〃2)+

3

/(3)+…+1(99)+/(100)+/(101)=()

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

I分析]通过计算f⑴=1,7(2)+/(1)=2,f(3)+fG)=2,…可以推出f(总+f岛)+f阂+…+

/(1)+/(1)+/(I)+/(2)+7(3)+-+"99)+/(100)+〃101)结果.

【详解】解：・・・/(1)=上==

4

〃2)=

1+2

2x33小2xq1/1\

日中R/寇力⑶"(6

/(100)==—,/(—)==—,7(100)+/(—)=2,

7v71+100101Jv10071+—101Jk77v1007

100

f岛)+f岛)+f(1)+•11+/(1)+/(f)+/(l)+/(2)+”3)+•••+f(99)+f(100)+f(101)

=2x100+1

=201

故选：C.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键.

【变式8-1](2024•河北唐山・三模)与3952+2x395x5+52相等的是()

A.(395-5)2B.(395+5)(395—5)

C.(395+5)2D.(395+10)2

【答案】C

【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案.

【详解】解：3952+2x395X5+52=(395+5)2,

故选：C.

【变式8-2](2024.河北唐山.一模)数学课上老师出一道题，用简便方法计算2962的值，喜欢数学的小亮举

手做出了这道题，他的解题过程如下：

2962=(300—4)2第一步

=3002-2x300x(-4)+4?第二步

=90000+2400+16第三步

=92416第四步

老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误.

(1)你认为小亮的解题过程中，从第步开始出错.

(2)请你写出正确的解题过程.

【答案】（1）二；（2）87616

【分析】（1）直接利用完全平方公式判断得出答案；

（2）利用完全平方公式计算得出答案.

【详解】解：（1）从第二步开始出错；完全平方公式的中间项的-4应该是4.

故答案为二；

（2）正确的解题过程是：2962=（300-4）2

=3002-2x300X4+42

=90000-2400+16

=87616.

【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确运用公式是解题关键.

【变式8-3］（2024•河北•中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算:

利用运算律有时菖继行简便计算。

例198x12=(100-2)X12=1200-24=1176

例2-16x233+17x233=(-16+17)'233=233

(1)999x(-15)；

412

(2)999x118-+999x(--)-999x18-.

555

【答案】(1)-14985；(2)99900.

【分析】(1)根据题目中所给的规律，运用凑整法求解即可;

(2)根据题目中所给的规律，运用提同数法解决即可.

【详解】解：(1)999x(-15)

=(1000-1)x(-15)

=15-15000

=-14985;

412

(2)999x118-+999x(--)-999x118-

555

=999x[118-4+(--1)-a181]

=999x100

=99900.

【题型9实数的混合运算】

【例9】(2024•山东济南・中考真题)计算：V9-(TT-3.14)°+Q)1+|A/3|-2cos30°.

【答案】6

【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数累、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数事的性质

是解题的关键.

根据负整数指数幕、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幕的性质进行化简，然后根据实数运算法则进

行计算即可

【详解】解：原式=3—l+4+K-2xf=6.

【变式9-1](2024・四川广安・中考真题)计算：g-3)°+2sin60°+|V3-2|-g)-1.

【答案】1

【分析】先计算零次幕，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数累，再合并即可.

【详解】解：C—3)+2sin60°+|V3—2|—(1)

V3厂

=1+2X——F2-V3-2

=1+V3+2-V3-2

=1

【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次赛，负整数指数哥的含义，化简绝对值，掌

握相应的运算法则是解本题的关键.

【变式9-2](2024.河北・中考真题)有个填写运算符号的游戏：在“1口2口6口9”中的每个口内，填入+,—,x,

+中的某一个(可重复使用)，然后计算结果.

(1)计算：1+2-6-9；

(2)若请推算1+2义6口9=一6,请推算□内的符号；

(3)在“1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.

【答案】(1)-12；(2)-；(3)-20,理由详见解析.

【分析】(1)根据有理数的加减法法则解答即可；

(2)根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；

(3)先写出结果，然后说明理由即可.

【详解】(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12；

(2)V1-2X6D9=-6,，lx之义6口9=-6,二3口9=-6,口内的符号是"-

(3)这个最小数是-20,理由：•在“1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，口2口6的结果是

负数即可，.,门口2口6的最小值是1-2x6=-11,口2口6-9的最小值是-11-9=-20,.,.这个最小数是-

20.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键.

【变式9-3】(2024.贵州.中考真题)(1)在①22,②|一2|,③(一1)°，④2X2中任选3个代数式求和；

(2)先化简，再求值：(/—1),土，其中x=3.

2x4-2

【答案】(1)见解析(2)号，1

【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.

(1)利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可；

(2)先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可.

【详解】(1)解：选择①，②，③，

22+\-2\+(-1)°

=4+2+1

=7；

选择①，②，④，

,1

22+|-2|+—x2

=4+2+1

=7；

选择①，③，④，

1

22+(-1)°+-X2

=4+1+1

=6；

选择②，③，④，

1

|-2|+(-l)°+-x2

=2+1+1

=4；

1

=（-1）,而而

=-x-1-

2，

当x=3时，原式=（1=1.

【题型10实数的实际应用】

【例10]（2024・湖南长沙.一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同

学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配送

费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订

单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）.但根据该奶茶店的优惠活动,

当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价

（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换

一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）

最低可为元.

【答案】25.2

【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可.

【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶

合计费用为：16+16+1.6—7=26.6元

第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶

合计费用为：（16+1.6-5）x2=25.2元

故选择第二种更划算，最低费用为25.2元

故答案为：25.2.

【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键.

【变式10-1】（2024・四川达州•中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，

例：12=1x10+2,212=2x10x10+1x10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用

0~9来表示0~15,满十六进一，它与十进制对应的数如下表：

十进制012891011121314151617

十六进制01289ABCDEF1011

例：十六进制28对应十进制的数为2x16+11=43,10C对应十进制的数为1x16x16+0x16+12=

268,那么十六进制中14E对应十进制的数为（）

A.28B.62C.238D.334

【答案】D

【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得.

【详解】由题意得，十六进制中14E对应十进制的数为：1x16x16+4x16+14=334,

故选D.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合运

算顺序和运算法则.

【变式10-2】（2024.内蒙古呼和浩特.中考真题）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，

且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5

月1日开始练习，至！15月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他

共用宣纸