2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步本章总结学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-第八章立体几何初步本章总结eq\a\vs4\al(专题一空间几何体的表面积与体积)1．空间几何体的表面积[例1]一个直角梯形的上底、下底、高的比为12eq\r(3)，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．[解]如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为x、2x、eq\r(3)x(x>0)，则母线长l＝eq\r(2x－x2＋\r(3)x2)＝2x，∴S上底面＝πx2，S下底面＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2.∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为146.圆台的轴截面是等腰梯形，作协助线构造直角梯形和直角三角形，从而利用直角梯形和直角三角形的性质求解.2．空间几何体的体积空间几何体的体积计算公式在实际生活中有着广泛的应用，但只记住公式是远远不够的，我们还应把握图形的内在因素，敏捷选择合理的方法加以求解．只有这样才能把所学到的学问敏捷运用到现实生活中，才能有效的解决一些问题，达到事半功倍的效果．(1)公式法公式法的思想是：依据题意干脆套用体积公式，求出体积．[例2]棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.eq\f(a3,3) B.eq\f(a3,4)C.eq\f(a3,6) D.eq\f(a3,12)[解析]连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为eq\f(\r(2),2)a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为eq\f(a,2)，则八面体的体积为V＝2×eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2)a)2·eq\f(a,2)＝eq\f(a3,6).[答案]C内接问题为高考常考内容，留意相接点的位置是解决此类问题的关键.(2)割补法割补法的思想是：通过分割或补形将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．[例3]已知三棱锥A­BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥A­BCD的每个面都相切，即球心O到三棱锥A­BCD每个面的距离都为r)，求三棱锥A­BCD的体积．[解]连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A­BCD被分割成为四个小三棱锥：O­ABC，O­ABD，O­ACD，O­BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，高都为r，底面分别为△ABC，△ABD，△ACD，△BDC.故我们有：VA­BCD＝VO­ABC＋VO­ABD＋VO­ACD＋VO­BCD＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△ABD·r＋eq\f(1,3)S△ACD·r＋eq\f(1,3)S△BCD·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝eq\f(1,3)Sr.假如三棱锥A­BCD改为其他棱锥或棱柱、棱台，只要存在内切球，那么就有与本题类似的结论.(3)等积变换法等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过变更顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积．[例4]如图所示的三棱锥O­ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2、1cm2、3cm2，求三棱锥O­ABC的体积．[解]设OA，OB，OC的长依次为xcm，ycm，zcm，则由已知可得eq\f(1,2)xy＝1.5，eq\f(1,2)xz＝1，eq\f(1,2)yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.明显三棱锥O­ABC的底面积和高是不易求出的，于是我们不妨转换视角，将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥C­OAB的高．于是VO­ABC＝VC­OAB＝eq\f(1,3)S△OAB·OC＝eq\f(1,3)×1.5×2＝1(cm3)．等积变换法有很广泛的应用，它并不仅仅可用来求三棱锥的体积.eq\a\vs4\al(专题二球的问题)[例5]一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积．[分析]选取适当的截面，找出球的半径，利用平面几何学问解决问题．[解](1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝972π，∴R3＝729，R＝9.∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.连接AE，又SE是直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD·SE＝16×18＝288，SA＝12eq\r(2).∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).∴S圆锥侧＝π·AD·SA＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，∵△SAB的周长为2×(12eq\r(2)＋4eq\r(2))＝32eq\r(2)，∴eq\f(1,2)r×32eq\r(2)＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×16，解得r＝4.∴圆锥内切球的体积V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(256,3)π.球与几何体的切、接问题的解题思路1球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要仔细分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，依据球心与几何体特别点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面一般作出多面体的对角面所在的截面，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映几何体与球的位置关系和数量关系.eq\a\vs4\al(专题三空间中的位置关系)(1)空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．(3)两个平面的位置关系：平行、相交．[例6]下面四个命题中，正确命题的个数是()①假如a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②假如直线a和平面α满意a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③假如直线a，b满意a∥α，b∥α，则a∥b；④假如直线a与平面α内的多数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]序号正误缘由分析①×如右图所示，长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB∥DC，AB却在过DC的平面ABCD内，①不正确②×如上图所示，AB∥平面A′B′C′D′，B′C′⊂平面A′B′C′D′，AB与B′C′异面，②不正确③×如上图所示，AB∥平面CDD′C′，BB′∥平面CDD′C′，AB∩BB′＝B，即AB与BB′不平行，③不正确④×如上图所示，设直线l是平面ABB′A′内与AB平行的任一条直线，l有多数条，即AB与平面ABB′A′内的多数条直线平行，但AB⊂平面ABB′A′，④不正确[答案]A长方体中体现了空间中的线线、线面关系，通过视察在图中可以找到本题中四个命题的很多反例.解决这类题经常将空间点、线、面的关系放置于长方体中考虑.eq\a\vs4\al(专题四线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明)1．平行包括线线平行、线面平行、面面平行，这三种平行关系之间可以相互转化．即应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是在平面内找到与平面外直线平行的直线，应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作协助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行．2．垂直关系包括线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种垂直关系之间也可以相互转化．即在立体几何中，证明线线垂直，往往须要证明线面垂直，这是证明线线垂直的重要方法．[例7]在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G、H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.[证明](1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE，如图．因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI、HI，如图．在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.与平行、垂直有关的问题，肯定要仔细考虑平行与垂直的判定定理及性质定理.eq\a\vs4\al(专题五空间角的计算)(1)空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．(2)空间角的一般求法①异面直线所成的角的求法一般有如下两种：a．平移相交法．即依据定义，把异面直线中的一条或两条进行平移，并使其相交，作出异面直线所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小．b．线面垂直法．在有些状况下，可以通过推断一条直线与另一条直线所在的平面垂直，从而得到两异面直线所成的角为直角．②直线与平面所成的角：定义法．③二面角的平面角的求法：a．定义法；b.作棱的垂面法．[例8]如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB且AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又∵OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，连接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角eq\a\vs4\al(0，\f(π,2)])，直线和平面所成的角eq\a\vs4\al(0，\f(π,2)])，二面角[0，π]三种，求角度问题解题的一般步骤是：1找出这个角；2证明该角符合题意；3作出这个角所成的三角形，求出角.求角度问题不论哪种状况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案.eq\a\vs4\al(专题六立体几何中的探究性问题)探究问题一般是对命题的条件进行探究，常见问法是问：在什么条件下命题成立或是否存在使问题成立的条件．这种题目对学生的要求更高，属中档偏上的题．[例9]如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E