2024-2025学年高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的应用课时作业含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE7课时作业21一元二次不等式的应用时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．不等式(x－1)eq\r(x＋2)≥0的解集是(C)A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≥－2或x＝1}解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x－1≥0))或x＋2＝0解得x≥1或x＝－2，故选C．2．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是(C)A．0≤m<1 B．0<m<1C．0<m≤1 D．0≤m≤1解析：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，对应方程有两个正实根等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－3,2)>0，,Δ≥0，,f0>0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3<0，,m－32－4m≥0，,m>0，))解得0<m≤1，故选C．3．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解是(D)A．[－3，eq\f(1,2)] B．[－eq\f(1,2)，3]C．[eq\f(1,2)，1)∪(1,3] D．[－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥2x－12，,x≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－5x－3≤0，,x≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))即－eq\f(1,2)≤x<1或1<x≤3.4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对随意实数x均成立，则实数m的取值范围是(C)A．(－∞，－2)∪[2，＋∞)B．(－2,2)C．(－2,2]D．(－∞，2]解析：∵不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对随意实数x均成立，∴(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，当m－2＝0，即m＝2时，不等式为－4<0，明显成立；当m－2≠0，即m≠2时，应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2<0，,Δ＝4m－22＋16m－2<0，))解得－2<m<2；综上，－2<m≤2，即实数m的取值范围是(－2,2]．故选C．5．若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是(A)A．(－∞，2] B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．[1，＋∞)解析：x2－1>kx－k对于x∈(1,2)恒成立．所以k<x＋1对于x∈(1,2)恒成立．所以k≤2.故选A．6．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，依据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq\f(3,4)≤a<eq\f(4,3).二、填空题7．不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式eq\f(ax＋1,x－1)>1的解集为{x|x<－2或x>1}．解析：由已知不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－1<x<2}得x＝2是(x＋1)(x－a)＝0的一个根，∴a＝2.∴不等式eq\f(ax＋1,x－1)>1可化为eq\f(2x＋1,x－1)>1，移项通分得eq\f(x＋2,x－1)>0，∴(x＋2)(x－1)>0，解得x<－2或x>1.∴所求解集为{x|x<－2或x>1}．8．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是m<0或m>4.解析：假设原不等式的解集为空集．当m＝0时，原不等式化为1<0，此时不等式无解，满意要求．当m≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,m2－4m≤0，))∴0<m≤4.综上可得0≤m≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m<0或m>4.9．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量应在{x|15≤x≤45，x∈N*}范围之内(件)．解析：由题意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1300，化简得：x2－60x＋675≤0，解得15≤x≤45，且x为整数．三、解答题10．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}．(1)试求a、b的值；(2)求不等式eq\f(ax＋1,bx－1)>0的解集．解：(1)∵不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}．∴a<0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，由韦达定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝3，,\f(－1,a)＝2，,a<0.))于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2).))(2)由(1)得不等式eq\f(ax＋1,bx－1)>0即为eq\f(－\f(1,2)x＋1,\f(3,2)x－1)>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－1))>0，因此(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))<0，解得eq\f(2,3)<x<2.即原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<2)))).11．已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，明显恒成立；②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4<m<0.综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．(2)令f(x)＝mx2－mx－1，①当m＝0时，f(x)＝－1<0明显恒成立；②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f3<0))即可，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝－1<0，,f3＝9m－3m－1<0，))解得m<eq\f(1,6)，所以0<m<eq\f(1,6).③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝eq\f(1,2)，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．综上所述，实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,6))).——实力提升类——12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其长x(单位：m)的取值范围是(C)A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]解析：设矩形宽为y，由三角形相像得：eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.13．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2，且α，β是方程f(x)＝0的两根，则a，b，α，β的大小关系可能是(B)A．a<α<b<β B．a<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：如图所示，在坐标系中画出函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2的图象，图象与x轴交点的横坐标即为α，β，令f(x)＝(x－a)(x－b)＋2＝2，则(x－a)(x－b)＝0，∴x＝a或x＝b，则函数f(x)的图象与直线y＝2的交点的横坐标分别为a，B．14．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx的解集为{x|x<0}．解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.因此，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－2a.))于是，不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx可化为eq\f(a,x)－2a>－ax.因为a<0，所以eq\f(1,x)－2<－x，即eq\f(x－12,x)<0，当x＝1时，不等式不成立；当x≠1时，得x<0.所以，所求不等式的解集为{x|x<0}．15．设函数f(x)＝x2＋ax＋1.(1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，求a的范围；(2)若存在x0∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，使得x2＋ax＋1<0成立，求a的范围；(3)若对于随意的a∈[－1,1]，函数h(x)＝f(x)－4x＋3－2a的值总大于0，求x的范围．解：(1)不等式可化为ax≥－x2－1，∵x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵f(x)＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是减函数(f(x)的图象如图所示)，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))max＝－eq\f(5,2).∴a≥－eq\f(5,2).(2)由题意，问题等价于不等式x2＋ax＋1<0在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，即a<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，所以a<eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(