天津市2023届高三下学期模拟（二）数学试题（含答案解析）

天津市2022-2023高三年级模拟考试（二）数学试卷一、单选题(每题5分，共45分)1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由，可得，则，又由，解得，因，所以，所以．故选：D．2.欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断【详解】由题意可得：对应的点为，∵，则，故位于第二象限.故选：B.3.若某函数在区间上的大致图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在区间内的正负性，范围及零点情况排除选项.【详解】A选项，设，则当时，，则，不符合图像，排除A；C选项，设，当时，，且，，，所以．所以，不符合图像，排除C；D选项，设，令，解得或，与图像不符，排除D.故选：B．4.已知，，，比较a，b，c的大小为（）A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c【答案】D【解析】【分析】易得，.又，比较与0大小即可.【详解】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小.5.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面三个说法中，只有一个是正确的，正确的是（）①寿命超过的频率为0.3；②用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：③寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2A.① B.② C.③ D.以上均不正确【答案】C【解析】【分析】分别设其中一个正确，来推断另外两个说法，即可判断选项.【详解】若①正确，寿命超过的频率为，那么寿命在400-500的频率为0.15，这样电子元件的平均寿命为，②正确，③错误，不满足条件，故①正确不成立；若②正确，则①正确，③错误，故②正确不成立；若③正确，则寿命超过的频率为0.35，①③都不正确，故③正确.故选：C6.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则下列说法错误的是（）A.该几何体外接球的表面积为B.该几何体外接球的体积为C.该几何体的体积与原正方体的体积比为2：3D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小【答案】C【解析】【分析】由题意求该几何体的体积与表面积，由外接球的半径求体积与表面积，对选项逐一判断【详解】由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1，外接球的表面积为，体积为，故A，B正确对于C，该几何体的体积，正方体体积为，故该几何体的体积与原正方体的体积比为，故C错误，对于D，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，故D正确故选：C7.已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离公式得到齐次方程，解出即可.【详解】直线方程为，即，由题意，变形为，∵，∴，．故选：C．8.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递增；③在上有4个零点；④的值域是.其中所有正确结论的编号是（）A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】函数的定义域为，，所以是偶函数，①正确.当时，，令，，函数在区间上单调递增，，开口向上，对称轴为，故在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间上单调递增，②正确.，在区间上，，，所以在区间上，至少有个零点，根据对称性可知，在区间上至少有个零点，所以③错误.由上述分析可知，所以④错误.综上所述，正确的为①②.故选：A9.已知函数，函数,则关于的实根个数取得最大值时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数判断的单调性，进而作出两函数的图象，数形结合，根据的图象确定的取值情况，再结合的图象，确定解的情况，即可求得答案.【详解】由题意得，，令，得，则在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，取最大值为2，当时取最小值-2；由函数的图象可知，当或时，；（1）当时，方程，则或，当时，有一个实根，当时，方程有三个实根，此时关于的方程共有4个实根;（2）当时，方程，则或，当时方程只有一个实根，当时，方程只有一个实根，此时关于的方程共有2个根；（3）当时，方程，则或，当时方程有三个实根，当时，方程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；（4）当时，方程，有或，当时方程有三个实根，当时，方程有三个实根，此时关于的方程共有6个实数根；（4）当时，方程，有，方程有3个或2个或1个实根，综上所述：关于x的方程的实根最多有6个，实数的取值范围是,故选：A【点睛】本题考查了已知两个函数研究某个函数复合形式构成的方程的根的个数问题，首先要具备讨论思想.解题时，首先画出两个函数的草图，利用数形结合思想，借助图象解题更为直观；本题借助的图象，根据，由的值反看的值或其取值范围，然后借助的图象，根据的值或范围反看的值或的个数.二、填空题(每题5分，共30分)10.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用展开式求.【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，，即，则的通项公式为，令，则，所以.故答案为：.11.已知直线与圆交于A，B两点，直线垂直平分弦，则弦的长为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得直线过圆心，求出，进而求出，再利用垂径定理求出结果.【详解】圆可以化为，圆心，半径，由垂径定理可得直线过圆心，则，所以，因为直线与直线垂直，所以，则，圆心到直线的距离，则，故答案为：.12.从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据二项分布概率模型求数学期望和概率即可求解.【详解】由题可得服从二项分布，即，因为，所以，所以.故答案为:1;.13.数列的前项和，则数列中的最大项为__________．【答案】【解析】【分析】根据与的关系，可得到，进而求出，，通过求解，解出正整数，即可求得数列中的最大为.【详解】当时，，当时，由已知，，，则，当时，，满足，所以，设，则，设数列bn中的第项最大，则应满足，即，整理得，解得，又，所以，又，所以数列中的最大项为.故答案为：.14.已知关于的不等式的解集为空集，的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.【详解】由题意可得：，，可以得到，而，可以令，则有，当且仅当取等号.所以的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查均值不等式,关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，属于中档题.15.在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是__________．①为定值3②面积的最大值为③的取值范围是④若为中点，则不可能等于【答案】①②④【解析】【分析】对于①:利用和数量积的计算公式可求；对于②：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于③：先判断出，结合的范围即可判断；对于④：利用求出范围，即可判断.详解】设.对于①:因为，所以D为BC的中点.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.故①正确；对于②：，又，当且仅当“"时,取“=”此时，所以.故②正确；对于③：因为，所以，所以.当时，D、E重合，取得最大值3.可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故③错误；对于④：若为中点，则.故④正确.故答案为：①②④.三、解答题（共75分）16.已知在中，三个内角的对边分别为，若，.（1）求角的大小；（2）若点为上一点，满足，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据降幂公式，结合三角形内角和定理，通过解一元二次方程，结合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函数关系式中商关系进行求解即可；（2）由（1），可以得知为等腰三角形，顶角，由的面积建立等式关系，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】解：由得，即，解得或因为，所以，.根据正弦定理知，代入得，因为，，所以，故，因此或（舍去），故.【小问2详解】解：由（1）知为等腰三角形，顶角.设，由，即，整理得，解得，故.17.如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.(Ⅲ)易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.18.设椭圆的方程为，点为坐标原点,点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.（1）求椭圆的离心率；（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据题设条件确定M坐标，结合离心率的定义求解；（2）由题设条件设点关于直线的对称点为，进而确定线段的中点的坐标，结合点在直线上及建立方程组求解.【小问1详解】由题设，知点的坐标为，由，整理得，而，所以椭圆的离心率为.【小问2详解】由（1）知，则直线的方程为，由，得，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为，因为点在直线上，且，则有，解得，故，所以椭圆的方程为.19.在数列中，，其中．（1）证明数列{b（2）设，数列的前n项和为，求；（3）已知当且时，，其中，求满足等式的所有n的值之和．【答案】（1）证明见解析（2）（3）5【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明，（2）由（1）可求出，从而可求得，然后利用错位相减法求和，（3）先将转化为，结合及等比数列求和公式得出时无解，验证前5项可得结果【小问1详解】证明：因为，所以，所以数列{b【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以小问3详解】由（1）将化为，即，所以，因为当且时，，所以，，……，，所以，所以当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以满足的所有和3，其和为520.已知函数，的最大值为．求实数b的值；当时，讨论函数的单调性；(3)当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1);(2)a=2时，在单调增；时,在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.【解析】【详解】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时，取得极大值，也是最大值，由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1)由题意得，令，解得，