2.2.1椭圆的定义与标准方程

椭圆的定义与标准方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1)B(x2,y2)则:|AB|=?在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。引入新课yxOr设圆上任意一点P(x，y)以圆心O为原点，建立直角坐标系两边平方，得3.如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点,动点到定点距离的定长变成动点到两定点的距离之和为定长.那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？引入新课

4.动手作图工具：纸板、细绳、图钉作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么样的一条曲线引入新课数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2引入新课

4.动手作图思考：在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设P为椭圆上的任意一点，则|PF1|+|PF2|=2a注：定义中对“常数”加上了一个条件，即距离之和要大于|F1F2|(2a>2c,a>c>0)1、椭圆的定义F1F2P讲授新课123当2a>|F1F2|=2c，即距离之和大于焦距时，点的轨迹为椭圆。当2a=|F1F2|=2c时，即距离之和等于焦距时，点的轨迹为线段F1F2当2a<|F1F2|=2c时，即距离之和小于焦距时，点轨迹不存在探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么?椭圆线段AB不存在

(3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.练习下列说法中正确的是(

)A.已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C.到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D.到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2.B中，到F1，F2两点的距离之和6小于|F1F2|，故这样的轨迹不存在.C中，根据椭圆的定义，知轨迹是椭圆.D中，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选C.答案C化简列式设点建系F1F2xy

以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．P(x,

y)设P(x，y)是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,

y)

椭圆上的点满足|PF1|

+|

PF2|为定值，设为2a，则2a>2c则：设得即：O方程:是椭圆的标准方程．xyOF1F2P焦点为：F1(-c,0)、F2(c,0)

若以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴建立直角坐标系，推导出的方程又是怎样的呢？方程:也椭圆的标准方程．焦点为：F1(0

,-c)、F2(0

,c)注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点.2、椭圆标准方程的推导OXYF1F2P(-c,0)(c,0)YOXF1F2P(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断4.根据所学知识完成下表xyF1F2POxyF1F2PO(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD练习：(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2xyF1F2PO题型一求椭圆的标准方程例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；(4)

经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点.焦点在坐标轴.（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为∴所求的椭圆的标准方程为∵2a=10，2c=8∴a=5，c=4解：∵椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点∴设它的标准方程为又∵c=2∴所求的椭圆的标准方程为解方法一①当椭圆的焦点在x轴上时，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在.②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为方法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).(4)

经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点.总结：与椭圆共焦点的椭圆方程可设为反思与感悟求椭圆标准方程的方法：(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程.(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；解

∵椭圆的焦点在x轴上，∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；解

∵椭圆的焦点在y轴上，例2.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是

.(0,4)变1：已知方程表示焦点在y轴上的

椭圆，则m的取值范围是

.(1,2)变2：方程,分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2例2：方程,分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示焦点在x轴上的椭圆。③表示一个椭圆；m=9/2-16<m<9/2或9/2<m<25-16<m<9/2反思与感悟

(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.解得7<k<10.7<k<10跟踪训练2若方程

表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是(

)A.m