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文档简介
第03讲等比数列及其前n项和
目录
01考情透视•目标导航............................................................2
02知识导图•思维引航............................................................3
03考点突破•题型探究............................................................4
知识点1:等比数列的有关概念....................................................4
知识点2:等比数列的有关公式....................................................4
知识点3:等比数列的性质........................................................5
解题方法总结...................................................................5
题型一:等比数列的基本运算.....................................................6
题型二:等比数列的判定与证明...................................................7
题型三:等比数列项的性质应用...................................................9
题型四:等比数列前n项和的性质................................................10
题型五:奇偶项求和问题的讨论..................................................10
题型六:等差数列与等比数列的综合应用..........................................12
题型七:等比数列的范围与最值问题..............................................13
题型八:等比数列的实际应用....................................................14
题型九:公共项与插项问题......................................................15
04真题练习•命题洞见............................................................36
05课本典例•高考素材............................................................17
06易错分析•答题模板............................................................18
易错点:不能灵活运用等比数列的性质............................................18
考情透视.目标导航
考点要求考题统计考情分析
(1)等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定,考查内
念2023年甲卷(理)第5题,5分容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)
(2)等比数列的通项公2023年H卷第8题,5分选择题、填空题多单独考查基本量的计算;(2)
式与求和公式2023年乙卷(理)第15题,5分解答题多与等差数列结合考查,或结合实际问题
(3)等比数列的性质或其他知识考查.
复习目标:
(1)理解等比数列的概念.
(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)了解等比数列与指数函数的关系.
考点突确.题理辉宝
知识固本
知识点1:等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个
数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母0表示,定义的表达式为冬红.
a”
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与3的等比中项.
即G是a与}的等比中项Qa,G,b成等比数列今G2=".
【诊断自测】某景点上山共有999级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步上一个台阶,也可以一步
上两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为1每步上两个台阶的概率为2;,为了简便描述问题,我们约
定,甲从0级台阶开始向上走,一步走一个台阶记1分,一步走两个台阶记2分,记甲登上第W个台阶的
概率为月,其中weN*,且〃V998.证明:数列仍,.-4}是等比数列.
知识点2:等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{〃“}的首项为%,公比为q(qwO),则它的通项公式a=a1q"-'=c-q'\c=—)(«[,q^=0)-
q
nm
推广形式:an=am-q-
(2)等比数列的前〃项和公式
na1(q=1)
等比数列{4}的公比为q(00),其前"项和为S“=,[(l-q")_q-a,/
Ii-qi-q
注①等比数列的前"项和公式有两种形式,在求等比数列的前〃项和时,首先要判断公比g是否为1,
再由q的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比。是否为1时,要分q=l与《片1两种情况讨论求解.
②已知(项数),则利用s=%(1一>)求解;己知生,%,4(qNl),则利用s“=幺二强求
1-q1-q
解.
③S,=皿二£2=二二.4,,+,」=的”_左(左/0,4片1),S“为关于4〃的指数型函数,且系数与常数
1_q-q-q
互为相反数.
【诊断自测】若数列{%}是公比为。的等比数列,且Iog2%+log2%3=3,4%。=4,则q的值为()
A.2B.4C.+2D.+4
知识点3:等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若加+〃=p+q时,则册4=4%,特别地,当根+〃=2p时,aman=ap.
(2)①设{4}为等比数列,则{44}(4为非零常数),{㈤},{成}仍为等比数列.
②设{凡}与{b“}为等比数列,则{qb“}也为等比数列.
(3)等比数列{%}的单调性(等比数列的单调性由首项.与公比《决定).
当「fa>>10或[fao,<<"0i时,&}为递增数列;
\a.>0<0
当或时,&}为递减数列•
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列{%},公比为q,前”项和为邑,则:
①等间距抽取
%,ap+t,"p+2”…"p+5-i",…为等比数列,公比为
②等长度截取
黑,邑”-黑,53“-邑”,…为等比数列,公比为〃(当4=-1时,%不为偶数).
【诊断自测】在正项等比数列{%}中,%,即是3/-6x+l=O的两个根,则一+—+—=
解题方法总结
(1)右m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kRN"),则'4?一—"4.
(2)若{%},{么}(项数相同)是等比数列,则{加1”}(;1*0),{」},{“;},{4也},{"}仍是等
anb„
比数列.
(3)在等比数列{%}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即%,an+k,an+2k,4+3%…为
等比数列,公比为十.
(4)公比不为一1的等比数列{4}的前〃项和为S“,则S/S2„-S„,邑“-工,仍成等比数列,其公
比为q".
(5){q}为等比数列,若则?;,曳,…成等比数列.
T"
(6)当qwO,qwl时,S=左一左q"(左大0)是{4,}成等比数列的充要条件,此时左=’!一.
i-q
(7)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间
项的平方.
(8)若{%}为正项等比数列,贝|{1。&%}9>0,[;工1)为等差数列.
(9)若{%}为等差数列,则{L}(c>O,c*l)为等比数列.
(10)若{a,}既是等差数列又是等比数列o{«„)是非零常数列.
题型洞察
题型一:等比数列的基本运算
【典例1-1】(2024•广东深圳•模拟预测)已知等比数列{4}公比为前”项和为S“,且满足4=84,则
下列说法正确的是()
2$61
A.S3-S9=S6B.—=-
D3V
c.4=;D.Sn=2an-at
【典例1-2](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知正项等比数列{4}的前三项和为28且%=4,则线=
()
A.-B.-C.—D.—
24816
【方法技巧】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量4,n,q,an,
一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前”项和公式涉及对公比q的分类讨论:
当4=1时,Sn=na,;当4片1时,.=4(1-♦")=%一%4
1—q1一“
【变式1-1](2024.山东泰安・模拟预测)已知数列{4}是各项均为正数的等比数列,且3q+9%=2,
94=axa5,贝|()
【变式1-2](2024・高三・广西•开学考试)已知等比数列{%}的前三项和为13,%-6%+9%=0,则4=
()
A.81B.243C.27D.729
【变式1・3】(2024.陕西安康.模拟预测)已知在正项等比数列⑷中,%%=16,且/J。弓成等差数列,
则/+%+%=()
A.157B.156C.74D.73
【变式1-4](2024•陕西渭南・二模)己知等比数列{4}的前〃项和为S“,q+%=30,'=120,则其公比4=
()
A.1B.2C.3D.-3
题型二:等比数列的判定与证明
【典例2-1】(2024.河南.三模)己知数列{%}的各项均不为0,其前,项和为S,,,4为不等于0的常数,且
S,=qS.T+q(〃22).
(1)证明:{%}是等比数列;
⑵若S5,S“,S8成等差数列,则对于任意的正整数乙4+5,4+U,4+8是否成等差数列?若成等差数列,请
予以证明;若不成等差数列,请说明理由.
1(2|
【典例2-2](2024・四川绵阳•模拟预测)已知数列{%}中,4=;,4+i=LJ(〃eN*).证明:{--1}是等
32-%an
比数列;
【方法技巧】
等比数列的判定方法
若也=q(Q为非零常数,〃eN*或反刃(Q为非零常数且此2,),则
aa
定义法n„-l
{%}是等比数列
中项公式法若数列{”,}中,°,尸。且%包2=%.%+2(〃€%*),则{%}是等比数列
若数列{““}的通项公式可写成q=cq"T(Gq均为非零常数,〃eN*),则{%}是等
通项公式法
比数列
前几项和公式法若数列{%}的前“项和S“=k4”-(女为非零常数,qw0,l),则{%}是等比数列
an-3,〃为奇数,
【变式2-1](2024•河北石家庄•二模)已知数列{4}满足4=7,%M
2an,及为偶数.
(1)写出%,%,%;
⑵证明:数列K-J-6)为等比数列;
【变式2-2](2024•青海海南・一模)记等差数列{q,}的前〃项和为S",{〃,}是正项等比数列,且
%=4=2,Si。=11%,4-万2=〃2.
⑴求{4}和{〃}的通项公式;
⑵证明是等比数列.
【变式2-3]已知数列何}和也}满足4=1,仿=。,而―,46用=36,-%-4.证明:{an+bn}
是等比数列,{4-2}是等差数列.
【变式2-4】已知点4(1,2),4(2,3),设凡(见,妇(“eN*),当*3时,线段4.2%的中点为纥,纥关
于直线y=x的对称点为4.例如,鸟为线段44的中点,则用4、,,.设1=%+|+2+「。“-4,
证明:{&}是等比数列.
【变式2-5](2024•全国•模拟预测)已知数列{。〃}满足4=l,a“+a“M=8-3"T.
证明:32GR,使得数歹U{%+〃3"}成等比数列;
题型三:等比数列项的性质应用
【典例3-1】(2024•浙江金华.模拟预测)已知数列{?}是等差数列,数列{〃}是等比数列,若
a2+a4+a6=5n,b2b4b6=3A/3,则3j.
【典例3-2】(2024.高三•内蒙古锡林郭勒盟•开学考试)已知数列{。.}为正项等比数列,若
11111,
/+/+4+=2,1----1---1---1---=l1oO,贝!J.
【方法技巧】
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件、利用性质,特别是性质“若
m+n=p+q=2k,则图-g=与•4=。/.”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.止匕外,解题时
注意设而不求思想的运用.
【变式3-1]在各项均为正数的等比数列{。,,}中,%&=8,则log2a4+1吗%=.
【变式3-2]若等比数列{?}满足。4•a6+2a5•%+4•%=36,贝"%+%等于___.
【变式3-3]已知等比数列{4}的各项均为正数,且a4a6+4%=18,则%=,
log3ax+log3%+log3a3H—+log3a9=.
【变式3-4](2024•陕西•模拟预测)等比数列{%}满足:4>0,4>0,%。3%%。9=32,贝!]%+%的最小值
为.
题型四:等比数列前n项和的性质
【典例4-1】记S,,为等比数列{%}的前〃项和,若$4=-5,臬=21邑,贝!]$=—.
【典例4-2】设等比数歹(]{4}的前”项和是S”.已知S3=30,S6=120,贝|率=.
>3
【方法技巧】
(1)等比数列{4}中,所有奇数项之和%与所有偶数项之和s1s具有的性质,设公比为好
①若共有2九项,贝="②若共有2〃+1项,/立=7
s奇“
(2)等比数列{4}中,S*表示它的前人项和.当#-1时,有a,S“一SiS3*—S?……也成等比数歹!J,
公比为
【变式4-1]已知正项等比数列{%}共有2〃项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比4=—.
【变式4-2]已知等比数歹!]{%}的前〃项和S“=ax3"-2,贝lja=—.
S1S
【变式4-3](2024.高三.江苏苏州.期末)设S”是等比数列0}的前几项和,若J=则。,=—.
,10J^20十^10
【变式4-4]数列{4}是等差数列,数列也}是等比数列,公比为q,数列{。“}中,c,=anbn,臬是数列
出,}的前"项和.若鼠=11,S2m=l,S3m=-201(相为正偶数),贝US,,,,的值为一.
题型五:奇偶项求和问题的讨论
【典例5-1】(2024・高三・四川成都•期中)数列{%}满足:al=a2=l,a2n+l-a2„_l=2,^=2,数列{%}的
a2fl
前〃项和记为S〃,则$23=
【典例5-2】(2024•河南•模拟预测)已知数列{为}满足用"寸是偶数‘,S"是数列{%}的前w项和,
4+2,a“是奇数,
若已知%=64,那么$2。的值为()
A.322B.295C.293D.270
【方法技巧】
求解等比数列的前〃项和S",要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数月的值;
对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从〃为奇数、偶数进行分类.
【变式5-1]已知数列{%}满足%包=[2"";"彳喘,若3<佝<15,则%的取值范围是()
[%+1,〃为偶数
31「3一
A.[-1,0]B.--,0C.0,—D.[0,1]
44
【变式5-2](2024・高三.河北唐山・期末)记S”为数列{%}的前〃项和,当“22时,
+1,"为奇数
且$3=1.
2%T,W为偶数.
(1)求生,利;
(2)(i)当〃为偶数时,求{叫的通项公式;
(ii)求S20M.
为奇数
【变式5-3](2024・福建厦门•模拟预测)已知S“为等差数列{a.}的前〃项和,L匕〃为偶数
d=32,S5=20.
(1)求{4}的通项公式;
(2)记7;为数列也}的前八项和,若2&-S2“>0,求w的最小值.
[22〃,几为奇数
【变式5-4]已知数列也“}满足6=1,a,用=](2+1”“,"为偶数''为参数且
(1)求4、的的值(用几表示),并探究是否存在4使得数列{。“}成等比数列,若存在,求几的值,无需证
明.
(2)当4=2时,求{叫的前2〃项和邑“;试给出何}前〃项和S,表达式.
题型六:等差数列与等比数列的综合应用
【典例6-1】(2024•四川宜宾•模拟预测)已知数列{?}是公差不为0的等差数列,q=1,且满足电,。3,七
成等比数列,则数列{%}前6项的和为.
【典例6-2】(2024・陕西西安・模拟预测)已知数列{为}为各项均不相等的等比数列,其前”项和为S“,且
3%,2%,%成等差数列,则邑=.
〃4
【方法技巧】
(1)等差数列与等比数列的相互转化:等差数列通过指数运算转化为正项等比数列,正项等比数列
通过对数运算转化为等差数列.
(2)等差数列和等比数列的交汇,若一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列为非零常数数
列.
【变式6-1](2024.湖北荆州.三模)若实数0,尤,%6成等差数列,一/八仁一:成等比数列,则三三=—.
28b
【变式6-2](2024.浙江杭州.三模)已知公差为正数的等差数列{4}的前〃项和为S“,{〃,}是等比数列,
且52=-2他+如2,S6=6(bl+b2)(b5+b6),则⑸}的最小项是第一项.
【变式6-3】记S“为公差不为0的等差数列{。"}的前”项和,已知邑=-30,且%,%,的成等比数列,
则S”的最小值为.
【变式6-4](2024•陕西安康・三模)已知方程(炉-皿+27)卜2一m+27)=。的四个根组成以1为首项的等
比数列,则()
A.8B.12C.16D.20
题型七:等比数列的范围与最值问题
【典例7-1](多选题)设等比数列{%}的公比为9,其前"项和为s",前”项积为r“,若4>1,0<q<l,
且(%)23一1)•他024一1)<0,则下列结论正确的是()
A.$2024-$2023>°B.02023“2025<1
C.数列{1}中的最大值是7M23D.数列{7;}无最大值
【典例7-2](多选题)(2024•湖北•二模)无穷等比数列{4,}的首项为%公比为4,下列条件能使{4}既有
最大值,又有最小值的有()
A.q〉0,0<qvlB.4〉。,-IvqvO
C.%<0,q=-1D.%<0,q<—1
【方法技巧】
等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时,首先需要明确等比数列的
定义和性质,包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题,通常通过不等式求解,利用等比数列的性
质确定数列项的取值范围。对于最值问题,则需分析数列的单调性,结合数列项的性质,求出数列的最大
项或最小项。
【变式7-11(多选题)(2024•全国•模拟预测)已知正项等比数列也“}的前〃项的积为,,且公比4*1,若
对于任意正整数〃,Tn>T2023,则()
A.0<«1<1B.0<<?<1c.%023=lD.看04721
【变式7-21(多选题)设等比数列{4}的公比为q,其前"项和为S",前”项积为且满足条件4>1,
a2022a2023>1,(4022一。(%)23-1)<°,则下列选项正确的是()
A.0<4<1B.52022>$2023—1
C.^2023是数列{1}中的最大项D.岂叫<1
【变式7-3](多选题)已知等比数列{。〃}满足4>0,公比4>1,且…。2021<1,4的…。2022>1,贝I
()
A.a2022>1B.当〃=2021时,〃最小
C.当〃=1011时,”最小D.存在〃<1011,使得4A+1=%+2
【变式7-4](多选题)设等比数列{g}的公比为其前〃项和为臬,前"项积为且4>1,a6a7>1,
幺二1<0,则下列结论正确的是()
出一1
A.0<^<1B.0<a7a8<1
c.s”的最大值为S7D.,的最大值为”
【变式7-5](多选题)(2024•福建三明.三模)设等比数列{g}的前〃项和为S“,前〃项积为】,若满足
0<«1<1,%。040>1,(。2023一1)(%024-1)<°,则下列选项正确的是()
A.{?}为递减数列B.$2023+1<$2024
C.当〃=2023时,,最小D.当7;>1时,〃的最小值为4047
题型八:等比数列的实际应用
【典例8-1】(2024•安徽合肥・三模)某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万
元,按照复利计算8年后他能得到的本利和约为()(单位:万元,结果保留一位小数)
A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9
【典例8-2](2024•天津红桥•二模)某同学于2019年元旦在银行存款1万元,定期储蓄年利率为1.75%,
以后按约定自动转存,那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为()
A.10000xl.01756B.10000xl.01757
C10000(1-1.75%6)口10000(1-1.75%7)
1-1.75%-1-1.75%
【方法技巧】
等比数列在实际应用中广泛存在,其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的
应用。例如,在金融领域,等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题;在物理学中,等比数列可
以用来描述某些放射性物质的衰变过程;在生物学中,它也可以用于描述种群数量的增长等。因此,掌握
等比数列的应用具有实际意义。
7T
【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中,B=~,AB=a,以A8为斜边作等腰直角三角形ABd,再以
4片为斜边作等腰直角三角形4与与,依次类推,记AASC的面积为,,依次所得三角形的面积分别为色,
院……若工+S?+…+Sg=25W5,则。=()
A.2B.20C.3D.4
【变式8-2】如图,雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中
间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三
角形(图①)的边长为1,把图①,图②,图③,图④中图形的周长依次记为C-C2,J,C4,则C,=
©②③④
【变式8-3](2024•云南昆明•模拟预测)每年6月到9月,昆明大观公园的荷花陆续开放,已知池塘内某
种单瓣荷花的花期为3天(第四天完全凋谢),池塘内共有2000个花蕾,第一天有10个花蕾开花,之后每
天花蕾开放的数量都是前一天的2倍,则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大()
A.6B.7C.8D.9
【变式8-4](2024.云南昆明.一模)第七届国际数学大会(ICNE7)的会徽图案是由若干三角形组成的.如
图所示,作RtZXAOB,OA=1,N4O5=30。,再依次作相似三角形ABOC,△COD,△DOE,……,直至
最后一个三角形的斜边O河与。4第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为()
题型九:公共项与插项问题
【典例9-1]将数列{2"}与{3〃-2}的公共项由小到大排列得到数列{?},则数列{g}的前n项的和为.
【典例9-21已知数列{叫满足q=2”,在凡和4+1之间插入”个1,构成数列{〃,}:%」,生」」,外,1,1」,
则数列也}的前20项的和为.
【方法技巧】
公共项与插项问题是数列研究中的重要内容,具有广泛的应用背景。
公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系,需要利用
数列的通项公式和性质进行求解。例如,两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列,其公差是两
原数列公差的最小公倍数。
插项问题则是在数列的特定位置插入新的项,以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项
对数列性质的影响,如数列的单调性、最值等。在实际应用中,插项问题可用于数列的扩展、数列模型的
修正等方面。
综上所述,公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题,对于深入理解数列的性质和应用具
有重要意义。
【变式9-1]已知数列{。“}满足。,=2”,在。“和之间插入”个1,构成新的数列也},则数列{〃}的前
20项的和为.
【变式9-2]已知各项均为正数的数列{%}中,卬=1且满足氏+;一片=24,+2〃用,数列也}的前〃项和为
S",满足2s“+1=36,.
⑴求数列{%},凡}的通项公式;
(2)若在4与%之间依次插入数列也,}中的%项构成新数列{(:”}:”,%,b2,a2,a3,b3,%,外,a6,
“,……,求数列{q,}中前50项的和q.
【变式9-3](2024•甘肃张掖・模拟预测)定义:在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成
新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如:数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数
列1,3,2,5,3;第二次,和扩充”后得到数列1,4,3,527,5,8,3.设数列a,b,c经过”次"和扩充”后得到的数列的
项数为2,所有项的和为s”.
⑴若a=2,b=3,c=4,求鸟同;
⑵求不等式522024的解集;
⑶是否存在数列〃,瓦"CER),使得数列{,}为等比数列?请说明理由.
【变式外4](2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知数列{4}的前〃项积为<=3T,数列{以}满足4=1,
A.14B.12C.6D.3
4.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)记S“为等比数列{%}的前〃项和.若S?=4,S4=6,贝”6=
()
A.7B.8C.9D.10
5.(2024年上海秋季高考数学真题)无穷等比数列{%}满足首项q记
A.=卜-y|无,>e[q,g]口[为,%+1]},若对任意正整数n集合/,是闭区间,则9的取值范围是
㈤5
ii_告"
(、33g
1.已知数列{4}的首项4=不,且满足。“+1=二片
:”为等比数列.
(1)求证:数列
1111…
(2)若一+—+—+•••+—<1。。,求满足条件的最大整数a.
2.已知{%}是一个无穷等比数列,公比为q.
(1)将数列{4}中的前上项去掉,剩余项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项
与公比分别是多少?
(2)取出数列{%}中的所有奇数项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与
公比分别是多少?
(3)在数列{4}中,每隔10项取出一项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公
比是多少?你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗?
3.已知数列{4}为等差数列,4=1,%=2e+1,前〃项和为S“,数列也}满足用=§,
求证:
(1)数列也}为等差数列;
(2)数列{4}中的任意三项均不能构成等比数列.
4.已知数列{4}为等比数列,4=1024,公比q=若/是数列{。“}的前〃项积,求/的最大值.
㈤6
//易错分析-答题模板\\
易错点:不能灵活运用等比数列的性质
易错分析:解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质,以及前n项和的性质,正确运用学过的知
识,进行合理计算即可.
【易错题1】在各项均为正数的等比数列{。“}中,④阳=16,则10g2a+bg2%3=.
【易错题2]等比数列{%}中,%=4,&=16,则%=
第03讲等比数列及其前〃项和
目录
01考情透视•目标导航............................................................2
02知识导图•思维引航............................................................3
03考点突破•题型探究............................................................4
知识点1:等比数列的有关概念....................................................4
知识点2:等比数列的有关公式....................................................4
知识点3:等比数列的性质........................................................5
解题方法总结...................................................................5
题型一:等比数列的基本运算.....................................................6
题型二:等比数列的判定与证明...................................................7
题型三:等比数列项的性质应用...................................................9
题型四:等比数列前n项和的性质................................................10
题型五:奇偶项求和问题的讨论..................................................10
题型六:等差数列与等比数列的综合应用..........................................12
题型七:等比数列的范围与最值问题..............................................13
题型八:等比数列的实际应用....................................................14
题型九:公共项与插项问题......................................................15
04真题练习•命题洞见............................................................36
05课本典例高考素材............................................................17
06易错分析•答题模板............................................................18
易错点:不能灵活运用等比数列的性质............................................18
春情目标导航
考点要求考题统计考情分析
(1)等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定,考查内
2023年甲卷(理)第5题,5分
念容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)
2023年II卷第8题,5分
(2)等比数列的通项公选择题、填空题多单独考查基本量的计算;(2)
2023年乙卷(理)第15题,5
式与求和公式解答题多与等差数列结合考查,或结合实际问题
分
(3)等比数列的性质或其他知识考查.
复习目标:
(1)理解等比数列的概念.
(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
(3)了解等比数列与指数函数的关系.
考点突破■题型探究
--------------[HHHJT,
知识
知识点1:等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个
数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母《表示,定义的表达式为
4
(2)等比中项:如果G,b成等比数列,那么G叫做"与分的等比中项.
即G是a与}的等比中项Qa,G,b成等比数列今&=环.
【诊断自测】某景点上山共有999级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步上一个台阶,也可以一步
上两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为耳1,每步上两个台阶的概率为2:,为了简便描述问题,我们约
定,甲从0级台阶开始向上走,一步走一个台阶记1分,一步走两个台阶记2分,记甲登上第〃个台阶的
概率为2,其中weN*,且"V998.证明:数列{月4-舄是等比数列.
【解析】证明:由题可得6=|+冉=彳,
12
则P〃+2=§2+1+§匕,几£N*,
匕+2一匕+1=一((匕+|-匕),
174
由于《=§,2=§,・・・£_《=§工。,
p_p2
故心「尸产。,则营寸=一§
;•数歹U{r4+1-只、}是以巳4为首项,-12■为公比的等比数歹!J.
知识点2:等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{凡}的首项为名,公比为q(qwO),则它的通项公式a=“"力=cq"(c=幺)@应N0).
q
推广形式4”一“
(2)等比数列的前"项和公式
nax(q=1)
等比数列{%}的公比为,(4wO),其前〃项和为S"=<〃(l—q〃)a-aq
Ii--q-=n—"q("D
注①等比数列的前〃项和公式有两种形式,在求等比数列的前"项和时,首先要判断公比。是否为1,
再由q的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q是否为1时,要分q=l与gwl两种情况讨论求解.
②已知qM(gwl),”(项数),则利用§=皿二©求解;已知q,4,冢4H1),则利用S“=幺二强求
1-q1-q
解.
③S“=皿二g=』0"+人=%0_左(左手。,4力1),S"为关于力的指数型函数,且系数与常数互
1—q-qq
为相反数.
【诊断自测】若数列{■是公比为q的等比数列,且Iog2%+log2%3=3,/4()=4,则夕的值为()
A.2B.4C.+2D.±4
【答案】A
【解析】数列{4}中,由log2a4+log2%3=3,知%>°,则
又log2aM3=3,于是%%3=23=8,而q%=4%()=4,
故选:A
知识点3:等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若m+〃=p+q时,则4“%=%与,特别地,当根+〃=2p时,aman=ap.
(2)①设{%}为等比数列,则{4q}(4为非零常数),{同},{唠}仍为等比数歹人
②设{4}与{b„}为等比数
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