2025年新高考数学一轮复习:等比数列及其前n项和(九大题型)(讲义)(学生版+解析)_第1页
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文档简介

第03讲等比数列及其前n项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1:等比数列的有关概念....................................................4

知识点2:等比数列的有关公式....................................................4

知识点3:等比数列的性质........................................................5

解题方法总结...................................................................5

题型一:等比数列的基本运算.....................................................6

题型二:等比数列的判定与证明...................................................7

题型三:等比数列项的性质应用...................................................9

题型四:等比数列前n项和的性质................................................10

题型五:奇偶项求和问题的讨论..................................................10

题型六:等差数列与等比数列的综合应用..........................................12

题型七:等比数列的范围与最值问题..............................................13

题型八:等比数列的实际应用....................................................14

题型九:公共项与插项问题......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................36

05课本典例•高考素材............................................................17

06易错分析•答题模板............................................................18

易错点:不能灵活运用等比数列的性质............................................18

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定,考查内

念2023年甲卷(理)第5题,5分容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)

(2)等比数列的通项公2023年H卷第8题,5分选择题、填空题多单独考查基本量的计算;(2)

式与求和公式2023年乙卷(理)第15题,5分解答题多与等差数列结合考查,或结合实际问题

(3)等比数列的性质或其他知识考查.

复习目标:

(1)理解等比数列的概念.

(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

(3)了解等比数列与指数函数的关系.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:等比数列的有关概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母0表示,定义的表达式为冬红.

a”

(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与3的等比中项.

即G是a与}的等比中项Qa,G,b成等比数列今G2=".

【诊断自测】某景点上山共有999级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步上一个台阶,也可以一步

上两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为1每步上两个台阶的概率为2;,为了简便描述问题,我们约

定,甲从0级台阶开始向上走,一步走一个台阶记1分,一步走两个台阶记2分,记甲登上第W个台阶的

概率为月,其中weN*,且〃V998.证明:数列仍,.-4}是等比数列.

知识点2:等比数列的有关公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列{〃“}的首项为%,公比为q(qwO),则它的通项公式a=a1q"-'=c-q'\c=—)(«[,q^=0)-

q

nm

推广形式:an=am-q-

(2)等比数列的前〃项和公式

na1(q=1)

等比数列{4}的公比为q(00),其前"项和为S“=,[(l-q")_q-a,/

Ii-qi-q

注①等比数列的前"项和公式有两种形式,在求等比数列的前〃项和时,首先要判断公比g是否为1,

再由q的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比。是否为1时,要分q=l与《片1两种情况讨论求解.

②已知(项数),则利用s=%(1一>)求解;己知生,%,4(qNl),则利用s“=幺二强求

1-q1-q

解.

③S,=皿二£2=二二.4,,+,」=的”_左(左/0,4片1),S“为关于4〃的指数型函数,且系数与常数

1_q-q-q

互为相反数.

【诊断自测】若数列{%}是公比为。的等比数列,且Iog2%+log2%3=3,4%。=4,则q的值为()

A.2B.4C.+2D.+4

知识点3:等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若加+〃=p+q时,则册4=4%,特别地,当根+〃=2p时,aman=ap.

(2)①设{4}为等比数列,则{44}(4为非零常数),{㈤},{成}仍为等比数列.

②设{凡}与{b“}为等比数列,则{qb“}也为等比数列.

(3)等比数列{%}的单调性(等比数列的单调性由首项.与公比《决定).

当「fa>>10或[fao,<<"0i时,&}为递增数列;

\a.>0<0

当或时,&}为递减数列•

(4)其他衍生等比数列.

若已知等比数列{%},公比为q,前”项和为邑,则:

①等间距抽取

%,ap+t,"p+2”…"p+5-i",…为等比数列,公比为

②等长度截取

黑,邑”-黑,53“-邑”,…为等比数列,公比为〃(当4=-1时,%不为偶数).

【诊断自测】在正项等比数列{%}中,%,即是3/-6x+l=O的两个根,则一+—+—=

解题方法总结

(1)右m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kRN"),则'4?一—"4.

(2)若{%},{么}(项数相同)是等比数列,则{加1”}(;1*0),{」},{“;},{4也},{"}仍是等

anb„

比数列.

(3)在等比数列{%}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即%,an+k,an+2k,4+3%…为

等比数列,公比为十.

(4)公比不为一1的等比数列{4}的前〃项和为S“,则S/S2„-S„,邑“-工,仍成等比数列,其公

比为q".

(5){q}为等比数列,若则?;,曳,…成等比数列.

T"

(6)当qwO,qwl时,S=左一左q"(左大0)是{4,}成等比数列的充要条件,此时左=’!一.

i-q

(7)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间

项的平方.

(8)若{%}为正项等比数列,贝|{1。&%}9>0,[;工1)为等差数列.

(9)若{%}为等差数列,则{L}(c>O,c*l)为等比数列.

(10)若{a,}既是等差数列又是等比数列o{«„)是非零常数列.

题型洞察

题型一:等比数列的基本运算

【典例1-1】(2024•广东深圳•模拟预测)已知等比数列{4}公比为前”项和为S“,且满足4=84,则

下列说法正确的是()

2$61

A.S3-S9=S6B.—=-

D3V

c.4=;D.Sn=2an-at

【典例1-2](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知正项等比数列{4}的前三项和为28且%=4,则线=

()

A.-B.-C.—D.—

24816

【方法技巧】

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量4,n,q,an,

一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.

(2)等比数列的前”项和公式涉及对公比q的分类讨论:

当4=1时,Sn=na,;当4片1时,.=4(1-♦")=%一%4

1—q1一“

【变式1-1](2024.山东泰安・模拟预测)已知数列{4}是各项均为正数的等比数列,且3q+9%=2,

94=axa5,贝|()

【变式1-2](2024・高三・广西•开学考试)已知等比数列{%}的前三项和为13,%-6%+9%=0,则4=

()

A.81B.243C.27D.729

【变式1・3】(2024.陕西安康.模拟预测)已知在正项等比数列⑷中,%%=16,且/J。弓成等差数列,

则/+%+%=()

A.157B.156C.74D.73

【变式1-4](2024•陕西渭南・二模)己知等比数列{4}的前〃项和为S“,q+%=30,'=120,则其公比4=

()

A.1B.2C.3D.-3

题型二:等比数列的判定与证明

【典例2-1】(2024.河南.三模)己知数列{%}的各项均不为0,其前,项和为S,,,4为不等于0的常数,且

S,=qS.T+q(〃22).

(1)证明:{%}是等比数列;

⑵若S5,S“,S8成等差数列,则对于任意的正整数乙4+5,4+U,4+8是否成等差数列?若成等差数列,请

予以证明;若不成等差数列,请说明理由.

1(2|

【典例2-2](2024・四川绵阳•模拟预测)已知数列{%}中,4=;,4+i=LJ(〃eN*).证明:{--1}是等

32-%an

比数列;

【方法技巧】

等比数列的判定方法

若也=q(Q为非零常数,〃eN*或反刃(Q为非零常数且此2,),则

aa

定义法n„-l

{%}是等比数列

中项公式法若数列{”,}中,°,尸。且%包2=%.%+2(〃€%*),则{%}是等比数列

若数列{““}的通项公式可写成q=cq"T(Gq均为非零常数,〃eN*),则{%}是等

通项公式法

比数列

前几项和公式法若数列{%}的前“项和S“=k4”-(女为非零常数,qw0,l),则{%}是等比数列

an-3,〃为奇数,

【变式2-1](2024•河北石家庄•二模)已知数列{4}满足4=7,%M

2an,及为偶数.

(1)写出%,%,%;

⑵证明:数列K-J-6)为等比数列;

【变式2-2](2024•青海海南・一模)记等差数列{q,}的前〃项和为S",{〃,}是正项等比数列,且

%=4=2,Si。=11%,4-万2=〃2.

⑴求{4}和{〃}的通项公式;

⑵证明是等比数列.

【变式2-3]已知数列何}和也}满足4=1,仿=。,而―,46用=36,-%-4.证明:{an+bn}

是等比数列,{4-2}是等差数列.

【变式2-4】已知点4(1,2),4(2,3),设凡(见,妇(“eN*),当*3时,线段4.2%的中点为纥,纥关

于直线y=x的对称点为4.例如,鸟为线段44的中点,则用4、,,.设1=%+|+2+「。“-4,

证明:{&}是等比数列.

【变式2-5](2024•全国•模拟预测)已知数列{。〃}满足4=l,a“+a“M=8-3"T.

证明:32GR,使得数歹U{%+〃3"}成等比数列;

题型三:等比数列项的性质应用

【典例3-1】(2024•浙江金华.模拟预测)已知数列{?}是等差数列,数列{〃}是等比数列,若

a2+a4+a6=5n,b2b4b6=3A/3,则3j.

【典例3-2】(2024.高三•内蒙古锡林郭勒盟•开学考试)已知数列{。.}为正项等比数列,若

11111,

/+/+4+=2,1----1---1---1---=l1oO,贝!J.

【方法技巧】

(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件、利用性质,特别是性质“若

m+n=p+q=2k,则图-g=与•4=。/.”,可以减少运算量,提高解题速度.

(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.止匕外,解题时

注意设而不求思想的运用.

【变式3-1]在各项均为正数的等比数列{。,,}中,%&=8,则log2a4+1吗%=.

【变式3-2]若等比数列{?}满足。4•a6+2a5•%+4•%=36,贝"%+%等于___.

【变式3-3]已知等比数列{4}的各项均为正数,且a4a6+4%=18,则%=,

log3ax+log3%+log3a3H—+log3a9=.

【变式3-4](2024•陕西•模拟预测)等比数列{%}满足:4>0,4>0,%。3%%。9=32,贝!]%+%的最小值

为.

题型四:等比数列前n项和的性质

【典例4-1】记S,,为等比数列{%}的前〃项和,若$4=-5,臬=21邑,贝!]$=—.

【典例4-2】设等比数歹(]{4}的前”项和是S”.已知S3=30,S6=120,贝|率=.

>3

【方法技巧】

(1)等比数列{4}中,所有奇数项之和%与所有偶数项之和s1s具有的性质,设公比为好

①若共有2九项,贝="②若共有2〃+1项,/立=7

s奇“

(2)等比数列{4}中,S*表示它的前人项和.当#-1时,有a,S“一SiS3*—S?……也成等比数歹!J,

公比为

【变式4-1]已知正项等比数列{%}共有2〃项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,则公比4=—.

【变式4-2]已知等比数歹!]{%}的前〃项和S“=ax3"-2,贝lja=—.

S1S

【变式4-3](2024.高三.江苏苏州.期末)设S”是等比数列0}的前几项和,若J=则。,=—.

,10J^20十^10

【变式4-4]数列{4}是等差数列,数列也}是等比数列,公比为q,数列{。“}中,c,=anbn,臬是数列

出,}的前"项和.若鼠=11,S2m=l,S3m=-201(相为正偶数),贝US,,,,的值为一.

题型五:奇偶项求和问题的讨论

【典例5-1】(2024・高三・四川成都•期中)数列{%}满足:al=a2=l,a2n+l-a2„_l=2,^=2,数列{%}的

a2fl

前〃项和记为S〃,则$23=

【典例5-2】(2024•河南•模拟预测)已知数列{为}满足用"寸是偶数‘,S"是数列{%}的前w项和,

4+2,a“是奇数,

若已知%=64,那么$2。的值为()

A.322B.295C.293D.270

【方法技巧】

求解等比数列的前〃项和S",要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数月的值;

对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从〃为奇数、偶数进行分类.

【变式5-1]已知数列{%}满足%包=[2"";"彳喘,若3<佝<15,则%的取值范围是()

[%+1,〃为偶数

31「3一

A.[-1,0]B.--,0C.0,—D.[0,1]

44

【变式5-2](2024・高三.河北唐山・期末)记S”为数列{%}的前〃项和,当“22时,

+1,"为奇数

且$3=1.

2%T,W为偶数.

(1)求生,利;

(2)(i)当〃为偶数时,求{叫的通项公式;

(ii)求S20M.

为奇数

【变式5-3](2024・福建厦门•模拟预测)已知S“为等差数列{a.}的前〃项和,L匕〃为偶数

d=32,S5=20.

(1)求{4}的通项公式;

(2)记7;为数列也}的前八项和,若2&-S2“>0,求w的最小值.

[22〃,几为奇数

【变式5-4]已知数列也“}满足6=1,a,用=](2+1”“,"为偶数''为参数且

(1)求4、的的值(用几表示),并探究是否存在4使得数列{。“}成等比数列,若存在,求几的值,无需证

明.

(2)当4=2时,求{叫的前2〃项和邑“;试给出何}前〃项和S,表达式.

题型六:等差数列与等比数列的综合应用

【典例6-1】(2024•四川宜宾•模拟预测)已知数列{?}是公差不为0的等差数列,q=1,且满足电,。3,七

成等比数列,则数列{%}前6项的和为.

【典例6-2】(2024・陕西西安・模拟预测)已知数列{为}为各项均不相等的等比数列,其前”项和为S“,且

3%,2%,%成等差数列,则邑=.

〃4

【方法技巧】

(1)等差数列与等比数列的相互转化:等差数列通过指数运算转化为正项等比数列,正项等比数列

通过对数运算转化为等差数列.

(2)等差数列和等比数列的交汇,若一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列为非零常数数

列.

【变式6-1](2024.湖北荆州.三模)若实数0,尤,%6成等差数列,一/八仁一:成等比数列,则三三=—.

28b

【变式6-2](2024.浙江杭州.三模)已知公差为正数的等差数列{4}的前〃项和为S“,{〃,}是等比数列,

且52=-2他+如2,S6=6(bl+b2)(b5+b6),则⑸}的最小项是第一项.

【变式6-3】记S“为公差不为0的等差数列{。"}的前”项和,已知邑=-30,且%,%,的成等比数列,

则S”的最小值为.

【变式6-4](2024•陕西安康・三模)已知方程(炉-皿+27)卜2一m+27)=。的四个根组成以1为首项的等

比数列,则()

A.8B.12C.16D.20

题型七:等比数列的范围与最值问题

【典例7-1](多选题)设等比数列{%}的公比为9,其前"项和为s",前”项积为r“,若4>1,0<q<l,

且(%)23一1)•他024一1)<0,则下列结论正确的是()

A.$2024-$2023>°B.02023“2025<1

C.数列{1}中的最大值是7M23D.数列{7;}无最大值

【典例7-2](多选题)(2024•湖北•二模)无穷等比数列{4,}的首项为%公比为4,下列条件能使{4}既有

最大值,又有最小值的有()

A.q〉0,0<qvlB.4〉。,-IvqvO

C.%<0,q=-1D.%<0,q<—1

【方法技巧】

等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时,首先需要明确等比数列的

定义和性质,包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题,通常通过不等式求解,利用等比数列的性

质确定数列项的取值范围。对于最值问题,则需分析数列的单调性,结合数列项的性质,求出数列的最大

项或最小项。

【变式7-11(多选题)(2024•全国•模拟预测)已知正项等比数列也“}的前〃项的积为,,且公比4*1,若

对于任意正整数〃,Tn>T2023,则()

A.0<«1<1B.0<<?<1c.%023=lD.看04721

【变式7-21(多选题)设等比数列{4}的公比为q,其前"项和为S",前”项积为且满足条件4>1,

a2022a2023>1,(4022一。(%)23-1)<°,则下列选项正确的是()

A.0<4<1B.52022>$2023—1

C.^2023是数列{1}中的最大项D.岂叫<1

【变式7-3](多选题)已知等比数列{。〃}满足4>0,公比4>1,且…。2021<1,4的…。2022>1,贝I

()

A.a2022>1B.当〃=2021时,〃最小

C.当〃=1011时,”最小D.存在〃<1011,使得4A+1=%+2

【变式7-4](多选题)设等比数列{g}的公比为其前〃项和为臬,前"项积为且4>1,a6a7>1,

幺二1<0,则下列结论正确的是()

出一1

A.0<^<1B.0<a7a8<1

c.s”的最大值为S7D.,的最大值为”

【变式7-5](多选题)(2024•福建三明.三模)设等比数列{g}的前〃项和为S“,前〃项积为】,若满足

0<«1<1,%。040>1,(。2023一1)(%024-1)<°,则下列选项正确的是()

A.{?}为递减数列B.$2023+1<$2024

C.当〃=2023时,,最小D.当7;>1时,〃的最小值为4047

题型八:等比数列的实际应用

【典例8-1】(2024•安徽合肥・三模)某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万

元,按照复利计算8年后他能得到的本利和约为()(单位:万元,结果保留一位小数)

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【典例8-2](2024•天津红桥•二模)某同学于2019年元旦在银行存款1万元,定期储蓄年利率为1.75%,

以后按约定自动转存,那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为()

A.10000xl.01756B.10000xl.01757

C10000(1-1.75%6)口10000(1-1.75%7)

1-1.75%-1-1.75%

【方法技巧】

等比数列在实际应用中广泛存在,其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的

应用。例如,在金融领域,等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题;在物理学中,等比数列可

以用来描述某些放射性物质的衰变过程;在生物学中,它也可以用于描述种群数量的增长等。因此,掌握

等比数列的应用具有实际意义。

7T

【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中,B=~,AB=a,以A8为斜边作等腰直角三角形ABd,再以

4片为斜边作等腰直角三角形4与与,依次类推,记AASC的面积为,,依次所得三角形的面积分别为色,

院……若工+S?+…+Sg=25W5,则。=()

A.2B.20C.3D.4

【变式8-2】如图,雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中

间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三

角形(图①)的边长为1,把图①,图②,图③,图④中图形的周长依次记为C-C2,J,C4,则C,=

©②③④

【变式8-3](2024•云南昆明•模拟预测)每年6月到9月,昆明大观公园的荷花陆续开放,已知池塘内某

种单瓣荷花的花期为3天(第四天完全凋谢),池塘内共有2000个花蕾,第一天有10个花蕾开花,之后每

天花蕾开放的数量都是前一天的2倍,则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大()

A.6B.7C.8D.9

【变式8-4](2024.云南昆明.一模)第七届国际数学大会(ICNE7)的会徽图案是由若干三角形组成的.如

图所示,作RtZXAOB,OA=1,N4O5=30。,再依次作相似三角形ABOC,△COD,△DOE,……,直至

最后一个三角形的斜边O河与。4第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为()

题型九:公共项与插项问题

【典例9-1]将数列{2"}与{3〃-2}的公共项由小到大排列得到数列{?},则数列{g}的前n项的和为.

【典例9-21已知数列{叫满足q=2”,在凡和4+1之间插入”个1,构成数列{〃,}:%」,生」」,外,1,1」,

则数列也}的前20项的和为.

【方法技巧】

公共项与插项问题是数列研究中的重要内容,具有广泛的应用背景。

公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系,需要利用

数列的通项公式和性质进行求解。例如,两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列,其公差是两

原数列公差的最小公倍数。

插项问题则是在数列的特定位置插入新的项,以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项

对数列性质的影响,如数列的单调性、最值等。在实际应用中,插项问题可用于数列的扩展、数列模型的

修正等方面。

综上所述,公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题,对于深入理解数列的性质和应用具

有重要意义。

【变式9-1]已知数列{。“}满足。,=2”,在。“和之间插入”个1,构成新的数列也},则数列{〃}的前

20项的和为.

【变式9-2]已知各项均为正数的数列{%}中,卬=1且满足氏+;一片=24,+2〃用,数列也}的前〃项和为

S",满足2s“+1=36,.

⑴求数列{%},凡}的通项公式;

(2)若在4与%之间依次插入数列也,}中的%项构成新数列{(:”}:”,%,b2,a2,a3,b3,%,外,a6,

“,……,求数列{q,}中前50项的和q.

【变式9-3](2024•甘肃张掖・模拟预测)定义:在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成

新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如:数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数

列1,3,2,5,3;第二次,和扩充”后得到数列1,4,3,527,5,8,3.设数列a,b,c经过”次"和扩充”后得到的数列的

项数为2,所有项的和为s”.

⑴若a=2,b=3,c=4,求鸟同;

⑵求不等式522024的解集;

⑶是否存在数列〃,瓦"CER),使得数列{,}为等比数列?请说明理由.

【变式外4](2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知数列{4}的前〃项积为<=3T,数列{以}满足4=1,

A.14B.12C.6D.3

4.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)记S“为等比数列{%}的前〃项和.若S?=4,S4=6,贝”6=

()

A.7B.8C.9D.10

5.(2024年上海秋季高考数学真题)无穷等比数列{%}满足首项q记

A.=卜-y|无,>e[q,g]口[为,%+1]},若对任意正整数n集合/,是闭区间,则9的取值范围是

㈤5

ii_告"

(、33g

1.已知数列{4}的首项4=不,且满足。“+1=二片

:”为等比数列.

(1)求证:数列

1111…

(2)若一+—+—+•••+—<1。。,求满足条件的最大整数a.

2.已知{%}是一个无穷等比数列,公比为q.

(1)将数列{4}中的前上项去掉,剩余项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项

与公比分别是多少?

(2)取出数列{%}中的所有奇数项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与

公比分别是多少?

(3)在数列{4}中,每隔10项取出一项,组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公

比是多少?你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗?

3.已知数列{4}为等差数列,4=1,%=2e+1,前〃项和为S“,数列也}满足用=§,

求证:

(1)数列也}为等差数列;

(2)数列{4}中的任意三项均不能构成等比数列.

4.已知数列{4}为等比数列,4=1024,公比q=若/是数列{。“}的前〃项积,求/的最大值.

㈤6

//易错分析-答题模板\\

易错点:不能灵活运用等比数列的性质

易错分析:解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质,以及前n项和的性质,正确运用学过的知

识,进行合理计算即可.

【易错题1】在各项均为正数的等比数列{。“}中,④阳=16,则10g2a+bg2%3=.

【易错题2]等比数列{%}中,%=4,&=16,则%=

第03讲等比数列及其前〃项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1:等比数列的有关概念....................................................4

知识点2:等比数列的有关公式....................................................4

知识点3:等比数列的性质........................................................5

解题方法总结...................................................................5

题型一:等比数列的基本运算.....................................................6

题型二:等比数列的判定与证明...................................................7

题型三:等比数列项的性质应用...................................................9

题型四:等比数列前n项和的性质................................................10

题型五:奇偶项求和问题的讨论..................................................10

题型六:等差数列与等比数列的综合应用..........................................12

题型七:等比数列的范围与最值问题..............................................13

题型八:等比数列的实际应用....................................................14

题型九:公共项与插项问题......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................36

05课本典例高考素材............................................................17

06易错分析•答题模板............................................................18

易错点:不能灵活运用等比数列的性质............................................18

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定,考查内

2023年甲卷(理)第5题,5分

念容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)

2023年II卷第8题,5分

(2)等比数列的通项公选择题、填空题多单独考查基本量的计算;(2)

2023年乙卷(理)第15题,5

式与求和公式解答题多与等差数列结合考查,或结合实际问题

(3)等比数列的性质或其他知识考查.

复习目标:

(1)理解等比数列的概念.

(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

(3)了解等比数列与指数函数的关系.

考点突破■题型探究

--------------[HHHJT,

知识

知识点1:等比数列的有关概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母《表示,定义的表达式为

4

(2)等比中项:如果G,b成等比数列,那么G叫做"与分的等比中项.

即G是a与}的等比中项Qa,G,b成等比数列今&=环.

【诊断自测】某景点上山共有999级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步上一个台阶,也可以一步

上两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为耳1,每步上两个台阶的概率为2:,为了简便描述问题,我们约

定,甲从0级台阶开始向上走,一步走一个台阶记1分,一步走两个台阶记2分,记甲登上第〃个台阶的

概率为2,其中weN*,且"V998.证明:数列{月4-舄是等比数列.

【解析】证明:由题可得6=|+冉=彳,

12

则P〃+2=§2+1+§匕,几£N*,

匕+2一匕+1=一((匕+|-匕),

174

由于《=§,2=§,・・・£_《=§工。,

p_p2

故心「尸产。,则营寸=一§

;•数歹U{r4+1-只、}是以巳4为首项,-12■为公比的等比数歹!J.

知识点2:等比数列的有关公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列{凡}的首项为名,公比为q(qwO),则它的通项公式a=“"力=cq"(c=幺)@应N0).

q

推广形式4”一“

(2)等比数列的前"项和公式

nax(q=1)

等比数列{%}的公比为,(4wO),其前〃项和为S"=<〃(l—q〃)a-aq

Ii--q-=n—"q("D

注①等比数列的前〃项和公式有两种形式,在求等比数列的前"项和时,首先要判断公比。是否为1,

再由q的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q是否为1时,要分q=l与gwl两种情况讨论求解.

②已知qM(gwl),”(项数),则利用§=皿二©求解;已知q,4,冢4H1),则利用S“=幺二强求

1-q1-q

解.

③S“=皿二g=』0"+人=%0_左(左手。,4力1),S"为关于力的指数型函数,且系数与常数互

1—q-qq

为相反数.

【诊断自测】若数列{■是公比为q的等比数列,且Iog2%+log2%3=3,/4()=4,则夕的值为()

A.2B.4C.+2D.±4

【答案】A

【解析】数列{4}中,由log2a4+log2%3=3,知%>°,则

又log2aM3=3,于是%%3=23=8,而q%=4%()=4,

故选:A

知识点3:等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若m+〃=p+q时,则4“%=%与,特别地,当根+〃=2p时,aman=ap.

(2)①设{%}为等比数列,则{4q}(4为非零常数),{同},{唠}仍为等比数歹人

②设{4}与{b„}为等比数

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