2025年新高考数学一轮复习：等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）（学生版+解析）

第03讲等比数列及其前n项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：等比数列的有关概念....................................................4

知识点2：等比数列的有关公式....................................................4

知识点3:等比数列的性质........................................................5

解题方法总结...................................................................5

题型一：等比数列的基本运算.....................................................6

题型二：等比数列的判定与证明...................................................7

题型三：等比数列项的性质应用...................................................9

题型四：等比数列前n项和的性质................................................10

题型五：奇偶项求和问题的讨论..................................................10

题型六：等差数列与等比数列的综合应用..........................................12

题型七：等比数列的范围与最值问题..............................................13

题型八：等比数列的实际应用....................................................14

题型九：公共项与插项问题......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................36

05课本典例•高考素材............................................................17

06易错分析•答题模板............................................................18

易错点：不能灵活运用等比数列的性质............................................18

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

（1）等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定，考查内

念2023年甲卷（理）第5题，5分容、频率、题型、难度均变化不大.重点是（1）

（2）等比数列的通项公2023年H卷第8题，5分选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）

式与求和公式2023年乙卷（理）第15题，5分解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题

（3）等比数列的性质或其他知识考查.

复习目标：

（1）理解等比数列的概念.

（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

（3）了解等比数列与指数函数的关系.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母0表示，定义的表达式为冬红.

a”

(2)等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与3的等比中项.

即G是a与｝的等比中项Qa,G,b成等比数列今G2=".

【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步

上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为1每步上两个台阶的概率为2;，为了简便描述问题，我们约

定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第W个台阶的

概率为月，其中weN*,且〃V998.证明：数列仍,.-4｝是等比数列.

知识点2：等比数列的有关公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列｛〃“｝的首项为％,公比为q(qwO),则它的通项公式a=a1q"-'=c-q'\c=—)(«[,q^=0)-

q

nm

推广形式：an=am-q-

(2)等比数列的前〃项和公式

na1(q=1)

等比数列｛4｝的公比为q(00),其前"项和为S“=，[(l-q")_q-a,/

Ii-qi-q

注①等比数列的前"项和公式有两种形式，在求等比数列的前〃项和时，首先要判断公比g是否为1,

再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比。是否为1时，要分q=l与《片1两种情况讨论求解.

②已知(项数)，则利用s=%(1一＞)求解;己知生,%，4(qNl),则利用s“=幺二强求

1-q1-q

解.

③S,=皿二£2=二二.4，，+，」=的”_左（左/0,4片1）,S“为关于4〃的指数型函数，且系数与常数

1_q-q-q

互为相反数.

【诊断自测】若数列｛%｝是公比为。的等比数列，且Iog2%+log2%3=3,4％。=4,则q的值为（）

A.2B.4C.+2D.+4

知识点3：等比数列的性质

（1）等比中项的推广.

若加+〃=p+q时,则册4=4%,特别地，当根+〃=2p时，aman=ap.

（2）①设｛4｝为等比数列,则｛44｝（4为非零常数），｛㈤｝,｛成｝仍为等比数列.

②设｛凡｝与｛b“｝为等比数列，则｛qb“｝也为等比数列.

（3）等比数列｛%｝的单调性（等比数列的单调性由首项.与公比《决定）.

当「fa>>10或［fao,<<"0i时,&｝为递增数列;

\a.>0<0

当或时，&｝为递减数列•

（4）其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛%｝,公比为q,前”项和为邑,则:

①等间距抽取

%，ap+t，"p+2”…"p+5-i"，…为等比数列，公比为

②等长度截取

黑，邑”-黑，53“-邑”，…为等比数列，公比为〃（当4=-1时，%不为偶数）.

【诊断自测】在正项等比数列｛%｝中，％,即是3/-6x+l=O的两个根，则一+—+—=

解题方法总结

(1)右m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kRN"),则'4?一—"4.

（2）若｛%｝,｛么｝（项数相同）是等比数列，则｛加1”｝（；1*0）,｛」｝,｛“；｝,｛4也｝,｛"｝仍是等

anb„

比数列.

（3）在等比数列｛%｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即%,an+k,an+2k,4+3%…为

等比数列，公比为十.

（4）公比不为一1的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，则S/S2„-S„,邑“-工，仍成等比数列，其公

比为q".

（5）｛q｝为等比数列，若则？；，曳，…成等比数列.

T"

（6）当qwO,qwl时，S=左一左q"（左大0）是｛4,｝成等比数列的充要条件，此时左=’!一.

i-q

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地，若项数为奇数时，还等于中间

项的平方.

（8）若｛%｝为正项等比数列，贝|｛1。&%｝9>0,［；工1）为等差数列.

（9）若｛%｝为等差数列，则｛L｝（c>O,c*l）为等比数列.

（10）若｛a,｝既是等差数列又是等比数列o｛«„）是非零常数列.

题型洞察

题型一：等比数列的基本运算

【典例1-1】（2024•广东深圳•模拟预测）已知等比数列｛4｝公比为前”项和为S“，且满足4=84，则

下列说法正确的是（）

2$61

A.S3-S9=S6B.—=-

D3V

c.4=；D.Sn=2an-at

【典例1-2］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知正项等比数列｛4｝的前三项和为28且%=4,则线=

（）

A.-B.-C.—D.—

24816

【方法技巧】

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量4,n,q,an,

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

（2）等比数列的前”项和公式涉及对公比q的分类讨论：

当4=1时，Sn=na,;当4片1时，.=4（1-♦"）=%一%4

1—q1一“

【变式1-1］（2024.山东泰安・模拟预测）已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，且3q+9%=2,

94=axa5，贝|（）

【变式1-2］（2024・高三・广西•开学考试）已知等比数列｛%｝的前三项和为13,%-6%+9%=0,则4=

（）

A.81B.243C.27D.729

【变式1・3】（2024.陕西安康.模拟预测）已知在正项等比数列⑷中，%%=16,且/J。弓成等差数列，

则/+%+%=（）

A.157B.156C.74D.73

【变式1-4］（2024•陕西渭南・二模）己知等比数列｛4｝的前〃项和为S“,q+%=30,'=120,则其公比4=

（）

A.1B.2C.3D.-3

题型二：等比数列的判定与证明

【典例2-1】（2024.河南.三模）己知数列｛%｝的各项均不为0,其前,项和为S,,,4为不等于0的常数，且

S,=qS.T+q（〃22）.

（1）证明：｛%｝是等比数列；

⑵若S5，S“,S8成等差数列，则对于任意的正整数乙4+5，4+U，4+8是否成等差数列？若成等差数列，请

予以证明；若不成等差数列，请说明理由.

1（2|

【典例2-2］（2024・四川绵阳•模拟预测）已知数列｛%｝中，4=；,4+i=LJ（〃eN*）.证明：｛--1｝是等

32-%an

比数列;

【方法技巧】

等比数列的判定方法

若也=q（Q为非零常数，〃eN*或反刃（Q为非零常数且此2,）,则

aa

定义法n„-l

｛%｝是等比数列

中项公式法若数列｛”,｝中，°,尸。且％包2=%.%+2（〃€%*）,则｛%｝是等比数列

若数列｛““｝的通项公式可写成q=cq"T（Gq均为非零常数，〃eN*）,则｛%｝是等

通项公式法

比数列

前几项和公式法若数列｛%｝的前“项和S“=k4”-（女为非零常数，qw0,l）,则｛%｝是等比数列

an-3,〃为奇数,

【变式2-1］（2024•河北石家庄•二模）已知数列｛4｝满足4=7,%M

2an,及为偶数.

（1）写出%，%，%；

⑵证明:数列K-J-6）为等比数列；

【变式2-2］（2024•青海海南・一模）记等差数列｛q,｝的前〃项和为S",｛〃,｝是正项等比数列，且

%=4=2,Si。=11%，4-万2=〃2.

⑴求｛4｝和｛〃｝的通项公式；

⑵证明是等比数列.

【变式2-3］已知数列何｝和也｝满足4=1,仿=。，而―,46用=36,-%-4.证明:｛an+bn｝

是等比数列，｛4-2｝是等差数列.

【变式2-4】已知点4(1,2),4(2,3),设凡(见,妇(“eN*),当*3时，线段4.2%的中点为纥，纥关

于直线y=x的对称点为4.例如，鸟为线段44的中点，则用4、，，.设1=%+|+2+「。“-4,

证明：｛&｝是等比数列.

【变式2-5](2024•全国•模拟预测)已知数列｛。〃｝满足4=l,a“+a“M=8-3"T.

证明：32GR,使得数歹U｛%+〃3"｝成等比数列；

题型三：等比数列项的性质应用

【典例3-1】(2024•浙江金华.模拟预测)已知数列｛?｝是等差数列，数列｛〃｝是等比数列，若

a2+a4+a6=5n,b2b4b6=3A/3,则3j.

【典例3-2】(2024.高三•内蒙古锡林郭勒盟•开学考试)已知数列｛。.｝为正项等比数列，若

11111,

/+/+4+=2，1----1---1---1---=l1oO,贝！J.

【方法技巧】

(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若

m+n=p+q=2k,则图-g=与•4=。/.”，可以减少运算量，提高解题速度.

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.止匕外，解题时

注意设而不求思想的运用.

【变式3-1］在各项均为正数的等比数列｛。,,｝中，％&=8,则log2a4+1吗%=.

【变式3-2］若等比数列｛?｝满足。4•a6+2a5•%+4•%=36,贝"%+%等于___.

【变式3-3］已知等比数列｛4｝的各项均为正数，且a4a6+4%=18,则%=,

log3ax+log3%+log3a3H—+log3a9=.

【变式3-4］（2024•陕西•模拟预测）等比数列｛%｝满足：4>0,4>0,%。3%%。9=32,贝！］%+%的最小值

为.

题型四：等比数列前n项和的性质

【典例4-1】记S,,为等比数列｛%｝的前〃项和，若$4=-5,臬=21邑，贝!］$=—.

【典例4-2】设等比数歹（］｛4｝的前”项和是S”.已知S3=30,S6=120,贝|率=.

>3

【方法技巧】

（1）等比数列｛4｝中，所有奇数项之和％与所有偶数项之和s1s具有的性质，设公比为好

①若共有2九项，贝="②若共有2〃+1项，/立=7

s奇“

（2）等比数列｛4｝中,S*表示它的前人项和.当#-1时,有a，S“一SiS3*—S?……也成等比数歹！J，

公比为

【变式4-1］已知正项等比数列｛%｝共有2〃项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比4=—.

【变式4-2］已知等比数歹!］｛%｝的前〃项和S“=ax3"-2,贝lja=—.

S1S

【变式4-3］（2024.高三.江苏苏州.期末）设S”是等比数列0｝的前几项和，若J=则。，=—.

,10J^20十^10

【变式4-4］数列｛4｝是等差数列，数列也｝是等比数列，公比为q,数列｛。“｝中，c,=anbn,臬是数列

出,｝的前"项和.若鼠=11,S2m=l,S3m=-201（相为正偶数），贝US,,,,的值为一.

题型五：奇偶项求和问题的讨论

【典例5-1】（2024・高三・四川成都•期中）数列｛%｝满足：al=a2=l,a2n+l-a2„_l=2,^=2,数列｛%｝的

a2fl

前〃项和记为S〃，则$23=

【典例5-2】(2024•河南•模拟预测)已知数列｛为｝满足用"寸是偶数‘，S"是数列｛%｝的前w项和,

4+2,a“是奇数，

若已知%=64,那么$2。的值为()

A.322B.295C.293D.270

【方法技巧】

求解等比数列的前〃项和S",要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数月的值;

对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从〃为奇数、偶数进行分类.

【变式5-1]已知数列｛%｝满足%包=[2""；"彳喘，若3＜佝＜15,则%的取值范围是()

[%+1,〃为偶数

31「3一

A.[-1,0]B.--,0C.0,—D.[0,1]

44

【变式5-2](2024・高三.河北唐山・期末)记S”为数列｛%｝的前〃项和，当“22时,

+1,"为奇数

且$3=1.

2%T，W为偶数.

(1)求生,利；

(2)(i)当〃为偶数时，求｛叫的通项公式;

(ii)求S20M.

为奇数

【变式5-3](2024・福建厦门•模拟预测)已知S“为等差数列｛a.｝的前〃项和,L匕〃为偶数

d=32,S5=20.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)记7；为数列也｝的前八项和，若2&-S2“＞0,求w的最小值.

[22〃,几为奇数

【变式5-4]已知数列也“｝满足6=1,a,用=](2+1”“,"为偶数''为参数且

(1)求4、的的值(用几表示)，并探究是否存在4使得数列｛。“｝成等比数列，若存在，求几的值，无需证

明.

(2)当4=2时，求｛叫的前2〃项和邑“；试给出何｝前〃项和S,表达式.

题型六：等差数列与等比数列的综合应用

【典例6-1】(2024•四川宜宾•模拟预测)已知数列｛?｝是公差不为0的等差数列，q=1,且满足电,。3，七

成等比数列，则数列｛%｝前6项的和为.

【典例6-2】(2024・陕西西安・模拟预测)已知数列｛为｝为各项均不相等的等比数列，其前”项和为S“，且

3%,2%,%成等差数列，则邑=.

〃4

【方法技巧】

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列

通过对数运算转化为等差数列.

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数

列.

【变式6-1](2024.湖北荆州.三模)若实数0,尤,％6成等差数列，一/八仁一:成等比数列，则三三=—.

28b

【变式6-2](2024.浙江杭州.三模)已知公差为正数的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，｛〃,｝是等比数列，

且52=-2他+如2,S6=6(bl+b2)(b5+b6),则⑸｝的最小项是第一项.

【变式6-3】记S“为公差不为0的等差数列｛。"｝的前”项和，已知邑=-30,且%,%，的成等比数列，

则S”的最小值为.

【变式6-4](2024•陕西安康・三模)已知方程(炉-皿+27)卜2一m+27)=。的四个根组成以1为首项的等

比数列，则()

A.8B.12C.16D.20

题型七：等比数列的范围与最值问题

【典例7-1］（多选题）设等比数列｛%｝的公比为9,其前"项和为s"，前”项积为r“，若4>1,0<q<l,

且（%）23一1）•他024一1）<0,则下列结论正确的是（）

A.$2024-$2023>°B.02023“2025<1

C.数列｛1｝中的最大值是7M23D.数列｛7；｝无最大值

【典例7-2］（多选题）（2024•湖北•二模）无穷等比数列｛4,｝的首项为％公比为4,下列条件能使｛4｝既有

最大值，又有最小值的有（）

A.q〉0,0<qvlB.4〉。，-IvqvO

C.%<0,q=-1D.%<0,q<—1

【方法技巧】

等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的

定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性

质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大

项或最小项。

【变式7-11（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知正项等比数列也“｝的前〃项的积为，，且公比4*1,若

对于任意正整数〃，Tn>T2023,则（）

A.0<«1<1B.0<<?<1c.%023=lD.看04721

【变式7-21（多选题）设等比数列｛4｝的公比为q,其前"项和为S"，前”项积为且满足条件4>1,

a2022a2023>1，（4022一。（%）23-1）<°，则下列选项正确的是（）

A.0<4<1B.52022>$2023—1

C.^2023是数列｛1｝中的最大项D.岂叫<1

【变式7-3］（多选题）已知等比数列｛。〃｝满足4>0,公比4>1,且…。2021<1，4的…。2022>1，贝I

（）

A.a2022>1B.当〃=2021时，〃最小

C.当〃=1011时，”最小D.存在〃<1011,使得4A+1=%+2

【变式7-4］（多选题）设等比数列｛g｝的公比为其前〃项和为臬，前"项积为且4>1,a6a7>1，

幺二1<0,则下列结论正确的是（）

出一1

A.0<^<1B.0<a7a8<1

c.s”的最大值为S7D.，的最大值为”

【变式7-5]（多选题）（2024•福建三明.三模）设等比数列｛g｝的前〃项和为S“，前〃项积为】，若满足

0<«1<1,%。040>1，（。2023一1）（%024-1）<°，则下列选项正确的是（）

A.｛?｝为递减数列B.$2023+1<$2024

C.当〃=2023时，，最小D.当7；>1时，〃的最小值为4047

题型八：等比数列的实际应用

【典例8-1】（2024•安徽合肥・三模）某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万

元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【典例8-2]（2024•天津红桥•二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%,

以后按约定自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（）

A.10000xl.01756B.10000xl.01757

C10000（1-1.75%6）口10000（1-1.75%7）

1-1.75%-1-1.75%

【方法技巧】

等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的

应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可

以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握

等比数列的应用具有实际意义。

7T

【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中，B=~,AB=a,以A8为斜边作等腰直角三角形ABd，再以

4片为斜边作等腰直角三角形4与与，依次类推，记AASC的面积为，，依次所得三角形的面积分别为色,

院……若工+S?+…+Sg=25W5，则。=（）

A.2B.20C.3D.4

【变式8-2】如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中

间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三

角形（图①）的边长为1,把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C-C2,J,C4,则C,=

©②③④

【变式8-3］（2024•云南昆明•模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某

种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每

天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（）

A.6B.7C.8D.9

【变式8-4］（2024.云南昆明.一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如

图所示，作RtZXAOB,OA=1,N4O5=30。，再依次作相似三角形ABOC,△COD,△DOE,……，直至

最后一个三角形的斜边O河与。4第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）

题型九：公共项与插项问题

【典例9-1］将数列｛2"｝与｛3〃-2｝的公共项由小到大排列得到数列｛?｝,则数列｛g｝的前n项的和为.

【典例9-21已知数列｛叫满足q=2”,在凡和4+1之间插入”个1,构成数列｛〃,｝：%」,生」」,外,1,1」,

则数列也｝的前20项的和为.

【方法技巧】

公共项与插项问题是数列研究中的重要内容，具有广泛的应用背景。

公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用

数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两

原数列公差的最小公倍数。

插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项

对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的

修正等方面。

综上所述，公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题，对于深入理解数列的性质和应用具

有重要意义。

【变式9-1]已知数列｛。“｝满足。,=2”，在。“和之间插入”个1,构成新的数列也｝,则数列｛〃｝的前

20项的和为.

【变式9-2]已知各项均为正数的数列｛%｝中，卬=1且满足氏+；一片=24,+2〃用，数列也｝的前〃项和为

S",满足2s“+1=36,.

⑴求数列｛%｝,凡｝的通项公式；

(2)若在4与%之间依次插入数列也,｝中的％项构成新数列｛(:”｝：”,%,b2,a2,a3,b3,%,外,a6,

“，……，求数列｛q,｝中前50项的和q.

【变式9-3](2024•甘肃张掖・模拟预测)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成

新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数

列1,3,2,5,3；第二次，和扩充”后得到数列1,4,3,527,5,8,3.设数列a,b,c经过”次"和扩充”后得到的数列的

项数为2,所有项的和为s”.

⑴若a=2,b=3,c=4,求鸟同；

⑵求不等式522024的解集；

⑶是否存在数列〃，瓦"CER),使得数列｛，｝为等比数列？请说明理由.

【变式外4](2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项积为＜=3T，数列｛以｝满足4=1，

A.14B.12C.6D.3

4.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记S“为等比数列｛%｝的前〃项和.若S?=4,S4=6,贝”6=

（）

A.7B.8C.9D.10

5.（2024年上海秋季高考数学真题）无穷等比数列｛%｝满足首项q记

A.=卜-y|无，>e[q,g]口[为,%+1]｝,若对任意正整数n集合/,是闭区间，则9的取值范围是

㈤5

ii_告"

（、33g

1.已知数列｛4｝的首项4=不，且满足。“+1=二片

:”为等比数列.

（1）求证：数列

1111…

（2）若一+—+—+•••+—<1。。，求满足条件的最大整数a.

2.已知｛%｝是一个无穷等比数列，公比为q.

（1）将数列｛4｝中的前上项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项

与公比分别是多少？

（2）取出数列｛%｝中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与

公比分别是多少？

（3）在数列｛4｝中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公

比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？

3.已知数列｛4｝为等差数列，4=1,%=2e+1,前〃项和为S“，数列也｝满足用=§,

求证：

(1)数列也｝为等差数列；

(2)数列｛4｝中的任意三项均不能构成等比数列.

4.已知数列｛4｝为等比数列，4=1024,公比q=若/是数列｛。“｝的前〃项积，求/的最大值.

㈤6

//易错分析-答题模板\\

易错点：不能灵活运用等比数列的性质

易错分析：解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质，以及前n项和的性质，正确运用学过的知

识，进行合理计算即可.

【易错题1】在各项均为正数的等比数列｛。“｝中，④阳=16,则10g2a+bg2%3=.

【易错题2］等比数列｛%｝中，%=4,&=16,则%=

第03讲等比数列及其前〃项和

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：等比数列的有关概念....................................................4

知识点2：等比数列的有关公式....................................................4

知识点3:等比数列的性质........................................................5

解题方法总结...................................................................5

题型一：等比数列的基本运算.....................................................6

题型二：等比数列的判定与证明...................................................7

题型三：等比数列项的性质应用...................................................9

题型四：等比数列前n项和的性质................................................10

题型五：奇偶项求和问题的讨论..................................................10

题型六：等差数列与等比数列的综合应用..........................................12

题型七：等比数列的范围与最值问题..............................................13

题型八：等比数列的实际应用....................................................14

题型九：公共项与插项问题......................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................36

05课本典例高考素材............................................................17

06易错分析•答题模板............................................................18

易错点：不能灵活运用等比数列的性质............................................18

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)等比数列的有关概高考对等比数列的考查相对稳定，考查内

2023年甲卷(理)第5题，5分

念容、频率、题型、难度均变化不大.重点是(1)

2023年II卷第8题，5分

(2)等比数列的通项公选择题、填空题多单独考查基本量的计算；(2)

2023年乙卷(理)第15题，5

式与求和公式解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题

分

(3)等比数列的性质或其他知识考查.

复习目标：

(1)理解等比数列的概念.

(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

(3)了解等比数列与指数函数的关系.

考点突破■题型探究

--------------[HHHJT,

知识

知识点1:等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母《表示，定义的表达式为

4

(2)等比中项：如果G,b成等比数列，那么G叫做"与分的等比中项.

即G是a与｝的等比中项Qa,G,b成等比数列今&=环.

【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步

上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为耳1，每步上两个台阶的概率为2:，为了简便描述问题，我们约

定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第〃个台阶的

概率为2，其中weN*,且"V998.证明：数列｛月4-舄是等比数列.

【解析】证明：由题可得6=|+冉=彳,

12

则P〃+2=§2+1+§匕,几£N*,

匕+2一匕+1=一((匕+|-匕)，

174

由于《=§，2=§，・・・£_《=§工。，

p_p2

故心「尸产。,则营寸=一§

；•数歹U｛r4+1-只、｝是以巳4为首项，-12■为公比的等比数歹！J.

知识点2：等比数列的有关公式

(1)等比数列的通项公式

设等比数列｛凡｝的首项为名,公比为q(qwO),则它的通项公式a=“"力=cq"(c=幺)@应N0).

q

推广形式4”一“

(2)等比数列的前"项和公式

nax(q=1)

等比数列｛%｝的公比为,(4wO),其前〃项和为S"=<〃(l—q〃)a-aq

Ii--q-=n—"q("D

注①等比数列的前〃项和公式有两种形式，在求等比数列的前"项和时，首先要判断公比。是否为1,

再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=l与gwl两种情况讨论求解.

②已知qM(gwl),”(项数)，则利用§=皿二©求解；已知q,4,冢4H1),则利用S“=幺二强求

1-q1-q

解.

③S“=皿二g=』0"+人=%0_左(左手。，4力1)，S"为关于力的指数型函数，且系数与常数互

1—q-qq

为相反数.

【诊断自测】若数列｛■是公比为q的等比数列，且Iog2%+log2%3=3,/4()=4,则夕的值为()

A.2B.4C.+2D.±4

【答案】A

【解析】数列｛4｝中，由log2a4+log2%3=3,知%>°，则

又log2aM3=3,于是%%3=23=8,而q%=4%()=4,

故选：A

知识点3：等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若m+〃=p+q时,则4“%=%与，特别地，当根+〃=2p时，aman=ap.

(2)①设｛%｝为等比数列，则｛4q｝(4为非零常数)，｛同｝,｛唠｝仍为等比数歹人

②设｛4｝与｛b„｝为等比数