2025年中考数学总复习 菱形 学案（含答案）

微专题26菱形

考点精讲

构建知识体系

rdZ)

一边

一角

■（性质］—

-对角线

［平行四边形卜特殊化

菱形-1对称性

-角

■（判定）一

J对角线

4®^

考点梳理

1.菱形的性质与判定（6年3考）

⑴定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质

边对边平行，四条边①

角对角②

对角对角线互相③,并且每一条对角线④

线组对角（人教独有）

既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤条对称轴,

对称

对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线

性

的交点

⑶菱形的判定

一、①_⑥的平行四边形是菱形（定义）;

边

②⑦相等的四边形是菱形

对角

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

线

二组邻边相等

/平行四边形尸

对角线互相垂直

四条边都相等

2.菱形面积

面积计算公式：S=a/z=詈(a表示一条边长，"表示此边上的高，m,〃表示对角

线的长).

练考点

1.如图，在菱形A5CZ)中，ZABC=60°,对角线AC与瓦)交于点O,E为BC

的中点，连接OE,已知OE=1.

AD

BEC

第1题图

(1)ZABD=°,ZBAD=°；

(2)菱形ABCD的周长为；

(3)ABOE的形状为；

(4)AC=,BD=；

(5)菱形ABCD的面积为.

2.如图，四边形45CD的对角线AC,BD交于点O,且互相平分，添加下列条

件，仍不能判定四边形A5CD为菱形的是()

第2题图

A.BC=CD

B.AB=AC

C.AC±BD

D.ZABD=ZCBD

高频考点

考点1与菱形有关的证明及计算(6年3考)

例如图①，在矩形A5co中，E,尸分别是线段A。，边上的点，EF与BD

相交于点0,且EFLBD,连接5E,DF,BE=DF.

例题图①

(1)求证：四边形BEDF为菱形;

(2)核心设问若NABE=30°,且四边形5ED尸的面积为4g,求四边形尸

的周长；［2022广东13题考查］

(3)若NAD5=30°,EF=2,求的长;

(4)若AD=6,AB=4,求七的值.

(5)如图②，连接0C,若A5=4,BF=5,求tanNOCB的值.

例题图②

真题及变式

命题点与菱形性质有关的计算（6年3考）

1.（2022广东13题3分）菱形的边长为5,则它的周长为.

2.（2024广东15题3分）如图，菱形的面积为24,点E是A5的中点，点

尸是5C上的动点.若ABE尸的面积为4,则图中阴影部分的面积为.

变式

2.1变图形——将菱形背景变为矩形

如图，矩形A5CD的面积为36,E,F,G分别为ABBC,CD的中点，H为AD

上任一点，则图中阴影部分的面积为

AHD

EG

RFC

变式2.1题图

3.（2017广东21题7分）如图所示，已知四边形A5CZ）,AOE/都是菱形，ZBAD

ZFAD,NBAZ)为锐角.

第3题图

（1）求证：AD±BF；

Q）若BF=BC,求NA。。的度数.

拓展训练

4.（2024辽宁）如图，在平面直角坐标系％Oy中，菱形A05C的顶点A在％轴负

半轴上，顶点5在直线丁=9上，若点5的横坐标是8,则点。的坐标为（）

4

C)B/

第4题图

A.(—1,6)

B.(-2,6)

C.(-3,6)

D.(-4,6)

新考法

5.［注重过程性］(2024重庆A卷)

在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，

过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条

对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根

据他们的想法与思路，完成以下存留和填冬

(1)如图，在矩形A5CD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作4。的垂

线，分别交ABCD于点E,F,连接ARCE(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)已知：矩形ABC。，点E,尸分别在ABCD上，E/经过对角线4。的中点O,

且EFLAC求证：四边形AEC尸是菱形.

证明：二•四边形A5CD是矩形，

：.AB//CD.

①,ZFCO=ZEAO.

二•点。是AC的中点，

△CFO^^AEO(AAS).

(3)

又•:04=0。，

•••四边形AECF是平行四边形.

'：EF±AC,

•••四边形AECF是菱形.

进一步思考，如果四边形ABCQ是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜

想的结论：④.

第5题图

考点精讲

①相等②相等③垂直平分④平分⑤2⑥邻边相等⑦四条边

教材改编题练考点

1.(1)30,120(2)8(3)等腰三角形(4)2,2旧(5)273

2.B

高频考点

例(1)证明：•••四边形A5CZ)是矩形，

ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,

4Tq(BE=DF,

在RtAABE和RtACDF中，

kAB=CD,

.,.RtAABE^RtACDF(HL),

：.AE=CF.

"：AD=BC,

：.DE=BF.

\'DE//BF,

：.四边形BEDF是平行四边形.

又•：EFLBD,

J四边形BEDF为菱形;

(2)解：VZABE=30°,

：.ZEBF=60°.

由(1)知四边形BEDF是菱形，

：.BE=BF,ZEBO=30°,

；.△BE尸为等边三角形，OB=WOE,即5。=旧石尸，

：.BE=EF,

,•*S四边形8皮)尸

：3BDEF=LxaEP=,

22

解得E尸=2近(负值已舍去)，

:.BE=BF=DE=DF=EF=2近,

：.四边形BEDF的周长=5石+5/+。石+。尸=8夜;

(3)解：•.•四边形BED厂是菱形，

：.DE=DF.

'：BD±EF,ZADB=30°,

：.ZEDF=2ZADB=60°,

.•.△DE尸是等边三角形，

：.DE=DF=EF=BF=2.

•.•四边形A5CD是矩形，

ZADC=ZC=90°,

：.ZCDF=30°,

1

在RtACDF中，CF=jDF=1,

：.AD=BC=BF+CF=2+1=3；

(4)解：•.•四边形5石。尸是菱形，

：.BF=DF.

"：AD=BC=6,

设。尸=%,则。尸=5/=BC—C尸=6一%.

二•四边形A5CD是矩形，

：.CD=AB=4,ZC=90°,

在R3CD尸中，由勾股定理得，尸=。尸，

即42+x2=(6—%)2,

解得％=|，

•••C尸的长为|,

：.DF=6-CF=—.

3

2

在R35C。中，由勾股定理，^DB=JBC2+CD=2y/13,

13____

•DF_y_V13

・・DB2^136'

(5)解：•.•四边形BE。尸为菱形，

：.BF=DF=5,BO=DO,

•••四边形A5CZ)为矩形，

:.NDCB=90°,

.,.在R35CD中，0为50中点，

1

0C=-BD=B0,

2

：.Z0BC=Z0CB.

又•••四边形A5CZ)为矩形，

ZBCD=90°,

"：CD=AB=4,

：.CF=JDF2~CD2=3,

.,.BC=3+5=8,

CD41

.,.tanZOCB=tanZOBC=—BC82

真题及变式

1.20【解析】•••菱形的四条边都相等，且边长为5,...菱形的周长为20.

2.10【解析】如解图①，连接5。，丁石是45的中点，.•.金AED=ABD=

24

菱形ABCD=6,连接EC,同理可得SABEC=SAAED=6,VSABEF=4,ASABEF=^SABEC，

：.FC=-BC,ADFC=；SABCD=：S菱形A8CQ=4,/.S阴影=S菱形ABCD—SAAED—SABEF

336

—5ADFC—24—6—4—4=10.

A

E

Fc.

第2题解图①

一题多解法

如解图②，延长DE,CB交于点G,,：四边形ABCD为菱形，，，ZGBE

=ZDAE,E是A3中点，BE=AE,'：/GEB=ZDEA,

：.△AED^△BEG(ASA),GE=DE,'­E为DG中点，.♦.SADEF—5AFGE=S&BEF

1

+5ABEG=4+SAAED=4+24Xi=10.

4

第2题解图②

变式2.118【解析】如解图，连接C",在矩形A5C。中，设AD=a,AB

=

人则短忖QGCBF^a,••S阴影=S长方形ABCD—5AAEH—SAHFC—SAHCG36—

illiii

-AEAH--FCAB--HDCG=36--ADAE--FCAB=36--ab=18.

222222

AHD