2025年新高考数学一轮复习：利用导数研究恒（能）成立问题（十一大题型）（学生版+解析）

重难点突破05利用导数研究恒（能）成立问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接法..................................................................3

题型二：端点恒成立..............................................................5

题型三：端点不成立..............................................................6

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离......................................7

题型五：洛必达法则..............................................................9

题型六：同构法与朗博同构.......................................................10

题型七：必要性探路”............................................................11

题型八：max,min函数问题.....................................................13

题型九：构造函数技巧...........................................................14

题型十：双变量最值问题.........................................................16

题型十一：恒成立问题求参数的具体值.............................................17

03过关测试....................................................................18

方法特眄与Q饯

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeZ),

(2)Vxe。，根加111ax；

(3)ire。，加</(x)1mx；

(4)3XED,m>f^x)om>f.

3,不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),x&\c,d].

(1)若％e[a,6],Vx2e[c,t/],有/(xJvgG)成立，则/(x).<g(x)1111n;

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(甬)<g(%)成立*则/(x)1mx<g(x)1mx；

(3)若玉!e[a,6],3x2&[c,d],有/&)<8(9)成立，贝(l/(x)1nhi<g(x)1mx；

(4)若V%e[a,6],Bx2e[c,d],有/(不)=8仁)成立，则/⑺的值域是g(x)的值域的子集.

4,法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=O&limg(x)=O；

x->ax->a

(2)在点。的去心邻域(。―£M)U(〃M+£)内，/(X)与g(x)可导且g'(x)。0；

//(x)

(3)lim-=/,

ig(x)

f(x)/'(x)

那么lim^4=lim^4=I.

…g(x)…g(%)

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴|吧/(x)=0及理g(x)=0；

(2)3^>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)与(4+8)上可导，且g'(x)wO；

/'(x)

(3)=

ig(%)

f(x)/'(x)

那么lim>4=limO4=/.

a°°g⑴％-8g(X)

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=8及limg(x)=8；

axTa

(2)在点。的去心里域(a—+内，/(%)与g(%)可导且g'O)W0;

/'(x)

(3)lim-=/,

fg(x)

那么1血/^=1向4^，=/.

ig(x)ig(x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的Xfa,xf+oo,xf-oo,x.a+，x.。一洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,0.OO,10°,8°,Q°,8-8型.

00018U

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足9,O-oo,f,8°，0°，8-8型定式，

否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用,

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

1加〃4=1血叩?=1加14,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

X—g(X)ig(%)I"g(X)

0

题型归纳与总结w

题型一：直接法

【典例1-1】(2024•河南信阳•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx,6(x)=«(尤-l)(x>0).

(1)试比较/(x)与力⑴的大小;

⑵若/(x)M(xf(办-a+1)恒成立,求。的取值范围.

2

【典例1-2】(2024•山西•模拟预测)已知函数/(x)=£,g(x)=lnx-Gf,a^O.

⑴讨论函数g(x)的单调性；

(2)当0>0时，厂(x)=g(x)-/(x)VO恒成立，求。的取值范围.

【变式1-1](2024•四川绵阳•模拟预测)己知函数/(x)=alnr-：+x(aeR).

⑴讨论/(x)的零点个数；

(2)若关于x的不等式/(x)V2x-4在(0,+町上恒成立，求。的取值范围.

e

【变式1-2](2024•湖南衡阳•三模)已知函数/■(x)=(x-l)e*-办2+L

⑴当a=e时，求函数/(x)在点尸(1J⑴)处的切线方程；

⑵若xe[0,+s),不等式/(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

【变式1-3](2024•四川成都•模拟预测)设〃x)=(/_i)e，+sinx-3

(1)当°=血，求函数/(x)的零点个数.

(2)函数〃(x)=/(x)-sinx-f+2ax+2,若对任意x20,恒有“(x)>0,求实数。的取值范围

题型二：端点恒成立

【典例2-1】(2024•广西•三模)已知函数/(x)=e*-x.

⑴求函数的极值；

(2)若对任意x>0J⑺>；♦+1,求。的取值范围.

【典例2-2](2024•四川•模拟预测)已知函数/'(x)=ex-|x3-l.

(1)若/(x)有3个极值点，求。的取值范围；

(2)^X>0,/(X)>CZX2+X,求。的取值范围.

【变式2-1](2024•山西•三模)已知函数/(x)=ae'-x+l

(1)当。=1时，求曲线了=/(x)在点(1,7(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)当x20时，/(x)2办2恒成立，求。的取值范围

【变式2-2](2024•河北•模拟预测)已知函数仆)=会，g(x)=sinx+cosx.

⑴当"1时，求/(x)的极值；

(2)当xe(O㈤时,/(x)Wg(x)恒成立，求。的取值范围.

题型三：端点不成立

【典例3-1](2024,河南郑州•模拟预测)已知/(x)=(x-tz-l)ex--ax2+a2x-\.(a£R)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若a=-1,且存在X£(0,+8),使得/(x)Wlnx+；/+s+i)x,求6的取值范围.

Inx

【典例3-2】(2024•山东泰安•三模)已知函数/(x)=xa--(--。--＞0).

x

⑴讨论的最值;

(2)若。=1,且至二二，求左的取值范围.

【变式3-1](2024•四川•模拟预测)已知函数/(x)=Qlnx-2x+6(a,beR)在点(1,/⑴)处的切

线方程为〉=-x.

⑴求函数/(x)的极值；

⑵设g(x)=e*V'f-j+2+mx(meR),若g(x)»0恒成立，求加的取值范围.

【变式3-21(2024•安徽合肥•模拟预测)/(x)=ei(aeR).

(1)若/(x)的图象在点/(/，/(尤。))处的切线经过原点，求「；

(2)对任意的xe[0,+oo),有/(x)2situ,求a的取值范围.

【变式3-3](2024•浙江金华•三模)已知函数/(x)=ar+xlnx在x=e(e为自然对数的底数)处取得

极值.

⑴求实数。的值；

(2)若不等式四＞左(1+,]恒成立，求人的范围.

XVX)

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

【典例4-1](2024•陕西咸阳•三模)已知函数/。)=血+》-1.

(1)当。=1时，求函数g(x)=/(x)-x极值；

(2)若对任意xe[l,+e),/(x)2a+l恒成立，求实数。的取值范围.

【典例4-2】(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知函数〃x)=e'-x,函数g(x)=/+7一2(”0).

(1)若直线x=《〃R)与函数〃x)交于点/,直线x=e'T(feR)与函数g(x)交于点'且函数/(x)在点

A处的切线与函数g(x)在点3处的切线相互平行或重合，求a的取值范围；

(2)函数〃(x)=xlnx-£g(x)在其定义域内有两个不同的极值点为，且玉＞马，存在实数；1＞。使得不

等式恒成立，求实数4的取值范围.

【变式4-1]已知函数〃0=(f+2*+29.

(1)若函数〃?(x)=:尔+2办2+4依，F(x)=/(x)+m(x),讨论函数户(x)的单调性；

⑵若不等式/(x)士k2+2)e*+(x+l)2(lnx+foc+1)恒成立，求实数b的取值范围.

【变式4-2](2024•山东济南•三模)已知函数/(x)=a*+2"-2,其中a>0且awl.

⑴若/(x)是偶函数，求a的值；

⑵若x>0时，/(x)>0,求a的取值范围.

【变式4-3](2024•辽宁沈阳•模拟预测)设函数〃力=工班-工-；办2的两个极值点分别为

x1,x2(x1<X2).

(1)求实数。的取值范围；

(2)若不等式丸<。(占+々)恒成立，求正数人的取值范围(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

【变式4-4](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ae'+x+2,曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线

与x轴平行.

(1)求实数。的值；

⑵若对于任意xe[e,+s),恒成立，求实数人的取值范围.

【变式4-5](2024•四川绵阳•模拟预测)己知函数〃x)=g/-x-Inx(机e©.

(1)当加=2时，求函数/(%)的单调区间；

(2)若Vx〉0,不等式/(x)>V恒成立，求实数加的取值范围.

题型五：洛必达法则

【典例5-1】已知函数/(%)=«Inx+Zzx(a,beR)在x=；处取得极值，且曲线丁=/(x)在点(1,/⑴)处

的切线与直线x-7+1=0垂直.

⑴求实数的值；

m

(2)若Vx£[l,+8),不等式/(X)"(加—2)X——恒成立，求实数机的取值范围.

X

V

【典例5-2】设函数/(x)=l—当x〉0时，/(%)<-----，求。的取值范围.

ax+\

sinx

【变式5-1】设函数/(x)=--------.如果对任何x10,都有/(x)Wox,求。的取值范围.

2+cosx

【变式5-2](2024•浙江宁波•模拟预测)已知函数/(%)=d-办-1.

(1)讨论了(%)的单调性；

⑵若对任意的x20J(x)20恒成立，求。的范围.

题型六：同构法与朗博同构

【典例6-1】已知函数/(尤)=d苗(力=。

⑴若/z(x)=/(x)-加g(x)(加eR),判断〃(x)的零点个数；

(2)当x>0时，不等式则(》经：［+111%+2恒成立，求实数。的取值范围.

【典例6-2］(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=ta2_2e"lnx.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)当x>2时，/(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.

【变式6-1］已知函数/(x)=x(a-e2，)，其中aeR.

⑴讨论函数［(x)极值点的个数；

(2)对任意的x>0,都有/(x)V-lnx-l,求实数”的取值范围.

InX

【变式6-2](2024•海南海口•一模)已知函数/'(x)=--+1.

x—1

⑴讨论函数〃x)的单调性;

日"即成立‘求实数'的最大直

夕X

(2)已知丸>0,若存在%£(1,+8),不等式就—之

e+1

【变式6-3](2024•云南•模拟预测)已知函数f(x)>=ex+a,g(x)=Inx.

⑴若函数g(x)在x=l处的切线/也与函数〃x)的图象相切，求。的值；

⑵若/(x+a)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

【变式6-4](2024•内蒙古•三模)已知函数/(力=/一狈+21nx.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若。>0,/(力《产恒成立，求。的取值范围.

题型七：必要性探路

2x

【典例7-1](2024•江西九江•统考三模)已知函数/(x)=£7(aeR)

(1)讨论兀0的单调性：

(2)当a=-2时，若x20,/(x)<ln(l+2^)-/nr-l,求实数小的取值范围.

【典例7-2]已知函数/(x)=-------(a<0))在x=l处的切线斜率为-二.

ax-14

⑴求。的值；

(2)若x21,/(x-l)<lnx-m(x-l)-l,求实数机的取值范围.

【变式7-1](2024•陕西商洛•模拟预测)已知函数/(x)=lnx-办-cosx,aeR

⑴当a4-1时，求/⑺的零点个数；

(2)已知函数/(x)=/(x)+xlnx+cosx+2,若尸(x”0在(1,+⑹上恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-2](2024•浙江温州•模拟预测)函数/口)=片*说苫

⑴求〃力的单调区间.

⑵若/(x)〈办+》2在xNO时恒成立，求。的取值范围.

【变式7-3](2024•湖北•模拟预测)已知函数〃x)=xe\

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式“刈+/(1-冷2。恒成立，求实数a的取值范围.

【变式7-4](2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数/(x)=2sinx+ln(x+l)-".

(1)当。=2时，求函数"X)在区间上零点的个数;

(2)若x20时，不等式/(x)W0恒成立，求实数。的取值范围.

【变式7-5](2024•四川绵阳•模拟预测)己知函数/(x)=e'—cosx,其中左为常数.

(1)当左=1时，讨论函数/(x)在(0,+s)上的单调性；

⑵若/(x)>l,求实数上的取值范围.

【变式7-6］(2024•重庆•三模)已知函数/(x)=xlnx+“x+L

(1)若。=1,求/(%)在点(1,/⑴)处的切线方程，并求函数的单调区间：

⑵若/(X)在定义域［-,el上的值域是［-,el的子集，求实数a的取值范围.

ee

题型八：max,min函数问题

【典例8-1】已知函数/(x)=(x-2)e*T+；,g(x)=ov-sinx-ln(x+l),其中aeR.

(1)证明：当x...l时，/(x)...0；当x<l时，/(%)<0；

(2)用max{和〃}表示"?，〃中的最大值，记尸(工)=11«*""),8(尤)}.是否存在实数0,对任意的xeR,

尸(无)...0恒成立.若存在，求出.；若不存在，请说明理由.

函数/(x)=5，直线了=口为曲线了=/(力的切线,

【典例8-2】已知e是自然对数的底数

g(x)=(x+l)lm.

⑴求g'(x)的单调区间；

⑵求。的值；

⑶定义min{加㈤=(''函数加(％)=!11m{/(%)在(%)},〃(工)=加(%)-枕之在(0,+⑹上单调递增，求实

yn,m>n,

数/的取值范围.

【变式8-1］已知函数/(%)=(%-。乂1+1),g(x)=axlnx+x+e-2(4£R),设max{加㈤表示加，〃的最

大值，设/(%)=max{/(H，g(%)}.

(1)讨论/'(x)在(0,+”)上的零点个数；

(2)当x>0时尸(x)*0,求。的取值范围.

【变式8-2】已知函数/'(x)=(x-l)e，-；x2+l,g(x)=sinx-亦，其中aeR.

(1)证明：当x20时，/(x)>0；当x<0时，/(x)<0；

⑵用max{加,〃}表示私〃中的最大值，记尸(x)=max{/(x),g(x)}.是否存在实数a,对任意的xeR,

尸(x)20恒成立.若存在，求出。，若不存在，请说明理由.

【变式8-3】已知。为实数，函数/(x)=axlnr+x+e-2,g(x)=(x-aXe，+l).

⑴若函数了=/(力在尤=1处的切线斜率为2,求。的值；

(2)讨论函数歹=g'(x)在(0,+e)上的零点个数；

⑶设max{/«,〃}表示加，"的最大值，设尸(x)=max{/(x),g(x)}.当x>0时，F(x)>0,求。的取值范围.

题型九：构造函数技巧

【典例9-1】已知函数/(尤)=如flnx-1,机力0.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若g(x)=*-三x,且关于x的不等式/'(x)Vg(x)在(0,+e)上恒成立，其中e是自然对数的底数，求

实数加的取值范围.

【典例9-2】已知关于x的函数了=fix),y=g(尤)与〃(x)=Ax+6(人/eR)在区间。上恒有/(x)>h{x}>g(x).

(1)若［(同=/+2%g(x)=-x2+2x。=(一⑥+co),求力㈤的表达式；

(2)若/'(x)=x2-x+l,g(jc)-k\nx,h(x)-kx-k,D-(0,+x),求左的取值范围；

(3)若/(X)=X4-2/,g(x)=4x2-8,〃(尤)=4«3-/卜-374+2»(0<,归后),。=［加,"仁［_旨,逝］,求证:

n-m<V7.

【变式9-1】已知函数/(x)=xe*-lnx-l.

⑴求函数〃尤)在x=l处的切线方程；

(2)若不等式/(x”6(aeR)恒成立，求实数。的取值范围.

【变式9-2】已知函数/(x)=e*-e"(a+lnx).

⑴当“=1时，求/(x)的单调递增区间；

⑵若/卜)20恒成立，求。的取值范围.

【变式9-3】已知函数/(x)=are*-ln(x+l).

⑴判断了(x)的导函数/⑴的零点个数；

(2)若/(x"21na-31n2-3,求a的取值范围.

【变式9-4](2023・安徽合肥.合肥市第六中学校考模拟预测)己知函数/(x)=lnx+2ax+l,

g(x)=x(e、+l)(e为自然对数的底数).

(1)若函数/(》)的最大值为0,求。的值；

(2)若对于任意正数x,7(尤)Vg(x)恒成立，求实数0的取值范围.

题型十：双变量最值问题

【典例10-1](2024•湖北武汉•模拟预测)已知关于x不等式a/Nx+b对任意xeR和正数6恒成立，

则/的最小值为()

b

A.yB.1C.V2D.2

【典例10-2】(2024•江苏•模拟预测)已知f(x)=g+",g(x)=lnx,对于Vxe(0,+co),

/(x)»g(x)恒成立，则机+2〃的最小值为()

A.-In2B.-1C.-In4D.-2

【变式10-1]若对于任意正实数x,都有lnx-aex-b+lV0(e为自然对数的底数)成立，则6的最小值

是—.

【变式10-2】已知函数/(x)=x3,x>0,g{x}=ax+b,其中

⑴若a+6=0,且座x)的图象与g(x)的图象相切,求。的值；

(2)若f(x)2g(x)对任意的x>0恒成立，求a+6的最大值.

【变式10-3](2024•高三•江苏苏州•开学考试)已知函数一无，g(x^x2+ax+b,

a,beR.

(1)当0=1时，求函数尸(x)=/(x)-g(x)的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)-g(x)在点(1,0)处的切线为/:x+y—1=0,求a,b的值；

(3)若〃x)」g(x)恒成立,求a+6的最大值.

题型十一：恒成立问题求参数的具体值

【典例11-1】已知函数/(x)=(e工-1)(2+cos%)-3asinx.

⑴当0=1时，讨论/'(X)在区间[0,+8)上的单调性；

⑵若Vxe-y,+z)l/(x)>0,求0的值.

【典例11-2](2024•福建福州•模拟预测)己知函数/(x)=e"g(x)=sinx+co&r,其中e为自然对数的

底数.

(1)证明：x»0时，ex-1>x>sinx;

⑵求函数Mx)=/(x)-g(x)在[-:兀,+oo)内的零点个数；

(3)若/(x)+g(x)2or+2,求。的取值范围.

【变式11-1](2024•河北保定•三模)已知函数/(x)=ox+ln(x+l).

⑴若。=-2,求/(力的单调区间；

(2)若/(x)V0恒成立，求。的取值集合.

【变式11-2](2024•福建福州•三模)已知函数/(x)=ox-ln(l-x)(aeR).

(1)求曲线V=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵若/(x)»0恒成立，求。的值

0

1.(2024•辽宁沈阳•三模)已知函数/(x)=ei—a(其中aeR),g(x)=lnx.

⑴当a=0时，求函数/(x)的图象在点(0J(O))处的切线方程；

(2)当x>0时，若/(x)»g(x)恒成立，求。的取值范围.

2.(2024•甘肃酒泉•三模)已知函数/(x)=x'+.2

e

(1)求函数/(x)的极值；

(2)若对任意尤e[0,+s),都有/(x)2a-x成立，求实数。的取值范围.

3.(2024•河北邯郸•模拟预测)已知函数/(x)=ae-xlnx.

⑴当a=l时，求函数/⑴在处的切线方程；

(2)若〃x)为增函数，求。的取值范围.

4.(2024•广西•模拟预测)设函数/(x)=-alnx+e2",a>0.

⑴当a=e时，求函数的单调区间；

(2)证明：/(x)-2tz-tzln2+(21n6z>0.

5.(2024•江西•模拟预测)已知曲线/(x)=(x+a)lnx在点(1,/。))处的切线方程为了=加-3.

(1)求0,6的值；

(2)求/⑺的单调区间；

(3)已知xNyzg,且/(x)+/(y)=aln(Q),证明：对任意的加e[l,2],3V2x+叼V4.

6.(2024•河南•三模)已知函数/(尤)=axcosx-(a-4x2)sinx,g(A：)=(a-4x)sinx-8xcosx.

⑴如果a=16,求曲线y=/(x)+g(x)在》=兀处的切线方程；

(2)如果对于任意的xe10,力都有/(x)>0且g(x)>0,求实数a满足的条件.

7.(2024•湖北荆州•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx.

⑴求/(X)的单调区间；

⑵若对于任意-,e,都有/(x)Vax-l,求实数。的取值范围.

e

8.(2024•吉林长春•模拟预测)已知a.J,函数/(x)="质-/+1.

⑴当。=1时，求/(x)的最小值；

(2)若尤>1时，/(x)<0恒成立，求。的取值范围.

9.(2024•河南信阳•模拟预测)设函数/(x)=e*,g(x)=lnx

⑴已知对任意恒成立，求实数人的取值范围；

(2)已知直线/与曲线/(x),g(x)分别切于点(均,/(网))，(x2,g(x2)),其中为>0.

2-1

①求证：e_<x2<e；

②己知(心：2-》+1)6',+》<0对任意工«玉,+00)恒成立，求2的取值范围.

10.(2024•黑龙江•三模)设函数/(x)=y+(l-/c)x-Hnx.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若人为正数，且存在％,使得/(/)<；-上求左的取值范围.

11.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=xe1

⑴若存在唯一的负整数%,使得〃%)<加％-1),求加的取值范围；

(2)若0>0,当xe(T,w)时，Q(x)+321n/(；+l),求。的取值范围.

12.(2024•福建厦门•三模)已知函数/(x)=alnx+l.

⑴若。=2,设6>0,讨论函数g(x)=/(?一，"的单调性;

⑵令Mx)=/(x)-l+F尤2一无，若存在％21,使得〃(尤。)〈号，求。的取值范围.

2a—1

13.(2024•云南昭通•模拟预测)设函数/(x)=e*-ln(x+a),«eR.

⑴当。=1时，求/⑺的单调区间；

(2)若/⑺”，求实数。的取值范围.

14.(2024•宁夏银川•模拟预测)已知函数/(x)=履-ln(l+x)(左>0).

(1)当左=1时，求曲线y=f(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)如果存在与c(0,+8),使得当xe(O,Xo)时，恒有/(x)<x2成立，求上的取值范围.

15.(2024•河北•模拟预测)已知函数/(x)=(e-a)e'+x(aeR).

(1)讨论函数/⑺的单调性；

(2)若存在实数。，使得关于x的不等式"恒成立，求实数4的取值范围.

16.(2024•福建泉州•模拟预测)已知函数/(x)=尤21n无.

⑴求/(X)的单调区间；

(2)若存在x>0,使得/(初,◎成立，求实数。的取值范围.

17.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(x)=alnx+x-l(aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)Vxe[l,4w),/(x)^-21nx+(lnx)2,求。的取值范围.

(1)若曲线y=/(x)在X=1处的切线方程为V=»ix+2,求实数“的值;

(2)若对于任意x21,/(力+冰2。恒成立，求实数。的取值范围.

23.(2024•北京通州•二模)已知函数/卜)二"；xT,aeR.

⑴当a=0时，求曲线y=/卜)在点(0J(O))处的切线方程；

(2)当。>0时，求“X)的单调区间；

⑶在(2)的条件下，若对于任意xe[l,3],不等式;+：成立，求。的取值范围.

24.(2024•云南昆明•一模)已知函数/(无)=1石.

⑴求曲线y=〃x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)当尤21时，/(x)^a(x-l),求a的取值范围.

25.(2024•天津•二模)已知函数/(%)=/-依，oeR.

⑴若曲线y=/(x)在x=l处的切线的斜率为2,求。的值；

(2)当a=0时，证明：Vxe(O,l),/(2x)〈手;

1-X

(3)若/(x)+sinx>1在区间(0,+e)上恒成立,求a的取值范围.

26.(2024•四川成都•模拟预测)已知函数/(x)=sinx-xcosx.

⑴求曲线片《)在点停/刖处的切线方程；

(2)设函数〃(％)=/(%)+£/,%20,冽6%若曲线y=〃(x)不在x轴的上方，求实数加的取值范围.

27.(2024•江西南昌•二模)已知/(工)=优一£(、＞0,。＞0且〃。1).

(1)当〃=e时，求证：/(%)在(e,+8)上单调递增；

(2)设〃＞e,已知jna,+8),有不等式/(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

重难点突破05利用导数研究恒(能)成立问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：直接法..................................................................3

题型二：端点恒成立..............................................................5

题型三：端点不成立..............................................................6

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离......................................7

题型五：洛必达法则..............................................................9

题型六：同构法与朗博同构.......................................................10

题型七：必要性探路..............................................................11

题型八：max,min函数问题.....................................................13

题型九：构造函数技巧...........................................................14

题型十：双变量最值问题.........................................................16

题型十一：恒成立问题求参数的具体值.............................................17

03过关测试....................................................................18

方法特眄与Q饯

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeZ),

(2)Vxe。，根加111ax；

(3)ire。，加</(x)1mx；

(4)3XED,m>f^x)om>f.

3,不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),x&\c,d].

(1)若％e[a,6],Vx2e[c,t/],有/(xJvgG)成立，则/(x).<g(x)1111n;

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(甬)<g(%)成立*则/(x)1mx<g(x)1mx；

(3)若玉!e[a,6],3x2&[c,d],有/&)<8(9)成立，贝(l/(x)1nhi<g(x)1mx；

(4)若V%e[a,6],Bx2e[c,d],有/(不)=8仁)成立，则/⑺的值域是g(x)的值域的子集.

4,法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=O&limg(x)=O；

x->ax->a

(2)在点。的去心邻域(。―£M)U(〃M+£)内，/(X)与g(x)可导且g'(x)。0；

//(x)

(3)lim-=/,

ig(x)

f(x)/'(x)

那么lim^4=lim^4=I.

…g(x)…g(%)

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴|吧/(x)=0及理g(x)=0；

(2)3^>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)与(4+8)上可导，且g'(x)wO；

/'(x)

(3)=

ig(%)

f(x)/'(x)

那么lim>4=limO4=/.

a°°g⑴％-8g(X)

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=8及limg(x)=8；

axTa

(2)在点。的去心里域(a—+内，/(%)与g(%)可导且g'O)W0;

/'(x)

(3)lim-=/,

fg(x)

那么1血/^=1向4^，=/.

ig(x)ig(x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的Xfa,xf+oo,xf-oo,x.a+，x.。一洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,0.OO,10°,8°,Q°,8-8型.

00018U

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足9,O-oo,f,8°，0°，8-8型定式，

否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用,

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

1加〃4=1血叩?=1加14,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

X—g(X)ig(%)I"g(X)

0

题型归纳与总结w

题型一：直接法

【典例1-1】(2024•河南信阳•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx,A(x)=^(x-l)(x>0).

⑴试比较/(x)与可力的大小；

⑵若/(X)4(》-1乂依-0+1)恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)因为/(工)一力(%)=/口工一«(工一1)=*Inx

构建尸(x)=lnx_",x>0,则尸(动=(&T)wo在(。，+8)内恒成立,

'X'，2x6~

可知/(x)在(0,+功内单调递减,且斤(1)=0,则有：

若0<x<l,则/(x)>0,gp/(x)>/z(x)；

若x=l,则尸(x)=0,即/(x)=/z(x)；

若x>l,贝！J尸(x)<0,即/(x)</z(x).

(2)若/(x)<(工一1)(办一4+1)恒成立，贝!jax—lnx+^--+1->0,

x

构建g(x)=or-lnx+“J+l-2。,%>。，

原题意等价于g(x”0在(0,+“)内恒成立,

ax+a-1)

XX7-

1、若〃40,贝IJQX+Q-1<0

当0<X<1时，g'(x)>0；当x>l时，g'(x)<0；

可知g(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减,

则g(x)«g⑴=0,不符合题意；

2、若。>0,则有：

(i)若则办+。-1>0,

当0<x<l时，g'(x)<0；当x〉l时，g'(x)〉。；

可知g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增,

则g(x)2g⑴=0,符合题意；

(ii)若0<〃<1时，令g'(x)=O,解得x=l或1=，一1>0,

①若1〉1,即0<4<一时，当1<%<1时，g'(x)<。,

a2a

可知g(x)在1]内单调递减，止匕时g(x)<g(l)=O,不合题意;

…。，

②若工-1=1，即4=2时，则g[x)=

2x2

可知g(X)在(0,+⑹内单调递增,

当xe(O,l)时，止匕时g(x)<g(l)=O,不合题意;

③若！一1<1,即2<0<1时，则0<(1—.)2<"<1,

a2a

X—1I-1

由(1)可矢口：当0<%<1时，lnx>—广=y/x—『

yjx

a—]。一1

则g(x)—1-2〃-Inx+axH----<1-2Q+(XXH----

Xf

综上所述：。的取值范围为［1,+s).

2

【典例1-2］(2024•山西•模拟预测)已知函数/'(%)=—,g(x)=lnx-依，a/0.

⑴讨论函数g(x)的单调性；

(2)当z>0时,尸(x)=g(x)-/(x)WO恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)g'(x)=：j=T(x>0),

当a<0时，g'(x)>0恒成立,从而g(x)在(0,+8)上单调递增，

当a>0时，0<x<,，g'(x)>0,x>~,g'(x)<0,

从而g(x)在(o,。上递增，在上单调递减，

综上，当a<0时，g(x)的单调递增区间为(0,+司，没有单调递减区间；

当a>0时，g(x)的单调递增区间为/J,单调递减区间为、,+")；

(2)由题可知尸(无)=lnx-ax-*,要使-x)WO恒成立，只要-x)1mxW0,

P(x)=L+W=("+”办-2),

xaxax

由于Q>0,X>0,所以QX+l>0恒成立，

当0<x<*时，F(x)>0,当％〉*时，F(x)<0,

aa

所以函数尸(X)在］o,j上单调递增，在上单调递减，

所以尸(力3*=尸］:［=必：一34。,解得

所以a的取值范围为

【变式1-1](2024•四川绵阳•模拟预测)己知函数/(x)=alnr—：+x(aeR).

⑴讨论了(x)的零点个数；

(2)若关于x的不等式/(x)V2x-4在(0,+⑹上恒成立，求。的取值范围.

e

【解析】(1)因为〃X)="国-g+X的定义域为(。,+e)，

当尤=1时，/⑴=0,所以1是/(X)的一个零点，

八力心」x2+ax+1

贝Ug(x)=[x+"|j+l—?,x>0,

令g(x)=x2+ax+l,x>0,

当-2<0,即。20时，g(x)在(0,舟)上单调递增，贝|g(x)>g(0)=l>0,

故川(x)〉0,/(x)在(0,+s)上单调递增，结合〃1)=0,

可知此时/(x)有1个零点；

2

当-巴>0,即a<0时，5^1-->0,则一24a<0时，g(x)>0,

24

故#(x)〉0,/(x)在(0,+到上单调递增，结合/⑴=0,

可知此时/(x)有1个零点；

2

若1-幺<0,则aW-2时，则g(x)=x?+ax+l=0的判另U式△=/一4>0，

4

不妨设两根为和马，则占+9=一。>0,西七=1，

即/+办+1=0有2个正数根，且不妨设

则当0cx<X]时,g(x)>0,即/(x)>0；当不<工<三时，g(x)<0,即/'(x)<0；

当x>x2时，g(x)>0,即#(x”o；

则可知/(X)在(石,1)上单调递减，则“X)极大=/(x,)>/(1)=o,

/(X)在(1户2)上单调递减,则/(X)极小=/(%)</(I)=0,

由当x无限趋近于0时，--的变化幅度要大于alnx的变化幅度，

故/卜)=0欣-;+》趋近于负无穷，

当'趋近于正无穷时，x的变化幅度要大于alnx的变化幅度，

故/(%)=4山-'+'趋近于正无穷，

此时函数/(x)=Qlnx-'+x有3个零点，

综上：当。<-2时，/(%)有3个零点，当“2-2时，/(%)有1个零点

(2)不等式/(x)42x-：在(0,+町上恒成立

12

等价于aliw-x-―+—40在(0,+町上恒成立，

xe

令G(x)=alwc—x----1—,贝!!G'(x)=——1+^