高中数学 第四章 定积分教学实录 北师大版选修2-2

高中数学第四章定积分教学实录北师大版选修2-2主备人备课成员教材分析高中数学第四章定积分教学实录，本章节内容选取自北师大版选修2-2。教材围绕定积分的定义、性质、计算方法等内容展开，旨在帮助学生理解微积分的基本思想，掌握定积分的应用。课程设计紧密联系课本，结合实际，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过定积分的学习，学生能够理解微积分的基本思想，发展数学抽象能力；通过探究定积分的性质和计算方法，提升逻辑推理和数学运算能力；通过实际问题中的应用，锻炼数学建模和数据分析能力。同时，课程强调直观想象在解决问题中的作用，促进学生对数学本质的理解。教学难点与重点1.教学重点

-理解定积分的概念：重点在于让学生明白定积分是黎曼和的极限，是微积分中一个重要的基本概念。

-掌握定积分的计算方法：包括直接计算和换元积分法，重点是掌握换元法的应用和积分技巧。

-应用定积分解决实际问题：例如，利用定积分计算物体的位移、面积等，强调将抽象的数学概念与实际问题相结合。

2.教学难点

-定积分的直观理解：对于学生来说，将黎曼和的概念转化为定积分的直观理解是一个难点，需要通过大量的实例和图形帮助学生理解。

-换元积分法的应用：在换元积分法中，选择合适的换元变量和积分技巧是难点，学生可能难以把握何时以及如何进行换元。

-复杂函数的积分：对于一些复杂函数的积分，学生可能难以找到合适的积分方法，需要教师引导他们分析函数特性，寻找积分策略。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2教材，以便于学生跟随教材内容学习。

2.辅助材料：准备与定积分相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如黎曼和的动态演示、积分计算过程的动画等，以帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备计算器、积分表等工具，以便学生在课堂上进行定积分的计算练习。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生在小组中讨论定积分的应用问题；确保实验操作台等设施齐全，以备进行相关实验活动。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：播放一段关于工程建设的视频，展示工程师如何计算土地面积，引出定积分的概念。

2.提出问题：引导学生思考如何将黎曼和的概念与实际问题相结合，激发学生的求知欲。

3.学生回答：邀请学生分享自己的想法，教师简要总结并引出定积分的定义。

（二）讲授新课（20分钟）

1.定积分的定义（5分钟）

-教师讲解定积分的概念，通过实例说明黎曼和与定积分的关系。

-展示黎曼和的动态演示，帮助学生理解定积分的直观意义。

2.定积分的性质（5分钟）

-介绍定积分的性质，如线性性质、保号性质等。

-通过实例说明性质的应用，让学生体会性质在解决问题中的作用。

3.定积分的计算方法（10分钟）

-讲解直接计算法和换元积分法，重点讲解换元法的应用和积分技巧。

-通过实例演示换元积分法的应用，让学生掌握积分技巧。

（三）巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：教师布置一些基础题，让学生独立完成。

2.小组讨论：学生以小组为单位，讨论并解决练习题中的难点问题。

3.展示答案：每组选派代表展示解题过程，教师点评并总结。

（四）课堂提问（5分钟）

1.教师提问：针对课堂内容，提出一些具有挑战性的问题，引导学生深入思考。

2.学生回答：鼓励学生积极参与，展示自己的解题思路。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：针对课堂内容，提出一些与核心素养相关的问题，如如何将数学知识应用于实际问题。

2.学生回答：邀请学生分享自己的看法，教师简要总结并强调核心素养的重要性。

（六）解决问题及核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.教师提出实际问题：例如，如何利用定积分计算曲线下的面积。

2.学生分组讨论：学生以小组为单位，讨论并解决实际问题。

3.展示答案：每组选派代表展示解题过程，教师点评并总结。

教学时间：共计45分钟

注意：在教学过程中，教师应根据学生的实际情况灵活调整教学内容和进度，确保教学效果。同时，注重培养学生的核心素养，提高学生的数学思维能力。教学资源拓展1.拓展资源

-定积分在物理学中的应用：介绍定积分在物理学中的具体应用，如计算物体运动的位移、计算物体受到的力等，让学生了解数学知识在实际科学领域的重要性。

-定积分在经济学中的应用：探讨定积分在经济领域中的应用，如计算收益、成本、利润等，帮助学生理解数学在经济决策中的作用。

-定积分在工程学中的应用：展示定积分在工程学中的应用，如计算结构应力、计算流体体积等，增强学生对数学在工程技术中的应用认识。

-定积分在生物学中的应用：介绍定积分在生物学领域中的应用，如计算生物种群的增长、计算生物体的表面积等，拓宽学生的知识视野。

2.拓展建议

-阅读相关书籍：推荐学生阅读与定积分相关的科普书籍，如《微积分的故事》、《数学家的眼光》等，以增加学生对数学知识的兴趣和了解。

-观看教育视频：推荐学生观看与定积分相关的教育视频，如《微积分入门》、《定积分的计算与应用》等，通过视频学习，加深对知识的理解。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学竞赛、大学生数学建模竞赛等，提高学生的数学应用能力和创新思维。

-撰写数学论文：指导学生撰写与定积分相关的数学论文，如《定积分在物理学中的应用研究》、《定积分在经济决策中的作用》等，培养学生的研究能力和学术素养。

-开展小组合作学习：组织学生以小组为单位，开展定积分相关的研究项目，如《定积分在生活中的应用》、《定积分在其他学科中的应用》等，提高学生的团队协作能力和实际操作能力。

-利用网络资源：引导学生利用网络资源，如在线课程、数学论坛等，拓展自己的知识面，了解最新的数学研究成果和发展动态。内容逻辑关系①定积分的定义

-重点知识点：黎曼和的概念

-关键词：分割、取点、函数值、面积近似、极限

-关键句：定积分是黎曼和的极限，表示函数在某一区间上的累积变化量。

②定积分的性质

-重点知识点：定积分的线性性质、保号性质、奇偶性质等

-关键词：线性、保号、奇偶、可加性、区间可积性

-关键句：定积分具有线性性质，即常数的倍数和和的积分等于倍数和的和的积分。

③定积分的计算方法

-重点知识点：直接计算法、换元积分法、分部积分法等

-关键词：直接计算、换元、分部、积分技巧、凑微分

-关键句：直接计算法适用于简单函数的积分，换元积分法通过变量替换简化积分过程。

④定积分的应用

-重点知识点：计算面积、体积、弧长、质量等

-关键词：面积、体积、弧长、质量、实际应用

-关键句：定积分可以用来计算平面图形的面积，立体图形的体积，以及曲线的弧长等。

⑤定积分与其他数学分支的关系

-重点知识点：定积分与极限、导数、微分方程的关系

-关键词：极限、导数、微分方程、联系、转化

-关键句：定积分是导数的反函数，可以看作是微分概念的逆向应用。

⑥定积分的历史与发展

-重点知识点：定积分的历史背景、发展过程、重要人物

-关键词：历史、发展、牛顿、莱布尼茨、积分学

-关键句：定积分的概念由牛顿和莱布尼茨分别独立发现，标志着微积分的诞生。重点题型整理1.题型一：定积分的定义应用

-题目：计算函数f(x)=x^2在区间[1,3]上的定积分。

-答案：首先，将区间[1,3]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=(3-1)/n=2/n。取每个小区间的右端点作为样本点，得到x_i=1+2i/n，i=1,2,...,n。函数值f(x_i)=(2i/n)^2。计算黎曼和的极限：

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2i}{n}\right)^2\cdot\frac{2}{n}\]

通过计算得到定积分的值为9/2。

2.题型二：定积分的性质应用

-题目：已知f(x)=x^3，求积分I=∫[0,2]f(x)dx。

-答案：由于f(x)=x^3是奇函数，其在对称区间[0,2]上的积分为0。因此，I=∫[0,2]x^3dx=0。

3.题型三：换元积分法应用

-题目：计算积分∫[1,e]x^2e^xdx。

-答案：设u=x^2，则du=2xdx。当x=1时，u=1；当x=e时，u=e^2。原积分变为：

\[\frac{1}{2}\int_1^{e^2}e^udu\]

计算得到：

\[\frac{1}{2}[e^u]_1^{e^2}=\frac{1}{2}(e^{e^2}-e)\]

4.题型四：分部积分法应用

-题目：计算积分∫[0,π]sin(x)dx。

-答案：应用分部积分法，设u=sin(x)，dv=dx。则du=cos(x)dx，v=x。原积分变为：

\[x\sin(x)\bigg|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\cos(x)dx\]

第二个积分再次应用分部积分法，最终得到：

\[-\pi\cos(\pi)+\int_0^{\pi}\cos(x)dx=\pi\]

5.题型五：定积分在实际问题中的应用

-题目：一个物体以速度v(t)=t^2-3t+2（单位：m/s）在时间t（单位：s）内运动，求物体在0到2秒内的位移。

-答案：位移等于速度对时间的积分，即：

\[\int_0^2(t^2-3t+2)dt=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t\right]_0^2=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}\]

因此，物体在0到2秒内的位移为2/3米。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.融入生活实例：在教学过程中，我尝试将定积分的概念与学生的日常生活实例相结合，如计算购物时的折扣金额、计算房屋面积等，让学生感受到数学在生活中的应用，提高他们的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、视频等，将抽象的数学概念直观化，帮助学生更好地理解定积分的概念和性质。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对定积分概念的理解不够深入：部分学生在学习定积分的概念时，容易将其与导数混淆，对黎曼和的概念理解不够透彻。

2.练习题的设计缺乏针对性：部分练习题的设计过于简单，未能有效锻炼学生的综合运用能力；同时，部分题目过于复杂，学生难以理解和解答。

3.课堂互动不足：在课堂教学中，我发现部分学生参与度不高，课堂互动环节不够活跃，需要进一步激发学生的学习热情。

反思改进措施（三）

1.加强概念教学：针对学生对定积分概念理解不够深入的问题，我将通过举例、类比等方法，帮助学生深入理解黎曼和的概念，以及定积分与导数之间的联系。

2.优化练习题设计：针对练习题设计的问题，