2025年新高考数学一轮复习：直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（练习）（学生版+解析）

第04讲直线、平面垂直的判定与性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：垂直性质的简单判定.....................................................2

题型二：证明线线垂直...........................................................2

题型三：证明线面垂直...........................................................4

题型四：证明面面垂直...........................................................5

题型五：面面垂直的性质定理.....................................................7

题型六：垂直关系的综合应用.....................................................8

题型七：鳖月需几何体中的垂直....................................................11

02重难创新练.................................................................13

03真题实战练.................................................................19

题型一：垂直性质的简单判定

1.设戊、力是两个平面，加、力是两条直线，且。/3=m.下列四个命题：

①若加〃”，则〃〃6Z或〃〃尸②若则“J_£Z,nVP

③若M/c,且"//夕，贝!④若”与a和月所成的角相等，则机

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024•四川成都•三模）已知直线/、加、九与平面a、户，下列命题正确的是（）

A.若/J_”,mLn,则/〃

B.若/_La,1///3,则a，/?

C.若/_1_1,IA.m,则〃z〃a

D.若a_L尸，«p=m,IVm,贝l|/_L£

3.（2024•陕西安康•模拟预测）已知小，九是两条不同的直线，a,户，7是三个不同的平面，下列命

题为真命题的是（）

A.若。_1;?,/?±/,则tz_LyB.若a_L£,mua,〃u/?,则m_L〃

C.若mJ_a,n±a,贝D.m-Ln,mlla,alI/3,则”_1_齐

题型二：证明线线垂直

4.（2024•四川宜宾三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，AD=PD=2,ZPDC=120°,

PA=2拒，点E为线段PC的中点，点F在线段4B上，且

（2）求三棱锥P—ABD的体积.

5.（2024•福建龙岩•三模）如图，在四棱台A2C。-A与G，中，底面四边形ABC。为菱形,

ZABC=60°,AB=2AA=24耳,例1平面ABCD.

证明：BD1CC1；

7T

6.如图，三棱柱ABC-A4G中，侧面440C是边长为2的正方形，AB=2及,

证明：A\LBCX.

7.（2024•陕西商洛•模拟预测）如图1,在平面四边形BCDP中，PD//BC,BA1AD,垂足为

A,PA=AB=BC=2AD,将E4B沿A5翻折到△&4B的位置，使得平面SAB_L平面A3CD,如图2所示.

图1图2

（1）设平面sen与平面&45的交线为/,证明：BCLI.

题型三：证明线面垂直

8.如图所示，A3是〈。的直径，点C是。。上异于A,PC,平面ABC,E、P分别为B4,PC的中点,

求证：£/_1平面尸2。；

9.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-$qG中，E是已出上的点，且人石，平面ABg.

求证：3CL平面

10.（2024•全国•模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是AD的中点.

A

(1)求该圆柱体的体积；

(2)证明：DE_L平面ABE；

11.(2024•宁夏银川•一模)如图，在四棱锥尸—ABCD中，己知尸A=PC=PD,A8//CD,NAr)C=90

是AC的中点.

⑴证明：PO_L平面ABCD；

(2)若AD=OC=PO=2AB=2,点E是尸C的中点，求点E到平面PAD的距离.

题型四：证明面面垂直

12.(2024•四川资阳•二模)如图，在四面体ABC。中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC±BD,E,

尸分别为A8,AC的中点.

(1)证明：平面ACD_L平面BCD；

(2)求点A到平面BDF的距离.

13.（2024•四川成都模拟预测）如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD,ZBAD=6O°,AB=1,AD=CD=2,

BELCD.

/B

(1)证明：平面瓦)E_L平面ABCD；

(2)^ADYDE,DE=4母,尸为庭中点，求三棱锥产-ABE的体积.

14.(2024•广西•模拟预测)在长方体ABCD-乖。自中，点E,F分别在BB},方，上，且4斤，A.D,

AAl=BD.

Ds___________Cx

求证：平面AC。，平面AEF；

15.(2024•安徽马鞍山•模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,ZS4D=60°,E为边CD上

的点，CB=CE=1,以EB为折痕把CEB折起，使点C到达点尸的位置，且三棱柱APE的体积为"

O

证明：平面P3E_L平面

题型五：面面垂直的性质定理

16.如图，在四边形ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，出〃。,。=2.现将△M£＞沿比＞边折起,

使得平面平面BCD,点E是的中点.

求证：8E_L平面ACD；

17.（2024•四川成都•模拟预测）如图所示，斜三棱柱ABC-ABG的各棱长均为2,侧棱B片与底面ABC

7T

所成角为且侧面小珥A_L底面A3C.

证明：点与在平面A3C上的射影。为A8的中点;

18.如图1,在矩形ABCD中，点E在边CO上，BC=DE=2EC=2,将，D钻沿AE进行翻折，翻折后。

点到达P点位置，且满足平面PAEL平面ASCE,如图2.

⑴若点P在棱“上，PBc平面CEF=G,求证：CEHFG；

(2)求点E到平面PAB的距离.

19.(2024•甘肃张掖•模拟预测)在三棱柱ABC-A4G中，侧面AACG，平面ABC,AC=3C=A4,=4,

JT冗

ZACB=p侧面ACGA为菱形，且〃AC=g,o为CG中点.

证明：A。，平面BdCG；

题型六：垂直关系的综合应用

20.如图，在直三棱柱：ABC-AUG中，AC=BC=1,ZACB=90°,。是4片的中点，歹在上，G为

AB中点.

AC

⑴求证：CG〃平面/；

(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使A瓦，平面G。歹?并证明你的结论.①尸为B片的中点；②

的=百；③A4,=技

21.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3co是菱形，/DAB=60，PA=PD,G为AD的中点.

(1)求证：AD±PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱尸C上找到一点歹，使DFLAD?请证明你的结论.

22.已知正方体相8-4862的棱长为2,耳尸,G分别是相,A综AR的中点.

⑴求证：EF〃平面BCQ；

(2)在线段30上是否存在点H,使得团，平面BCQ?若存在，求线段3〃的长；若不存在，请说明理由;

⑶求播到平面8CQ的距离.

23.(2024•江西赣州•模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A耳G中，侧面A41GC是矩形，侧面2片C。是

菱形，ZB,BC=60,D、E分别为棱48、4G的中点，/为线段C3的中点.

(1)证明：A尸〃平面AOE；

(2)在棱上是否存在一点G,使平面ACGL平面22。。?若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论;

若不存在，请说明理由.

24.(2024•高三•山西大同•期末)如图，四棱锥尸中，底面A3CO为矩形，PAL底面A3CD,

且M,N分别为棱AB.PC的中点，平面CMN与平面PAD交于直线/.

⑴求证：MN//1-,

(2)若尸。与底面ABCD所成角为a,当a满足什么条件时，肱V，平面PCD.

题型七：鳖嚅几何体中的垂直

25.(2024全国模拟预测)如图，在直角梯形A3CD中，AB//CD,ABYBC,E是CO上一点，AB=DE=2,

CD=3,BC=y/3,将VADE沿着AE翻折，使。运动到点尸处，得到四棱锥尸-ABCE.

证明：PB±AE；

26.国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，

可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，

在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,

得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈”.刘徽注解为：“此术腌者，背节也，或曰半阳马，其形有似

鳖肘，故以名云”.鳖席，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体P-ACB中，

平面ACB.

RR

图1图2

(1)如图1,若。、E分别是PC、尸8边的的中点，求证：OE//平面ABC；

(2)如图2,若BCLAC,垂足为C,且/尸54=30,AB=BAC=®,求直线尸8与平面APC所成角的

大小；

(3)如图2,若平面APC_L平面BPC,求证：四面体P-ACB为鳖席.

27.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角

三角形的四面体称之为鳖臆在如图所示的阳马尸-ABCD中，侧棱底面A8CZ),且尸D=CD=2,点、E

是PC的中点，连接。及BD、BE.

证明：小，平面P3c.试判断四面体EBCD是否为鳖席.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若

不是，请说明理由；

28.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角

三角形的四面体称之为鳖席.如图，在阳马P-MCD中，侧棱尸。，底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的

中点E,作EFLPB交PB于点、F,连接DE,DF,BD,BE.

p

证明：P3_L平面DEF；

1.（2024•陕西商洛•模拟预测）如图，四边形A38是圆柱的轴截面,E是底面圆周上异于A,8的一

点，则下面结论中错误的是（）

A.AEVCE

B.3C7/平面ADE

C.平面ADE_L平面3CE

D.止_1_平面3CE

2.（2024•江西景德镇•三模）已知。，6是空间内两条不同的直线，a,£,7是空间内三个不同的平

面，则下列说法正确的是（）

A.若e_L/?,aua,则。，/

B.若。，^,aX./3,则aPa

C.若<zc/?=a,<z±/,则"JL7

D.若a\/3,ac/3=a,b1.a,则。_L（z或

3.（2024•山东泰安•模拟预测）己知直线〃?，〃和平面a,q，aV/3,a/3=m,则〃！.力的必要不

充分条件是（）

A.m//nB.n//aC.n±mD.nVa

4.（2024•四川绵阳•模拟预测）如图所示，在正方体4BCD-中，M是棱A4上一点，平面M3。

与棱CG交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（）

①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面MBA。与直线垂直；④任

意平面MBND］都与平面A®垂直.

C.①④D.①②④

5.（2024•重庆•模拟预测）已知两条直线相，〃和三个平面a,P，y,下列命题正确的是（）

A.若〃7a,mp,则a〃力

B.若a_L6，«±/,则/?〃/

C.若<z_Ly,。1y,a/3=m,则机_1_7

D.若“u7,n//a,n/，a（3=m,则加〃/

6.（2024•江苏常州•模拟预测）已知小，〃为异面直线，直线/与小，力都垂直，则下列说法不正确的

是（）

A.若/J■平面a,则〃?//a,nila

B.存在平面a,使得/_La,mua,n//a

C.有且只有一对互相平行的平面a和£,其中〃?ua,nu（3

D.至少存在两对互相垂直的平面a和£,其中，"ua,nu/3

7.（2024•广东•一模）已知点P,。分别在平面ABCD的两侧，四棱锥尸-ABCD与四棱锥Q-A3CD的所

有侧棱长均为2,则下列结论正确的是（）

A.四边形可能是A3=AC=2的菱形

B.四边形ABCD一定是正方形

C.四边形ABCD不可能是直角梯形

D.平面人尸。不一定与平面ABCD垂直

8.（2024•全国•模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.如

图，已知直三棱柱ABC-4瓦G是堑堵，其中的C=90。，则下列说法中不一定正确的是（）

A.耳G〃平面BACB.平面42（，平面AGC

C.AB1BCD.ABC为锐角三角形

9.（多选题）（2024•浙江•模拟预测）如图，在三棱锥P-厅的平面展开图中，E,尸分别是AB,BC

的中点，正方形A38的边长为2,则在三棱锥P-ED/中（）

A.!PEF的面积为1B.PDYEF

2

C.平面P£F_L平面。EFD.三棱锥P-ED厂的体积为!

10.（多选题）（2024•江苏•二模）设相，”是两条不同的直线，a,6是两个不同的平面，下列命题中

正确的有（）

A.若〃m<za,nu/3,则伞_1£

B.mLa,mHn,nlI/3,则a_L£

C.若&//尸，mua,n，/3,贝!|〃z_L"

D.若/w_La,nV（3,mLn,则e_L/?

11.（多选题）（2024•山西吕梁•二模）如图，在平行六面体A2CD-A耳GR中，底面ABCD是正方形,

。为4G与用口的交点，则下列条件中能成为“AG=A,C”的必要条件有（）

D、

B

A.四边形ACC0是矩形

B.平面AB耳A，平面ACGA

C.平面BDD黑_L平面ABCD

D.直线0ABe所成的角与直线OC,M所成的角相等

12.（2024•陕西•三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于AB的一点，则下

.（填序号）

①AEJ_CE；②BELDE；③£>E_L平面3CE；④平面AZ2E_L平面BCE.

13.（2024•黑龙江•模拟预测）已知矩形A38,其中AB=8,AD=4,点。沿着对角线AC进行翻折,

形成三棱锥。'-A3C,如图所示，则下列说法正确的是（填写序号即可）.

①点D在翻折过程中存在BD'LAC的情况;

②三棱锥。'-ABC可以四个面都是直角三角形;

③点。在翻折过程中，三棱锥O'-ABC的表面积不变;

④点。在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变.

0AC=4,AB^4AF=4EC,且所交AC于点G,现

沿折痕4c将△ADC折起，直至折起后的DCL3C,止匕时的面积为.

D

15.（2024•四川•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AT>=2,点E为线段CO的中点，沿直线AE

将VADE翻折，点。运动到点P的位置.当平面PAEL平面A3CD时，三棱锥P-ABC的体积为.

16.（2024•广东•二模）如图，三棱柱ABC-AqG的底面是等腰直角三角形，NACB=90。，侧面ACGA

是菱形，/4AC=60o,AC=2,平面ABCJ_平面ACC】A.

(1)证明：AC±AB1.

（2）求点G到平面A网4的距离.

17.（2024•河南郑州•二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，AB=AC,ABAC=90°,

点M,N分别为A3和B'C的中点.

（1）证明：MN〃平面A4'C'C；

(2)设AB=4A4，，当彳为何值时，CN，平面A'MN?试证明你的结论.

18.(2024•全国•模拟预测)如图，在四棱柱ABCO-ABCI，中，平面48瓦4和平面BCG片均垂直于

平面ABCD.

(1)求证：平面。平面A3CD；

(2)若M为A4的中点，底面ABCD是正方形，44,=243=4,求三棱锥C「MB。的体积.

19.（2024•四川成都三模）如图，在三棱台ABC-D£F中，H在AC边上，平面ACFD，平面ABC,N4CD=60。,

CH=2,CD=4,BC=y/3,BH±BC.

⑴证明：EFLBD；

(2)若VABC的面积为地，求三棱锥O-ABH的体积.

4

匐3

1.（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体ABC。-$qGR,则（）

A.直线与3A所成的角为90。B.直线BG与CA所成的角为90。

C.直线BG与平面8BQO所成的角为45。口.直线5G与平面42C£＞所成的角为45°

2.（2024年新课标全国II卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，AB=8,8=3,AD=5若，ZADC=90°,

?1

N8AD=30°,点E,尸满足=AF=-AB,将△AEF沿跖翻折至！正砂，使得PC=4A/L

⑴证明：EF工PD；

3.（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=^.

⑴求证：3C_L平面B4B；

4.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，，平面ABC,/ACB=90。.

(1)证明：平面ACGA，平面8片GC；

(2)设42=4民的=2,求四棱锥A-B4GC的高.

5.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)如图，在三棱锥P-ABC中，ABYBC,AB=2,BC=2形,

PB=PC=®BP,AP,BC的中点分别为。，E,O,AD=s/5DO,点尸在AC上，BFA.AO.

(1)证明：EF//平面ADO；

(2)证明：平面ADO_L平面2£尸；

6.(2023年新课标全国H卷数学真题)如图，三棱锥A-3CZ)中，DA=DB=DC,BD1CD,

ZADB=ZADC=60,E为BC的中点.

(1)证明：BC±ZM；

7.(2022年新高考浙江数学高考真题)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,NBAD=NCDE=60。，二面角尸—OC—3的平面角为60。.设M,N分别为

的中点.

⑴证明：FN±AD；

8.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)如图，四面体ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB-ZBDC,

E为AC的中点.

(1)证明：平面BED_L平面AC。；

(2)设AB=80=2,NAC3=60。，点尸在8。上，当.、AFC的面积最小时，求三棱锥尸-ABC的体积.

DE1+BE1=BD1'所以DE工BE，

9.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥P-ABCD中，底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=B

P

10.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体ABCD中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,

E为AC的中点.

（1）证明：平面3ED_L平面ACD；

11.（2021年全国新高考n卷数学试题）在四棱锥Q-A8CD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

（1）证明：BFLDE；

14.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,

M为BC的中点，且PB14M.

(1)证明：平面R4M1平面尸8D；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

15.(2021年全国新高考I卷数学试题)如图，在三棱锥A-3co中，平面平面3CO,AB=AD,

。为3。的中点.

(1)证明：Q41CD；

(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-。的大小为45。,

求三棱锥A-3CZ)的体积.

第04讲直线、平面垂直的判定与性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：垂直性质的简单判定.....................................................2

题型二：证明线线垂直...........................................................2

题型三：证明线面垂直...........................................................4

题型四：证明面面垂直...........................................................5

题型五：面面垂直的性质定理.....................................................7

题型六：垂直关系的综合应用.....................................................8

题型七：鳖月需几何体中的垂直....................................................11

02重难创新练.................................................................13

03真题实战练.................................................................19

题型一：垂直性质的简单判定

1.设戊、力是两个平面，加、力是两条直线，且。/3=m.下列四个命题：

若mhn,则〃〃or或〃〃尸②若m_L*则a"_1_尸

③若九〃2，旦n邛,贝！④若"与。和£所成的角相等，则机

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】对于①：若"ua,因为///〃，mu。,则山/广，

若"u尸，因为宿/“，mua,贝!]〃〃0,

若〃不在a也不在?内，因为租//“，mua,m<^/3,

所以M/a且出/夕,故①正确；

对于②：若机，“，则"与a,夕不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误;

对于③：过直线〃分别作平面，与夕，户分别相交于直线。，直线b,

因为“//a,过直线”的平面与平面口相交于直线a,所以“〃a,

同理可得〃//6,所以a//b,

因为aua,buB,则a//〃，因为aua,a13=m,则a〃加，

正方体ABC£>-中，平面A3CD平面ADRA=AD,

DBt与平面ABCD所成角为NBQB,

DBt与平面ADD^所成角为NBQA,

1_A/2

又tan/B]DB=tanABXDA^=

综上只有①③正确.

故选：A.

2.（2024•四川成都•三模）己知直线/、加、"与平面a、?，下列命题正确的是（）

A.若/_L”，mLn,则/〃加

B.若/_La,1///3,则

C.若/_Lc,/_!_根，则机〃。

D.若aJ■尸，a/3=m,I±m,贝（

【答案】B

【解析】对于A,若/_!_〃，则/，“平行、相交或异面；

对于B,若/〃?，则存在使得//4,又因为/La,《，口,而4u尸，所以a,6，故B正确；

对于C,若/_La,/_!_,〃，则〃?//c或帆ua,故C错误；

对于D,若a工尸,a（3=m,l±m,且如果/不在。内，则不会有故D错误.

故选：B.

3.（2024•陕西安康•模拟预测）已知根，〃是两条不同的直线，a,8,7是三个不同的平面，下列命

题为真命题的是（）

A.若e_L£,/3,则B.若a_L£,mua,nuf3,贝I]m_L”

C.若nVa,贝!|加〃"D.mVn,mlla,alI/3,贝1」77_1_乃

【答案】C

【解析】A：若则a与7可能相交，可能平行，故A错误；

B：若a_L£,〃?ua,〃u6，则加与〃可能相交，可能平行，故B错误；

C：若〃工_Lc,〃_L。，由线面垂直的性质知〃z〃"，故C正确；

D：若m工n,m//a,a”,则"与?可能相交，可能平行,故D错误.

故选：C

题型二：证明线线垂直

4.（2024•四川宜宾•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，AD=PD=2,ZPDC=120°,

PA=2及，点E为线段PC的中点，点F在线段4B上，且AF=g.

⑴求证：CDLEF；

（2）求三棱锥P—ABD的体积.

【解析】（1）证明：在正方形ABCO中，AD=CD,又AD=PD=2,APD=CD=2

在中，点E为线段PC的中点，DELPC,DE平分NPDC,

在RtACDE中，DE=CDcos60°=l,

过E作由J_CZ）交CD于X,连接用，则r>//=DEcos60o=L,

2

在正方形ABCD中，；•四边形AH，)是矩形，

2

/.CDLFH,又CDLEH,EHFH=H,EH,FHu平面EFH,

二CD_L平面及H,又EFu平面EFH,，CD1.EF.

(2)法一：在△PAD中，VAD=PD=2,PA=2叵，：-AD^PD,

在正方形ABCD中，AD±CD,而CDPD=D,CD,PDu平面PCD,

AT>_L平面尸CD,ADu平面ABCD,平面PCD_L平面ABCD,

平面尸CD：平面A5cz）=C£>,过尸作2。，8交CD于Q,尸。/平面A3CD,

VZPDC=120°,：.ZPDQ=60°,PQ=PDsin60。=6,

SABO=2,VP-ABD=；X2义道=

法二：在中，VAD=PD=2,PA=272>ADLPD,

在正方形ABCD中，ADVCD,而CDPD=D,CD,PDu平面PCD,

AD_L平面PC。，SABD=SACD=2,S^PCD^DP-DCsin120°=>^

VP-ABD=VP-ACD=VA-PCD=।S&PDC,AD=~~'

5.（2024•福建龙岩•三模）如图，在四棱台ABC。-44G2中，底面四边形ABC。为菱形,

ZABC=60°,AB=2A4；=244,M1平面ABCD.

证明：BD±CCl；

【解析】在四棱台ABC。-ABGR中，44]，CG延长后必交于一点，

故AC,G，A四点共面，因为44]_L平面ABCD,5£>u平面A3cD,故AAJBD,

连接4C，4Q,因为底面四边形ABCD为菱形，故ACS3O,

441cAe=A,A4j,ACu平面AC£A,故8。2平面ACC〕A,

因为CGu平面ACC|A，所以3D上eq.

7T

6.如图，三棱柱ABC-A4G中，侧面MGC是边长为2的正方形，AB=2及,

【解析】，侧面AC£A是边长为2的正方形,

二招"G，M=AC]=2,AC1=6,

侧面4418n是平行四边形，

TT

ZBBX\=ZBAAX=-,

在，BAA,中,由余弦定理有端+AB2-\B2=2A4j-ABcos^BA^,

解得AB=2,.44/是直角三角形,

AAt1A.B,ABcAG=A，A1B,AGu平面A^G，

二招，平面A2G，又BGu平面A^G，

A4(1BC［；

7.（2024•陕西商洛•模拟预测）如图1,在平面四边形BCDP中，PD//BC,BALAD,垂足为

A,PA=AB^BC^2AD,将PAB沿翻折到△&4B的位置，使得平面，平面A3C。，如图2所示.

（1）设平面SCZ）与平面&45的交线为/,证明：BC1Z.

【解析】由题意可知3CLAB.

因为平面AS81平面ABCD=AS,平面5AB_L平面ABCD,3Cu平面ABCD,

所以3C_L平面S4B,

因为平面SCD。平面=/,所以/u平面&LB,则3C_L/.

题型三：证明线面垂直

8.如图所示，A3是（。的直径，点C是。。上异于A,PC,平面ABC,E、尸分别为R4,PC的中点,

求证：E凡L平面PBC；

【解析】证明：因为尸C,平面ABC,ACu平面ABC。所以尸CLAC,

因为45是（。的直径，知ACL3C,

因为PCc3C=C,且尸C,BCu平面尸3C,所以AC_L平面尸BC,

由E,尸分别是尸APC的中点，所以砂〃AC,所以平面PBC.

9.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-43©中，E是4A上的点，且平面ABg.

求证：3CL平面肌耳8；

【解析】因为AE，平面ABG，BCiU面AB。，所以AE1BC，又BCLBg,所以AELBC,

又三棱柱ABC-A冉G是直三棱柱，所以发，

又易知4E与相交，AE，B耳u面4448,所以8C_L平面A4181g.

10.（2024•全国•模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是人。的中点.

（1）求该圆柱体的体积；

（2）证明：平面ABE；

【解析】（1）由已知可得圆柱的底面半径r=l,高为=2,

二唳=5底♦〃="％=2兀故该圆柱体体积为27r.

（2）是弧AD中点，?.AELDE

由题可知平面ADE,且DEu平面ADE,

；•ABLDE

又因为AEcAB=A,AEu平面ABE,ABu平面ABE

所以DE_L平面ME.

11.（2024•宁夏银川•一模）如图，在四棱锥尸一ABCD中，已知PA=PC=尸。,AB〃C£>,/ADC=90,O

是AC的中点.

A"B

⑴证明：PO_L平面ABCD；

（2）若4£»=。。=「0=2他=2,点石是2。的中点，求点E到平面PAD的距离.

【解析】（1）PA=PC,。是OC的中点

连接OD，QZADC=90°,：.OA^OD,

4：笠一二检

AB

在,POA和POD中上4=PQ,尸O=PO,OA=ODPOA=.■POD,

:.ZPOA=ZPOD=90，:.PO±OD,

OAOD=O,Q4,ODu平面ABC。，「.PO_L平面A3al.

（2）因为E是尸C的中点，

所以点E到平面9D的距离就是点C到平面上4。的距离的一半，

设点C到平面PAD的距离为h,

因为AD=DC=PO=2AB=2,

所以AO」AC」JAD2+CZ）2」,22+22=叵,

222

i^PA=PD=VPO2+OA2=V22+V22=屈,

设点6为AD的中点，则AG=1,PG=JPA.一AG，=J后一F=君，

所以S功=gxADxPG=gx2x布=5,SACD=1xA£>xCD=1x2x2=2,

因为％-PAD=VP-ACD，

CCIU1c,1c,,,SACD-PO2x2475

所以qxSPAD-h=-xSACD-PO,故/z=-------

333P4八"\/53

所以点E到平面PAD的距离为型.

5

题型四：证明面面垂直

12.(2024•四川资阳•二模)如图，在四面体ABC。中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC1BD,E,

产分别为AB,AC的中点.

(1)证明：平面ACD_L平面BCD；

(2)求点A到平面BDF的距离.

【解析】(1)

取C。的中点。，连接OA,OB,

因为BCLBD,BC=BD=2,所以O3_LCD,J.CD=2A/2,OB=-CD=-Ji,

2

又AC=AD=2,OALCD,OA1AC2-CO2^2,OA=42,

所以+=钻2,可得。4_LOB,

又OBCD=O,OB、CDu平面BCD,所以。4，平面8。，

又OAu平面ACO,所以平面4co_L平面BCD；

(2)因为AB=2,所以由(1)可得03=&,CD=2-j2,

S——xCDxOA=—x2\/2x5/2=2,

.ACr”n22

V=_S-OB=-x2x>/2=———,

DB—3aAcld^U3,3

又尸为AC的中点，所以匕8帆=!%<48=史，

t5L)r2o—AC£z3

在AB。尸中，BD=2,BF=曲，DF=y]AD2+AF2=75-

,clcBF2+DF2-BD-2

贝Ucos/BFD=-----------------------=-^=-,

2BFDF715

所以sinZBRD=^

V15

则SBDF=-BFDFsinZBFD=—

22

设点A到平面8。尸的距离为d,则!x姮1=变，

323

解得d=RH,即点A到平面瓦加的距离为拽1.

1111

13.(2024•四川成都模拟预测)如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD,ABAD=f^)°,AB=1,AD=CD=2,

BELCD.

(1)证明：平面平面ABC。；

(2)^ADYDE,DE=4金,F为CE中点,求三棱锥歹-ABE的体积.

【解析】(1)在中，由余弦定理得RBTATP+M?—2Ao.年-05//148=6-

由AD?=QB2+AB2,得DB_LAB,而CD〃AB,EBLCD,则£B_LAB,

又EB\DB=B,EB,DBu平面EDB,因此AB_L平面EDB,而ABu平面ABC。,

所以平面£DB_L平面ABCD.

(2)由尸是EC中点，得/且£=3%一树=：/一—

E

由（1）知AB_L平面ED8,EE>u平面EDB,则AB_LED,

而EDJ_AD，AOcAB=4,AD,ABu平面ABC。，则ED_L平面ABC。，

因此/.ABC=g枷•即=3；x1xgx40=半.即匕置B"半,

所以三棱锥P-ABE的体积为逅.

3

14.（2024•广西•模拟预测）在长方体ABCD-AB|G2中，点E，P分别在8月，上，且A产，AQ,

求证：平面ACD_L平面AEF；

【解析】ABC。-4耳G2为长方体\CD人平面A412n

”匚平面四口。二CD±AF

又：Afj.4。，且COAtD=D,CD,4。<=平面40）,

AFL平面ACO

AFu平面4EF

平面AEF,平面ACO

15.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,ZS4D=60°,E为边CO上

的点，CB=CE=1,以£S为折痕把一CEB折起，使点C到达点P的位置，且三棱柱APE的体积为"

O

p

证明：平面P3E_L平面B4E;

【解析】证明：由CB=CE=1,ZBCD=60°,_CEB为正三角形.

设距的中点为O,连接P。，则尸

则尸O=CO=3.易知|AD|=|。国=1,ZADE=120°,

所以SA桃=；•|AD|•|DEksinZADE=今.

所以，V=V=—­S.-h=h=—ih==IPO\,

DAPErp-AUDEE,3ZXAADUEtt]28,।।

故尸OJ_平面ABC。，AEu平面ABCD,所以尸O_LAE.

又易知VADE中ZAED=30°,ZA£B=90°,BE±AE,

又BEPO=O,BE,POu平面PBE,

所以AE_L平面尸BE.

又AEu平面DIE,所以平面尸BE_L平面PAE.

题型五：面面垂直的性质定理

16.如图，在四边形A3CD中，是边长为2的正三角形，以〃CD,CD=2.现将沿3。边折起,

使得平面平面3c。，点E是AD的中点.

求证：平面ACD；

【解析】（1）因为平面平面38,平面ABDc平面3a>=%>,BD1CD,8u平面3cO,所

以CD_L平面AB£）,

又因为BEu平面ABD,所以CD_LBE,因为E为AD中点，为正三角形，所以HCAD,

又因为AD,Cr>u平面ACD,ADCD=D,所以平面ACD.

17.（2024•四川成都•模拟预测）如图所示，斜三棱柱ABC-A片G的各棱长均为2,侧棱B片与底面ABC

所成角为三7?，且侧面底面A3C.

证明：点用在平面ABC上的射影。为A5的中点；

【解析】过功作用于O,

由平面ABB】A_1_平面ABC,平面'平面ABC=AB，

qOu平面Bfl1AB,得与。J■平面ABC,因此/