2025年新高考数学一轮复习：函数与基本初等函数（测试）（学生版+解析）

第二章函数与基本初等函数（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.函数〃x）=3"2*的一个单调递减区间为（）

A.（-8,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,^o）

2.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的特殊的几何图形，即441个点.

根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3x1015个二维码，那么所有二

维码大约可以用（）（参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477）

A.10切万年B.10⑵万年C.10⑵万年D.万年

x2+l,x<l

3.已知函数/（尤）=,存在最小值，则实数a的取值范围是)

2、一。，龙>1

A.(-℃,1]B.(-8,1)C.[1,+8)D.(l,+oo)

4.对函数=x+=?作％的代换，则不改变函数/（力值域的代换是（）

A./z")=sin/,tG0,3B./i(，)=sin，，G[0,TT]

71兀D./i«)=gsin1,

C.M，)=sin/，te[0,2TI]

252

5.已知函数“x)=(e"+er卜加-2在[-2,2]上的最大值和最小值分别为〃，N,则M+N=()

A.-4B.0C.2D.4

6.直线x=4与函数/(力=1呜W。>1)送(*)=1%》分别交于48两点，且|的=3,则函数

2

MX)=〃x)+g(x)的解析式为()

A.h(x)=-log2xB.h^x)=-log4x

C./z(x)=log2xD./z(x)=log4x

3

吗e2犬-3+4x,%2],

3

7.已知函数〃x)=<的图象关于直线x=,对称，则叫+%+啊=)

23

2e+m2x+砥,x<一

A.8B.10C.12D.14

8.已知函数g(x)=x-3,方程/(g(x))=-3-g(无)有两个不同的根，分别是占,马,则

士+%=()

A.0B.3C.6D.9

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

10.已知定义在R上的函数/⑺满足/Q+x)+/(l-x)=0,且/⑺不是常函数，则下列说法中正确的有()

A.若2为"X)的周期，则Ax)为奇函数

B.若/(x)为奇函数，则2为/(尤)的周期

C.若4为Ax)的周期，则了(元)为偶函数

D.若Ax)为偶函数，则4为"X)的周期

11.已知函数〃x)=L工51’其中〃。1/伊卜/匕"彳，且a<6<c,则()

A./[/(-2)]=-32B.函数g(x)=〃x)-有2个零点

C.a+b+ce\^+log3,4jD.e(^log35,0)

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数〃x)=ln--a)-x(xeR)为偶函数，则”.

13.已知函数〃力=随,，若=则当2J3"取得最小值时，7=.

14.已知奇函数的定义域为R,/(%+3)=-/(-%),且"2)=0,则“X)在［0,6］上的零点个数的最

小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

已知函数〃力=12—x-2|+|x—2|.

⑴画出函数的图象；

⑵求关于x的不等式/(耳4卜+1的解集.

16.(15分)

已知二次函数/(X)的最小值为-4，且关于X的不等式f(x)<0的解集为{x|-3<x<l,xeR}

(1)求函数“X)的解析式；

(2)若函数g。)与Ax)的图象关于丁轴对称，且当尤>0时，g(x)的图象恒在直线>=区-4的上方，求

实数上的取值范围.

17.(15分)

正安县是中国白茶之乡.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100℃的水泡制，

待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置

时间，每隔Imin测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：

时间/min012345

水温/℃1009182.978.3772.5367.27

设茶水温度从100℃经过由加后温度变为y℃,现给出以下三种函数模型：

=cx+/?(c<0,x>0)；

@y-cax+(c>0,0<a<1,x>0)；

(3)^=loga(x+c)(a>l,c>0,x>0).

(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

(2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)；

(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.(参考数据：

lg3=0.477,lg5=0.699)

18.(17分)

已知函数y=9(x)的图象关于点尸(。,b)成中心对称图形的充要条件是y=9(a+x)-6是奇函数，给定函

数/(x)=x__.

x+1

⑴求函数/(x)图象的对称中心；

(2)判断“尤)在区间(0,+8)上的单调性(只写出结论即可)；

(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当xe[0,l]时，g(x)=f一加+忆若对任意看且0,2],总

存在X2e[l,5],使得g(再)=/(%),求实数〃，的取值范围.

19.（17分）

a

设n次多项式Pn(0—nt"---F生产+4/+。0尸0),若其满足P„(cosx)=cosnx,则称这些多

项式月⑺为切比雪夫多项式.例如：由cosd=cos(9可得切比雪夫多项式片(无)=%,由cos26=2cos可

2

得切比雪夫多项式P2(x)=2x-l.

⑴若切比雪夫多项式鸟(彳)=渥+/+5+〃，求实数a,b,c,d的值；

(2)对于正整数九.3时，是否有P„(x)=2x-P„_l(x)-隼2(x)成立？

(3)已知函数/(尤)=8/-6%-1在区间(-1,1)上有3个不同的零点，分别记为占,超,无3,证明：

玉+々+/=°•

第二章函数与基本初等函数（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.函数〃尤）=3入洞的一个单调递减区间为（）

A.（fO）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】A

【解析】令♦=/一2N，则y=3'，

由复合函数的单调性可知：

/（x）的单调递减区间为函数/=丁一2凶的单调递减区间，

又函数，（一X）=（-X）2-2|-x|=t（x）,

即函数f（x）为偶函数，

结合图象，如图所示，

可知函数”/-2国的单调递减区间为和（0,1）,

即的单调递减区间为（-双-1）和（0』）.

故选：C.

2.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的特殊的几何图形，即441个点.

根据0和1的二进制编码规则，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3x1015个二维码，那么所有二

维码大约可以用（）（参考数据：lg2土0.301,lg320.477）

A.109万年B.IO1?。万年C.10.万年D.10⑵万年

【答案】B

【解析】万年用掉3xl()i5个二维码,

二大约能用品7万年，

?4410441

设x=-----,则1口=1g------=坨2匈-(lg3+IglO15)=4411g2-lg3-15a441X0.301-0.477-15®117,

3x103x10

艮［1%乏10"7万年.

故选：A.

Ijr^-J-1X<］

3.已知函数〃x)=2工_。］；］，存在最小值，则实数。的取值范围是()

A.(—』［B.C.［1,+<»)D.

【答案】B

【解析】当时，/(%)=%2+1,

所以“X)在(-8,0)上单调递减，在(0』上单调递增，则〃尤)碗=/'⑼=1,

当x>l时,f(x)=2x-a,所以“尤)在(1,+8)上单调递增，无最小值，

根据题意，存在最小值，

所以2-a^l,即々<1.

故选：A.

4.对函数=x+"二巨作x=的代换，则不改变函数值域的代换是()

A.力⑺=sin/,tG0,^B.%«)=sin/,rG[0,7I]

7171

C.M，)=sin/,te---D./z(z)=—sin^,te[0,2TI]

22

【答案】A

【解析】因为函数〃x)=x+F^的定义域为{x|-14尤41},且不是周期函数,

当x=/z⑺时，其：-LW/z(r)Vl,

对于A项，当时，0<sinr<l,即0</1('卜1，这与TV/?(/)〈1不符合，故A项不成立;

对于B项，当/©［(),无］时，0<sin?<1,BP0<7z(f)<l,这与-1W/?(/')41不符合，故B项不成立；

对于C项，当爪-今；时，—lWsinfVl,BP-l</z(r)<l,故C成立；

对于D项，当fe［0,2兀］时，-iWsinYl,即这与-14人⑴41不符合，故D项不成立;

故选：C.

5.已知函数〃x)=(e'+eT卜inx-2在［-2,2］上的最大值和最小值分别为N,则M+N=()

A.-4B.0C.2D.

【答案】B

【解析】令g(x)=〃x)+2=(e，+efsinx,定义域为R,

因为〃x)在［-2,2］上的最大值和最小值分别为以，N,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值和最小值分别为M+2,N+2,

因为g(-*)=(尸+ex)sin(-x)=-(e-Y+exjsinx=-g(x),

所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，

所以g(x)的最大值和最小值互为相反数，即M+2+N+2=0,

所以M+N=-4,

故选：A.

6.直线x=4与函数/(力=>1)，g(%)=1华产分别交于AB两点,且|AB|=3,则函数

2

/z(x)=/(_r)+g(x)的解析式为()

A./J(X)=-log2xB./z(x)=-log4x

C./z(x)=log2xD./z(x)=log4x

【答案】B

【解析】由题意可知，定义域为(。,内)，

函数在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减，

则|人用=log“4一log,4=log04+2,

所以log.4+2=3,

解得a=4,

所以M%)=log4x+logy=log4r-log2x=log4r-210g/=-log4x

2

故选：B.

3

m2k③+4x,x>—,

2

7.已知函数〃x)h3的图象关于直线尤对称'贝(J叫+叫+/=()

32x

2e~+m2x+m3,x<—"

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

z、m)e2x+4x+6,x＞0,

【解析】依题意，g”小+/2………〈。为偶函数'

2x2x

当工＜0时,g(一%)=m^—4x+6,g(x)=2e~+m2x+—m2+叫

3

由g(—x)=g(x)可知叫=2,m2=-^-m2+mi=6,

解得叫=2,外=-4,？=12,所以叫+%+?=10.

故选：B

8.已知函数〃x)=：；：：：g(x)=x-3,方程f(g(x))=-3-g(x)有两个不同的根，分别是%马,则

x,+x2=()

A.0B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】由题意得：g(x)=x-3为R上的增函数，且g⑶=0,

当尤W3时，g(x)M0,/(g(x))=ex-\

当x>3时，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),

方程/(g(x))=-3-g(x)=-x有两个不同的根等价于函数＞=/(8(")与，=-邛勺图象有两个交点,

作出函数/(8。))与丁=-％的图象如下图所示：

由图可知＞=«"3与y=ln(x-3)图象关于y=x-3对称，

则两点关于y=x-3对称，中点C在y=x-3图象上，

fy=—x

由。，解得：'

[＞=尤-3

3

所以占+无2=2X]=3.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

【解析】由题意知1-|尤快。，则XW±1,当xe(O,l)时，l-]x|>0,1>0,f(x)>0,

a

当xe(l,4<o)时，1-|龙|<0,x>0,f(x)<0,

所以/(丈)的大致图象不可能为C,

而当。为其他值时，A,B,D均有可能出现，

不妨设&=；,定义域为[0」)U(l,y)，此时A选项符合要求；

当戊=1时，定义域为{x|x片±1},且八一幻=匚三1=匚匕=-/(%)，

1一|一X|L—|X|

Y

故函数为奇函数，所以B选项符合要求，

一I%1

当0=2时，定义域为{x|xw±l},且/(T)=_tD_=-L=〃x),

1—|—X|1—|X|

Y2

故函数"X)=7^为偶函数，所以D选项符合要求.

1-|x|

故选：ABD

10.己知定义在R上的函数/(x)满足/(1+刈+/(1-彳)=0,且Ax)不是常函数，则下列说法中正确的有(

A.若2为/*)的周期，则Ax)为奇函数

B.若Ax)为奇函数，则2为/(x)的周期

C.若4为了⑺的周期，则/⑺为偶函数

D.若/(x)为偶函数，则4为/(x)的周期

【答案】BBD

【解析】对于A：若2是AM的周期，则/(尤+2)=/(x),

由/(l+x)+/(l-尤)=0,可得/(2+尤)=f(l+x+==_/(_*),

所以/(-%)=-/(尤)，所以为奇函数；故A正确；

对于B：若/a)为奇函数，贝U/(-》)=一/。)，

由/(l+x)+/(l-无)=0,可得/(2+x)=/(l+x+l)=-/(l-x-l)=-/(-x)=/(x),所以2是的周期,故

B正确；

若4是/(x)的周期，设/(x)=sin%x,则/(1一x)+/(l+x)=sin(7t+7ix)+sin(7i_7tx)=O,

该函数的最小周期为2兀，故4兀为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确；

对于D：若Ax)为偶函数，贝IJ/(-无)=/(x),

由=可得/(x-1)=-/(x+1),所以/(x)=-/(x+2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(尤)，所以4是/⑺的周期，故D正确.

故选：ABD.

4无一无2X>0

11.已知函数〃元)=L工'二’其中/(a)="6)=〃<?)=4,且a<6<c,则()

A./[/(-2)]=-32B.函数g(x)=〃x)T⑷有2个零点

C.a+b+cE4+log3-,4D.e(^Hog35,0)

【答案】BCD

【解析】/[/(-2)]=/(8)=-32,故A正确;

作出函数〃尤)的图象如图所示,

观察可知，0<%<4,而〃/)e(O,4),

故y=〃x),y=/(2)有3个交点，

即函数g(x)有3个零点，故B错误；

由对称性，b+c=4,而ajlogj。,。)，

ita+^+ce^4+log31,4^,故C正确；

b,c是方程彳2-4*+/1=0的根，故》c=4,

令3-"-1=2,则a=-log3(l+2),

故仍c=Tlog3(l+4),而y=4,y=log3(l+%)均为正数且在(0,4)上单调递增，

^6zZ?ce(-41og35,0),故D正确，

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数〃尤)=ln(e2*-a)-x(xeR)为偶函数，贝1］"=.

【答案】-1

【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(r)=f(x),即ln(e〜—勾+彳=如伊_勾_尤,

即ln(l—ae~")—x=ln(e~*-a)-x,即1—ae?*=e2*—a,所以a=—1,

故答案为：-1

13.已知函数〃x)=|lg,,若〃a)=〃b)(a"),则当20-3〃取得最小值时，y=_____.

b

【答案】log23

【解析】由得一lgQ=lg/=lgZ?,即勿?=1,令z=2"・3J

贝ljInz=a.In2+6.In322yJa-ln2-b-ln3=2Jin2.In3

当且仅当ali2=〃.ln3,即f=2|"=log23时，Inz取得最小值，此时z也取得最小值.

bm2

故答案为：log?3.

14.已知奇函数〃尤)的定义域为R,/(x+3)=-/(-%),且〃2)=0,则“X)在［0,6］上的零点个数的最

小值为.

【答案】9

【解析】由〃X+3)=-〃T),可得〃尤)的图象关于点||,o］对称，

又了⑴是奇函数，所以〃x+3)=-〃-x)=〃x),

则〃x)的周期为3,所以〃0)=〃3)=〃6)=0,

〃5)="2)=0,〃4)=〃1)=〃—2)=—〃2)=0,

而/(1.5)=/(-1.5)=-/(1.5),则“1.5)="4.5)=0.

故/⑴在［0,6］上的零点个数的最小值为9.

故答案为：9.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

已知函数，(力=——x-2|+|x-2|.

⑴画出函数/(x)的图象；

⑵求关于x的不等式的解集.

【解析】(1)由％2_%一2=0,角窣得尤=2或x=—1,

当了22时，f(x)=x2-x-2+x-2=x2-4,

当—1<%<2时，f(x)=-X2+x+2-x+2=4-x2,

22

当xK-1时，/(x)=x-x-2-x+2=x-2xf

x2-4,x>2

所以/(x)=,4-X2,-1<X<2,(5分)

『-2x,%W-1

画出函数的图象如图所示.

(7分)

(2)法一：当x22时，原不等式转化为X2-4WX+1,得2WxV小包；

2

当—l<x<2时，原不等式转化为4-V4尤+1,得士巫V尤<2；(9分)

2

当工«-1时，原不等式转化为％之一2%«一工一1,无解.

综上，原不等式的解集为(13分)

法二：当—+M解得-告名,

当，4…M解得户誓,

-1+V131+V21

数形结合可知，当〃力4卜+1|时,-----------<x<----------(12分)

22

即原不等式的解集为(13分)

16.(15分)

已知二次函数/*)的最小值为T,且关于X的不等式/(%)<0的解集为{x|-3<x<l,xeR}

(1)求函数Ax)的解析式；

(2)若函数g(无)与Ax)的图象关于y轴对称，且当x>0时，g(x)的图象恒在直线丫=履-4的上方，求

实数上的取值范围.

【解析】(1)因为Ax)是二次函数，且关于x的不等式7(x)4。的解集为{x|-3VxVl,xeR},

所以/(%)=+3)(%—1),a>0,

所以当九二—1时，/(%)1nhi=/(-1)=—4。=一4,所以，=1,

故函数f(x)的解析式为/(x)=(x+3)(x-1)=Y+2x-3.(6分)

(2)因为函数g(x)与/*)的图象关于V轴对称，

所以g(x)=/(-X)=X2-2X-3,

当尤>0时，g(x)的图象恒在直线丫=履-4的上方，

所以g(X>>辰-4,在(0,+8)上恒成立，

即尤2-2x-3>Ax-4,所以左<x+'-2,(9分)

X

令"(%)=%+工一2(%>0),贝|J%<领入焉，

X

因为力（彳）=彳+,-2224%,-2=0（当且仅当x=L即x=l时，等号成立），

xVxx

所以实数左的取值范围是（-8,0）.（15分）

17.（15分）

正安县是中国白茶之乡.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100℃的水泡制，

待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置

时间，每隔Imin测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：

时间/min012345

水温/℃1009182.978.3772.5367.27

设茶水温度从100℃经过/n后温度变为y℃,现给出以下三种函数模型：

=cx+/?（c<0,x>0）；

@y-cax+&（c>0,0<a<l,x>0）；

③y=log”（x+c）（a>l,c>0,x20）.

（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；

（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：

lg3=0.477,lg5=0.699）

【解析】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，

ca+i>=100c+b=100a=0.9

选模型②，则ca'+b=9l,即，ca+b=91,可得，b=10,

ca2+b=82.9ca2+b=82.9c=90

所以y=90x0.9*+10且xNO.（5分）

(2)令>=90*0.于+10=60,

所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为5.54min.（12分）

（3）由09e（0,l],即ye（10,100],所以进行实验时的室温约为10℃.（15分）

18.（17分）

已知函数y=o（x）的图象关于点尸m,6）成中心对称图形的充要条件是y=°（a+尤）-匕是奇函数，给定函

数/（了）=尤—.

X+1

⑴求函数“X）图象的对称中心；

（2）判断“尤）在区间（0,+8）上的单调性（只写出结论即可）；

（3）已知函数g（x）的图象关于点于1）对称,且当xe[0,l]时，8（X）=/一四+区若对任意而田0,2],总

存在X2e[l,5],使得g（xj=/（%）,求实数优的取值范围.

【解析】（1）设函数“尤）的图象的对称中心为（“/），则/（a+x）+“a-x）-2匕=0,

艮[J（尤+°）---------F（一尤+a）-----------2Z?=0,

x+a+1—x+Q+1

整理得（Q-b）x2=（a-b）（a+1）2-6（a+1）,

（a-b=0,

可得+l）2-6（a+l）=0'解得一

所以〃元）的对称中心为（--I）.（4分）

（2）函数/（无）=x-一、在（。,内）上单调递增；

元+1

证明如下：

任取石，尤2e（0,+co）且占,

贝IJ/（再）一/（百）=占一一-9+—^7=（王一尤2）[1+----------,

xl+Jx2+1（芭+l）（x2+1）

1Ic

因为%£（°，+8）且玉＜W，可得玉一%＜°且1+；----------＞0,

所以/（%）-/（々）＜。，即/（占）＜/（々），

所以函数〃彳）=尤-一与在（0,+8）上单调递增.（8分）

X+1

（3）由对任意占€[0,2],总存在％e[1,5],使得g（尤1）=/（々），

可得函数g（x）的值域为“X）值域的子集，

由（2）知〃尤）在口,5]上单调递增，故“尤）的值域为[-2,4],

所以原问题转化为g（x）在。2]上的值域Au[-2,4],（9分）

rrj

当一W0时，即机＜。时，或光）在[0,1]单调递增，

2

又由g⑴=1,即函数冢%）=f一如+根的图象恒过对称中心（11）,

可知g（%）在（1,2]上亦单调递增，故g（%）在[0,2]上单调递增，

又因为g（0）=根，g（2）=2-g（0）=2-m,故4=即,2-汨，

因为[私2-汨7[一2,4],所以机＞一2,2-m＜4,解得一24根40,

当0＜晟＜1时，即0＜2时，g（x）在（0,§单调递减，在（?1]单调递增，（11分）

因为g(x)过对称中心(1,1)，故g(x)在(L2-9递增，在(2一5,2]单调递减，

故此时A=[minjg(2),g1羡，,max|g(0),g12-1)},

欲使Au[-2,4],

^(2)=2—^(0)=2-m>-2g(0)=m<4

只需<mm2且,用mm2>(13分)

g(5)=--—+m>-2^(2--