2025年中考数学一轮复习：二次函数的应用（练习）（解析版）

考点13.二次函数的应用（精练）

限时检测1:最新各地模拟试题（50分钟）

1.（2023•广东深圳•校考模拟预测）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标

系，并标出相关数据（单位：m）.有下列结论：

①AB=30m；②池底所在抛物线的解析式为y=**-5；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的!.

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，=62-5,再把（15,0）代入解析式求出

0即可判断②；把x=12代入解析式求出y=-L8,再用5-1.8即可判断③；把尤=6代入解析式即可判断

④.

【详解】解：①观察图形可知，AB=30m,故①正确；

②设池底所在抛物线的解析式为＞=以2-5,

将（15,0）代入，可得故抛物线的解析式为y=5必一5；故②正确；

③.,.当x=12时，y=-1.8,

故池塘最深处到水面C。的距离为5-L8=3.2（m）,故③错误；

④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时，

将x=6代入＞=*尤2-5,得＞=＜2,可矢口此时最深处至IJ水面的距离为5-4.2=0.8（m）,

即为原来的:，故④正确.故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养.

2.（2023•山西大同•校联考模拟预测）生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高

逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至

会失去活性•现已知某种酶的活性值y（单位：iu）与温度x（单位：℃）的关系可以近似用二次函数

y=-g尤?+14x+142来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为IU.

【答案】240

【分析】化为顶点式求解即可.

【详解】解：y=x2+14%+142=-1（x-14）2+240,

0-1<0,回抛物线开口向下，.•.当x=14时，y的最大值为240,

故当温度为14。（2时，该种酶的活性值为240IU.故答案为：240.

【点睛】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握二次函数>=。（》-/02+左的性质是解答本题的关

键.对于二次函数y=a（x-〃y+1fc（°,h,左为常数，awO）,当。>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左

侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口

向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.

3.（2023•广东深圳•校考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度A2为4

米.在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为人米.小红根据学习函数的经验，对"和/7

之间的关系进行了探究.

下面是小红的探究过程，请补充完整：

⑴经过测量，得出了d和6的几组对应值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

4米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和/7这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；

⑵在下面的平面直角坐标系x0y中，画出（1）中所确定的函数的图象；

⑶结合表格数据和函数图象，解决问题：①求该函数的解析式：②公园欲开设游船项目，现有长为3.5

米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园要在水面上的C,。两处设置警戒线，

并且CE=D/，要求游船能从C,O两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米?

（A/2»1.4B精确到01米）

fy

i-T…1-T—'T

~O-12345%

【答案】（l）d,九⑵见解析⑶①〃=-0.5相+24+0.88；②C处距桥墩的距离CE至少为0.7米

【分析】根据函数的定义进行判断作答即可（2）①待定系数法求解析式即可；②令%=2,代入求解即

可.

【详解】（［）解：由题意知，在d和〃这两个变量中，d是自变量，场是这个变量的函数

故答案为:d,h-

（2）解：描点，连线，作图如下；

O12345X

（3）①解：设二次函数的解析式为/1=0/+即+0.88,

把(/1238、),(/3238)、代入得：f2.38用=1+636++0.。8.88'解得“］々=b-=02.5'

回二次函数的解析式为介=一0.5屋+2/+0.88；

②解：令h=2,得：一0.5屋+2d+0.88=2,^^d=2±JlJ5

4。0.7或d=3.3,回则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米.

【点睛】本题考查了函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象，二次函数的应用.解题的关键在于

正确的求二次函数解析式.

4.（2023•山东临沂•统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.5m.可以把

灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形

DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上

边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m,灌溉车到绿化带的距离。。为d（单

位：m）

⑴求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC;⑵求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点8

的坐标；⑶要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围

1L

【答案】⑴）==（尤-22?+2,OC=6米（2）（2,0）（3）24^426一1

O

【分析】（1）由顶点42,2）得，设y=°（x-2）2+2,再根据抛物线过点QL5）,可得。的值，从而解决问

题；（2）过点//作碗〃彳轴，交上边缘抛物线于点当y=L5时，贝卜g（尤-2）2+2=1.5

O

解得：%=4,x2=0,则M（4,L5）,则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点8的

坐标；（3）根据历=0.5,求出点尸的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案.

【详解】（1）解：由题意得42,2）是上边缘抛物线的顶点，设，=。。-2）2+2,

11

又•••抛物线过点（0,L5）,••.L5=4a+2,.•.〃=-7，，上边缘抛物线的函数解析式为丁=-三（％-2尸9+2；

OO

1

令）=0,则_《（兀一2）29+2=0解得：玉=6,%=_2团0C=6米.

O

（2）解：如图，过点//作轴，交上边缘抛物线于点

则-：(X-2)2+2=1.5解得：%=4,x2=0,则/(4,1.5),

O

团下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到

•••下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，回点3是点C向左平移4m得到，

由(1)知。C=6米,团03=6—4=2(米).•.点B的坐标为(2,0)；

(3)解：-.-EF=0.5,.•.点F的纵坐标为0.5,.•.0.5=-1(^-2)2+2,解得x=2±2百，

vx>0,x=2+2y/3,当x>2时，y随X的增大而减小，

...当2VxV6时，要使y20.5,则尤42+2石，

••・当04x42时，y随x的增大而增大，且无=0时，>=1.5>。.5,

.•.当0Wx46时，要使y20.5,则04尤42+26,

•；DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，."的最大值为2+2百-3=26-1,

再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是&NO5,.•"的最小值为2,

综上所述，d的取值范围是2VdV26-L

【点睛】本题是二次函数实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二

次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题关键.

5.(2023•浙江温州•校联考三模)根据以下素材，探索完成任务.

如何设置"绿波带”？

素材1：某市为新路段设置"绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到绿

灯，可节约能源.如图，A,5两路口停车线之间距离为900米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为。

秒，A处绿灯亮起53秒后8处绿灯第一次亮起.

素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距5米，绿灯亮起时第一辆车立即启动,

后面每一辆车在前一辆车启动2秒后再启动.车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶.在加速阶

段，汽车的速度3）与时间⑺的关系如下表所示，行驶路程H）与速度、时间的关系满足§=^.

t（秒）01234

V（米/秒）036912

素材3：A路口车流量显示：绿灯持续时间。应少于25秒（。为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的

等候车辆数为1。辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过A路口.

任务L用含1的代数式表示丫，并求$关于，的函数表达式：

任务2：求第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间以及绿灯持续时间。的值.

任务3：A路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在8路口绿灯第一次亮起期间通过

停车线2?

3—

【答案】任务1：v=3t,s=5/；任务2：第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间为闻秒，绿灯持

续时间。的值为24；任务3：当12<vV18米/秒时，可在8路口绿灯第一次亮起期间通过停车线2

【分析】任务1：根据题意可知v=3f,代入s=3进行计算即可：

任务2：s=T产=5x9,求出t的值，再计算总时间即可；

任务3：设加速阶段时用为/秒，则匀速阶段速度为允米/秒，令l产+3/（53—）=900,以及

3产+3/（77-。=900,分别求解即可求出.

【详解】任务L解：由表格可知，v=3t,团s=3=g产.

任务2：解：5=5厂=5x9,回加速时间f=5/§^秒（?>0）,

回。为整数，病<6，团总时间为6+9x2=24秒<25秒，回。=24,

团第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间为病秒，绿灯持续时间。的值为24.

任务3：解：由题意，第一辆车启动至到达B绿灯所需时间f满足534"77秒

设加速阶段用时为f秒，则匀速阶段速度为小米/秒

3

令万产+3r（53_f）=900,解得:t,=100（舍去），12=6,

团匀速阶段速度为3t=18米/秒令,2+3乂77-）=900,

解得：4=150（舍去），4团匀速阶段速度为3r=12米/秒

国当12<vV18米/秒时，可在B路口绿灯第一次亮起期间通过停车线2.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的求解，根据题意列出方程是解题的关键.

6.（2023・河南周口•校联考二模）放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节.潍坊风筝节上

放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝.如图所示，水

母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点。建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连

续的几个水母头部.若最左侧的抛物线可以用、=内2+/（4x0）表示.抛物线上8、C两点到纸的最底端

313

距离均为W机，到纸的左侧0A的距离分别为5犯5根.

⑴求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；

⑵如果这张纸长为10m,渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案？

【答案】（1）第一个抛物线的函数关系式为y=-f+2x,图案最高点到纸的最底端距离为1m

（2）渺渺最多可以连续绘制5个水母头部的图案

【分析】（1）根据题意求得8（J,I）,C（|,|）,解方程组求得抛物线的函数关系式为

y=—*+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；

（2）令y=。，即-尤?+2x=0,解方程得到占=o,X2=2,即可得到结论.

【详解】（1）根据题意得：B（）,［）,C（1,［）,把8,c代入>=依2+法

2424

44?

得393J解得：.•比物线的函数关系式为「42盯

—=—a+—b

〔442

-22

，图案最高点到地面的距离=7K=1m;

4x（-1）

（2）令y=。，HP—x2+2x=0,.，.匕=。，&=2,r.10+2=5,

最多可以连续绘制5个水母头部的图案.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7.（2023・安徽•统考模拟预测）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停

止，这段距离称为"刹车距离为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试,

得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：〃z）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数

y^0.08x2+bx+c.测得部分数据如下表:

刹车时车速（m/s）0510152025

刹车距离（m）06.51731.55072.5

⑴求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；

⑵有一辆该型号汽车A在公路上（限速100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m,请问司机

是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；⑶制造车间生产另一型号汽车2,其刹车距离y（单

位：利）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y=0.12x2+/3x,若刹车时车速满足在10WxW20范围内某一

数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求0的取值范围.

【答案】⑴V=008/+0.9X⑵该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析⑶身处；

【分析】（1）把（0，。），（5,6.5）代入丁=0.08/+如+。可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为

y=0.08x2+0.9x；（2）结合（1）令y=99得：彳=3。或彳=-?（舍去），根据

30m/s=108knVh>100knVh,即可得到答案；⑶由题意得；。」2><2。2+2。…。+0.9x2。’可解

得答案.

c=06=0.9

【详解】(1)把(0,0),(5,6.5)代入y=0.08Y+a+c得:2+5b+c=6.5,解得

c=0

国刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y=0.08/+0.9x；

（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：

在、=。.08丁+0.9工中，令y=99得：99=0.08x2+0.9%,解得：x=30或彳=-乎（舍去）,

03Om/s=lO8knVh>lOOknVh,回该司机是因为超速行驶导致了交通事故；

（3）00.12>0.08,汽车2刹车距离的函数图象更靠近y轴,

由题意得4小1。：+1。公0-。8*1。7。.9><1。

[0.12x202+20/7>0.08x202+0.9x20解得：小4

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式.

8.（2023•河南洛阳•校联考一模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段上4是竖

直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线y=U,BCD段是抛物线的一部分，两滑道

的连接点B为抛物线的顶点，8点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点。距尸O的水平距离为8米，

以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线尸。的水平距离为x.

⑴请求出滑道38段y与x之间的函数关系式；（2）当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行

者此时距滑道起点A的水平距离；⑶在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点。与最

OP1

高点B连线与水平面夹角应不大于45。，—求OD长度的取值范围.

19

【答案】（1）滑道段y与尤之间函数关系式为y=-5（尤一6）一+2

（2）滑行者距滑道起点的水平距离为（4+忘）米⑶8<OD<12

【分析】（1）由2在双曲线>=?上，且根据题意为=2,得到3（6,2）,由2为抛物线BCD的最高点,

可设抛物线3CQ的解析式为y=a（x-6y+2,滑道与水平面的交点。距P。的水平距离为8米，得到点D

的坐标为（8,0）,把（8,0）代入y=a（x-6y+2得，0=a（8-6）2+2,解得a=-；,即可得到抛物线的解析

式；（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离;

（3）先判断。。的最小值，再根据已知求出0。最大值即可.

1?

【详解】（1）解：3在双曲线y上，且根据题意为=2,团3（6,2）,

为抛物线BCD的最高点，则设抛物线BCD的解析式为y=a（x-6）2+2,

回滑道与水平面的交点。距尸。的水平距离为8米，回点D的坐标为（8,0）,

把（8,0）代入y=o（x-6『+2得，0=4/（8-6）2+2,解得a=-；,

19

回滑道段y与x之间函数关系式为y=-Q（x-6）-+2；

（2）令上式，=1时，则l=-：（x-6『+2,解得x,=6+0,x,=6-V2（不合题意，舍去），

团C（6+后,1）,将》=6代入y=,中得x=2,E1A（2,6）,

06+A/2-2=4+A/2,此时滑行者距滑道起点的水平距离为（4+应）米；

⑶解：根据上面所得3（6,2）,当。（8,0）时，ZBED=9Q°,BE=DE=2,止匕时々">=45。，

则D点不可往左，可往右，的最小值为8,

OP1

X0—>-,0（9D<2OP=12,08<OZ）<12.回0。长度的取值范围为84ODV12.

【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的实际应用，用到了待定系数法求二次函数解析式、求函

数图象上点的坐标等知识，数形结合是解题的关键.

9.（2023•安徽滁州•校考二模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台

滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平

面直角坐标系，图中的抛物线6：>=-卷/+4彳+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小刘

从点。正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C?：y=-：V+6x+c运动.

O

⑴小山坡最高处的高度是—米；⑵小刘在某次训练中，滑到离A处的水平距离为6米时，达到滑行的

最大高度了米（相对于水平线），在这次训练中，当小刘滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度

与小山坡的竖直距离为工米？⑶小刘若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3

米，求跳台滑出点的最小高度.

【答案】（1）7（2）运动员与小山坡的竖直距离为'米⑶跳台滑出点的最小高度为2米

145

【分析】（1）由＞=-五/+耳升|的顶点为（8,7）,即可解得答案.（2）设运动员运动的水平距离为机米

时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意列出方程，解出加即可；（3）先求出6,再根据与坡顶距

离不低于3米列出关于。的不等式，即可解得答案.

【详解】（1）y=-'/+；欠+[=-卷（N-16x）+g=-4（刀-8）2+4*64+|=-4（x-8）2+7故答案为：7；

17

（2）V小刘滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为[米，

b

•••丁=-7工2+云+。的顶点为（6,，），c=4,2x（八-6,解得。=彳，

82,（一？2

设运动员运动的水平距离为加米时，运动员与小山坡的竖直距离为二米，

24

依题意得：+-|m+4）-（--i-m2+^m+!）=^i,

OZ1Z33Z4

整理得：（根+5）（〃-8）=0,解得：叫=8,m2=-5（舍去）,

■.运动员运动的水平距离为9米时，运动员与小山坡的竖直距离为三米;

24

I451

（3）抛物线£:，=一丘/+耳％+§=_/（1_8）2+7,

•________=9Q1o

2

当x=9时，运动员到达坡顶，“2x(=.-.C2-.y=--x+-x+c,

与坡顶距离不低于3米,解得：C22..•.跳台滑出点的最小高度为2米.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际

问题与二次函数模型相结合.

10.（2023•江苏泰州•校考二模）如图，已知抛物线y=&+"+c与x轴分别交于A（-l,0）、3（3,0）两

点，与y轴交于点c,且O3=oc.⑴求抛物线的函数表达式：⑵如图1,点。是抛物线顶点，点

是在第二象限抛物线上的一点，分别连接3D、BC、BP,若NCBD=NABP,求加的值；⑶如

图2,若N54C的角平分线交>轴于点G,过点G的直线分别交射线43、AC于点E、F(不与点A重

图1图2

【答案】⑴y=/-2x-3；⑵一:；⑶不变，J。；胪.

【分析】(1)利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；(2)如图，过尸作PKJLM于K,连接C。，

先求顶点。。,一4),证明/BCD=90。，tan/D2C=g=：,则tan/CB。=tanZABP=：,再列方程求解

BCJ3

即可；(3)过G作MG||x轴交AC于M,过尸作FT〃彳轴交AG于T,过C作CQ〃x轴交4G于。，证

明△CQ4SACGM,AACQSAAMG,可得上+工=与，同理可得：工+上=与，从而可得答

OAACGMAEAFGM

案.

【详解】(])解：：抛物线y=«^+bx+c与X、y轴分别交于A(TO)、3(3。)两点

,设抛物线为：j=a(x+l)(a-3),-.-OB=OC=3,；.C(0,—3),

把点C(0,-3)代入y=a(x+l)(a-3),..3a=-3,解得q=l

所以抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3)=d—2x—3；

*.*y=x2—2x—3=（x—I）2—4,顶点"D（L—4）,

.\CD2=（l-0）2+（-4+3）2=2,5c2=32+32=18,BD2=（3-l）2+（0+4）2=20,

CD1

:.CD2+BC2=BD2,CD=6，BC=36，-^BCD=90°tanZDBC=-=-,

nC5

・.・ZCBD=ZABP/.tanZCBD=tanZABP=-

3

m2-2m-31

P（m,ri）,m<0,n>0BK=3-m,PK=n=rri1—2m—3

3-m3

444

..•加=-g,经检验加=-§是方程的解且符合题意；即加的值为-

（3）解：不变，求解过程如下:

过G作MG||x轴交AC于M,过/作FT〃x轴交AG于T,过。作。。〃工轴，如图:

团MG||x轴，FT〃x轴，CQ〃x轴，：.MG//FT//CQ//OAf

GM_CMGM_AM

回△^ACQ^^AMG,

COA^&CGM,~AO~^C'~CQ~^C

_G_M_।_G__M=_C_M_।_A_M_=]1,--I-1--I-=--I-

OACQACAC9'AOCQGM

・.・AG平分NB4C,ZCAG=ZBAG=ZAQC,/.AC=CQ,

---1---=---,同理可得：----1---=---

AOACGMjAEAFGM

由（1）可知：A（-I,O）,c（o,-3）,...OA=I，

11111,Vio10+Vio,11在占法10+质丁

—+——=——=—+——=i+--=——-—，——--不变71V•

AEAFGMAOAC1010AEAF10

【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理

的应用，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

11.（2023•福建宁德•统考一模）如图1,抛物线y=与直线丫=根（加是常数）交于A,B两点（点

A在点8的左边），且AOR是直角三角形.⑴求机的值；⑵如图2,将抛物线y=：/向下平移，得到

抛物线y=Jx2-左，若抛物线>=</-左与直线y=m交于c,。两点（点C在点。的左边），与无轴正半轴

44

交于点E.求证：ACDE是直角三角形；（3）如图3,若抛物线y=a（x-〃y-4（a>0）与直线y=5交于

M,N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线y=o（x-%）2-4上，当△MVK是直角三角形时，直接写

出点K的坐标.（用含。，力的代数式表示）

aaaa

【分析】（1）设AB与y轴的交点为P.可得AOAB是等腰直角三角形，进而可得点8的坐标为（皿〃?）.将

其代入y=J/即可求解；（2）分别过点C,。作轴于点H,OQ,X轴于点Q.可通过证

VC8ESVE0D求证，也可通过勾股定理的逆定理求证；（3）设平移后得到.过点K'作

x轴的平行线B分别过点AT,N作MZ，。于点3NTL%于点、「证Rt&WZKsRt^KTM即可求解.

【详解】（[）解：如图1,设AB与y轴的交点为P.

团丫=机平行于x轴，y=的图象关于y轴对称，SOP1AB,OA^OB.

回AQW是等腰直角三角形.团NABO=NB49=45。.^\OP=PB.回点B的坐标为（加,机）.

团点3（帆,帆）在抛物线y二上，回加=[加2.团羽。0,回根=4.

44

（2）证明：如图2,分别过点C,。作CH,无轴于点“，QQLx轴于点Q.

_.y=^-x2-k,[%=2〃+4,[%=-2〃+4,

2

联立/4解得]44

y=4.〔％=4.[%=4.

团点C的坐标为卜24Tz,4），点D的坐标为（2^/^^,4）

将）=0代入y=；%2—左，解得石=2jl,巧=—2荻（舍去）.

团点E的坐标为（2j^,0）团EQ=2A/^+4—2y/k,QD=4,EH=2y/k+2〃+4,CH=4.

CHEH

证法一：团—2女)(2a+27TT7)=4a+4)—4左=16,^\EQEH=QDCH.0—=—.

£QQD

团ACHE=NEQD=90°,回VCJffi^VEQD.回ACEH=ZEDQ.

^ZDEQ+ZEDQ=90°.^ZDEQ+ZCEH=90°.0ZDEC=90°.回ACDE是直角三角形.

证法二：在Rt^CHE中，根据勾股定理，得EC。=C尸+HE。=42+(2次+=32+8后+8也(4+后).

同理可得即2=32+8)-8)左(4+公.SEC2+ED2=64+i6k.

(HCD2=[2-Jk+4-(-27TF4)]2=64+16fc13EC2+ED2=CD2.EIACDE是直角三角形.

(3)解：点K的坐标为①+叵三,5」)，或①-叵三,5」).

aaaa

将抛物线y=a(x-li)2-4向左平移h个单位得到抛物线y=ax2-4.设AMNK平移后得到△加'<,

如图3.过点K作x轴的平行线耳分别过点M',N作于点3NT上％于点、T.

W

城一心

3y

联立a

Ji=5;

回点M'的坐标为(-区，5),点V的坐标为(2①,5).

设K'的坐标为(加，am2-4),MrL=t.回，=5-(。/-4)=9一劭？.

易证RtAMZKsRtATTTV，.RLK•KT=NT-MI.

222

gpf=+m)(^^-m)=--m=—(9-am),^\t=­t,

aaaaa

团,wO,Bt=—.回点K'的纵坐标为5-工，即点K的纵坐标为5-工.

aaa

解方程“(x-/7)2-4=5—工，得x=〃±^El.团点K的坐标为(4+或(无一

aaaaaa

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用.需要学生熟练掌握二次函数的各项性质.

2,

12.(2023•辽宁葫芦岛•统考一模)如图，抛物线＞厂+灰+。与x轴交于点A和点2(3,0),与y轴交于

点C(0,2),点。是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,当点。在直线8C上方时，作

小，x轴于点E交直线BC于点E,当=时，求点。的坐标；⑶点P在抛物线的对称轴/

上，点。是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点。的坐标.

。3(1，-2),<2,(6.5,-2)

【分析】(1)将2,C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可;

(2)根据题意可求出直线BC的解析式，由=可证明CD=CE,作CHLDE于则

DH=HE,设点。的横坐标为f,分别表达。”和HE,建立方程即可得出结论;

(3)若四边形BPR2为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且ZBPD=90。，根据题意画出对应图形，利

用全等三角形建立方程，即可得出结论.

2

【详解】(I).・.y=—灰+c经过点5(3,0),点c(o,2)

2~二3二抛物线的函数解析式为：y=

一二x9+3b+c=024

3解得----X2H—x+2

33

c=2c=2

(2)・・•。b_Lx轴，二。b〃y轴，,\ZDEC=ZBCO,-.-ZD=ZBCO,:.ZD=ZDECf:.CD=CE,

设直线BC的解析式为y=kx+m,将3(3,0),C(0,2)代入得其解析式得,

3k+m=0k=--]+2

,解得，3,回直线3C的解析式为y=-

m=2

772=2

作CH_Lr)E于"，如图，则。7=

设点0的横坐标为心则—+g%+2],H(t,2),+2j

:.DH=[--t2+L+21—2=—2/+±HE=2-(--t+2]=-t

I.33)33I.3J3

242(8、

产+y=不解得4=0t2=l:.Dh,-\

24?,8

(3)回>=一耳/+3彳+2=_§(无一iy+耳，回抛物线的对称轴为x=l,

若四边形BP。。为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且ZBPQ=9O。，

设点D的横坐标为小则毛,-，+。〃+2),

如图2,过点。作于点设直线/与x轴交于点N,

则Nr>Aff>=N37VP=N3P£)=90。，PD=BP,N(l,0),0ZDPM+ZMDP=ZBPN+ZDPM,

04MDP=4BPN,MPDM珏BPN(A^),BDM=PN=n-l,BN=PM=2,

243

^\MN=n+\,0n+l=--n2+—n+2,角星得〃=一1或〃=5,

33乙

当，=—1时,点。与点A重合，如图3,尸(1,2),则。。,一2)或尸(1,一2),则。(1,2)；

当〃时心则Q(352)；

如图4,过点。作于点M,设直线/与无轴交于点N,

同理可证，L.PDM^AfiPMAAS),^\DM=PN=n-l,BN=PM=2,

<2,4>9

0W=zz+l,0«+l=-|--«~+-«+2I,解得〃=_]或〃=],

当〃=T时，点。与点A重合，同上；当w=|时，一£|，则0(65-2)；

综上，点。的坐标为:。(352)或&(1,2)或03(1，-2)或Q(6.5,-2)

【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等

相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将=转化为CD=CE,将正方形的

存在性转化为等腰直角三角形的存在性.

13.(2023,广东茂名•统考二模)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AO3,。为坐标原点，04=1,

tanZBAO=3,将此三角形绕原点0逆时针旋转90。，得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、

8、C.⑴求抛物线的解析式；⑵若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为3

①是否存在一点尸，使APCD的面积最大？若存在，求出APCD的面积的最大值；若不存在，请说明理

由.②设抛物线对称轴/与x轴交于一点E,连接尸E,交CD于F,直接写出当△CE尸与△CO。相似

时，点尸的坐标.

【答案】⑴y=f2-2x+3⑵①存在，最大值为N，理由见解析；②尸(—1,4)或(—2,3)

【分析】(1)根据正切函数，可得03=3,根据旋转的性质可得OC=03=3,据此求出A、B、C的坐

标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；

(2)①可求得直线。的解析式，过尸作轴于点N,交。于点可用/表示出的长，当

尸河取最大值时，贝gPCD的面积最大，可求得其最大值；②当NCFE=90。时，^CFE^COD,过点尸

FMFFOD1

作尸河Lx轴于〃点，证明AEFCSAHWP,得到=进而推出MP=3ME,贝ij

MPCFCO3

-r2-2r+3=3(-l-r),解方程即可；当NCEF=90。时，ACEFS^COD,此时，PELx轴，则尸(-1,4).

【详解】(1)解：在中，OA=1,tanZBAO=—=3,..05=304=3,

0A

•「△DOC是由AAOB绕点。逆时针旋转90。而得到的，.・。。=。3=3.

.'.A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(-3,0),

a+b+c=0a=-l

代入解析式得：9〃-3b+c=0,解得：。=-2,.•.抛物线的解析式为＞=-/_2%+3；

c=3c=3

121

(2)解：①存在点尸使APCD的面积最大，APCD的面积有最大值为五.

理由如下：设直线CZ)解析式为y=

—3k+m=0k=-•••直线CD解析式为y=；x+1,

把。两点坐标代入可得:

Cm=l,解得：3

如图2,过尸作PNJ_尤轴，交X轴于点N,交直线CO于点

•••P点横坐标为f,.•.PN=f2-2f+3,MN=5+1,点在第二象限，点在M点上方,

-_PM=PN