2025年新高考数学一轮复习：抛物线及其性质（八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第07讲抛物线及其性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：抛物线的定义..........................................................4

知识点2：抛物线的方程'图形及性质..............................................4

解题方法总结...................................................................5

题型一：抛物线的定义与标准方程.................................................7

题型二：抛物线的轨迹方程.......................................................8

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题...........................................9

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题......................................10

题型五：焦半径问题............................................................11

题型六：抛物线的几何性质......................................................12

题型七：抛物线焦点弦的性质....................................................14

题型八：抛物线的实际应用......................................................16

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................20

易错点：抛物线焦点位置考虑不周全..............................................20

答题模板：抛物线的标准方程....................................................20

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年北京卷第11题，5分

2024年天津卷第12题，5分从近五年的全国卷的考查情况来看，本

（1）抛物线的定义及其

2024年II卷第10题，6分节是高考的热点，其中标准方程和几何性质

标准方程

2023年北京卷第6题，5分考查比较频繁.抛物线是圆雉曲线的重要内

（2）抛物线的简单几何

2023年II卷第10题，5分容，新高考主要考查抛物线的定义'方程'

性质

2023年乙卷（文）第13题，5分焦点、准线及其几何性质的应用.

2023年I卷第22题，12分

复习目标：

（1）掌握抛物线的定义、几何图形'标准方程.

（2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

（3）了解抛物线的简单应用

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

把平面内与一个定点F和一条定直线I。不经过点

F）的距离相等的点的轨迹

抛物线及其性质

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（Fel）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦

点，定直线/叫做抛物线的准线.

注：若在定义中有尸€/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点歹.

【诊断自测】（2024.全国•模拟预测）抛物线9=4尤的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4C.6D.8

知识点2：抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y2=2px,y1=-2px,x2=2py,x2=-2py（p>0）,其中一次项与

对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

/ylI

图形z

00A

标准22

y=2px(p>C)y2=_2px(p>0)x=2py(p>0)x2=-2py(p>Q)

方程

顶点0(0,0)

x>0,x<0,y>0,

范围y<0,xeR

y^RyeRxeR

对称轴X轴y轴

焦点七。）F(-g，0)尸（0,g尸（0,一§

离心率e=\

准线方程丫一Px_p1

222

焦半径

AF=-Xj+—AF=%+5

AF=x+—12AF=-y+—

12i12

【诊断自测】焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为()

A.丁2=10%或％2=4>B.J=一10%或公=一4)

C.、2=20%或工2=8丫D.V=_20%或％2=_8>

解题方法总结

1、点尸(%,%)与抛物线y2=2px(p>0)的关系

(1)P在抛物线内(含焦点)oy；<2pxo.

(2)P在抛物线上oy；=2px0.

(3)尸在抛物线外oy；>2px().

2、焦半径

抛物线上的点尸(%,%)与焦点F的距离称为焦半径，若丁=2Px⑺>0),则焦半径附=毛+勺

\PF\.=^.

IIrmn2

3、p(p>0)的几何意义

p为焦点/到准线/的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

4、焦点弦

若AB为抛物线>2=2px(p〉0)的焦点弦，人(和乂)，B(x2,y2),则有以下结论：

(1)石工2=•

2

(2)y{y2=-p.

(3)焦点弦长公式1：|A同=石+%2+P，石+々之2，%入2=p,当玉=电时，焦点弦取最小值2〃，

即所有焦点弦中通径最短，其长度为2P.

焦点弦长公式2：\AB\=^-(a为直线他与对称轴的夹角).

11sin2a

2

(4)AAO3的面积公式：5.B=—(。为直线9与对称轴的夹角).

AZXAMI/nc•

2sina

5、抛物线的弦

若A3为抛物线y2=2px（p>0）的任意一条弦，4%,%）,5（%2，%），弦的中点为M（x（）,%）（%。0），贝U

（1）弦长公式：|AB|=Ji+后_9]=Ji+至|y—%|（人了=-/°）

⑵金='

为

（3）直线A3的方程为>-％=上（%-%）

%

（4）线段A8的垂直平分线方程为,—%=—&（%—%）

P

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4法）

4

（1）/二小⑺工。）焦点为（4,o）,准线为％=一4

-44

（2）x2、=Ay（A/0）焦点为（0,A2）,准线为y=一个A

44

如y=4l,即焦点为（o,_L）,准线方程为>=一_1

41616

7、参数方程

/=2Px（p>0）的参数方程为卜=2Pti（参数/eR）

[y=2p/

8、切线方程和切点弦方程

1

抛物线y=2p无（p>0）的切线方程为yoy=p（x+x0）,（%,%）为切点

切点弦方程为yoy=p（x+尤0），点（%,为）在抛物线外

与中点弦平行的直线为为y=P（x+x0）,此直线与抛物线相离，点（%,%）（含焦点）是弦A3的中点,

中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果.

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径.

对于抛物线丁=2px（p>0）,由A（4,0）,B（W,-p）,可得|相|=2p,故抛物线的通径长为2P.

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：%=£

0k

11、焦点弦的常考性质

已知A（占,%）、次%，%）是过抛物线丁=2必（。>0）焦点/的弦，M是钻的中点，/是抛物线的准

线，MN,N为垂足.

(1)以AB为直径的圆必与准线/相切，以AF(或3F)为直径的圆与y轴相切;

(2)FNrAB,FC1FD

(3)%/=孑；X%=_p2

(4)设BD，/,。为垂足，则A、O、。三点在一条直线上

题型一：抛物线的定义与标准方程

【典例1-1】(2024•四川南充三模)已知A(l,间为抛物线C:，=2/(p>0)上一点，点A到抛物线C焦点

的距离为2,则0=()

A.2B.1C.-D.4

2

【典例1-2】已知动点P(x,y)满足5"(x-1?+(y-l)2=|3x+4y-7],则动点P的轨迹是()

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【方法技巧】

求抛物线的标准方程的步骤为：

(1)先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：

(2)根据题目条件列出产的方程

(3)解方程求出尸，即得标准方程

【变式1-11顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()

A.x2=+3yB.y?=±6尤

C.X2=+12yD.y2=±Ux

【变式1-2】设〃是直线/的法向量，A、8为两个定点，A&l,Btl,P为一动点，若点尸满足：

|PA-n|..

尸8,则动点P的轨迹是().

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线

【变式1-3】已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为「准线/上有两点A,B,若』E钻为等腰直角三角

形且面积为8,则抛物线C的标准方程是（）

A.y1=4s［2xB.y1=8x

C./=4缶或>2=8xD./=4x

【变式1-4］以坐标轴为对称轴，焦点在直线3尤-4y-12=0上的抛物线的标准方程为（）

A./=16y或y2=i2xB.y?=16x或—=12y

C.9=i6x或Y=-12yD.x2=16_yy2=-12.r

【变式1-5］（2024.陕西西安.二模）设抛物线C：9=2.（夕>0）的焦点为尸，点M在C上，阿尸|=5,

若以为直径的圆过点［。,|）,则C的标准方程为（）

A.、2=%或,2=9工B.y2=©或,2=18%

C.y2=2x^y2=18xD.y2=4x^y2=9x

题型二：抛物线的轨迹方程

【典例2-1】设/（1,0）,点M在x轴上，点P在，轴上，且肱V=2MP,PM1PF<当点P在，轴上运动

时，点N的轨迹方程为一.

【典例2-2］（2024.江苏南通•二模）己知抛物线C:y2=4x,过点（4,0）的直线与抛物线交于A,8两点，

则线段A3中点M的轨迹方程为.

【方法技巧】

常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点尸和满足焦点

标志的定点连起来做判断.焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为尸的点；（3）

圆心；（4）题上提到的定点等等.当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特

征的点连起来结合曲线定义判断.注意：在求解轨迹方程的题中，要注意尤和y的取值范围.

【变式2-1］（2024•湖南衡阳三模）已知点/（2,0）,动圆P过点f，且与x=-2相切，记动圆圆心P点的

轨迹为曲线「，则曲线「的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y~=8xD.y2=12%

【变式2-2］（2024•福建泉州•模拟预测）已知。为坐标原点，矩形。LBC的顶点A,C在抛物线f=4y上,

则顶点B的轨迹方程为.

【变式2-3］（2024•陕西西安•一模）一个动圆与定圆尸:（x-3）2+V=4相外切，且与直线/:x=-l相切，则

动圆圆心的轨迹方程为（）

A.y2=6xB.y2=4xC.y~=8xD.y2=12%

【变式2-41到点*0,4)的距离比到直线？=-5的距离小1的动点M的轨迹方程为()

A.y=16x2B.y--16x2

C.x2=16yD.x2=-16y

【变式2-5】已知/是抛物线y=的焦点，「是该抛物线上一动点，则线段p厂的中点E的轨迹方程是

16

()

1

A.%29=8^-16B.X29=2y~—

21

C.x2=y--D.x2?=2y-2

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

【典例3-1】已知抛物线C:y2=4x,P为C上一点，入(-2,0),3(2,0),当同最小时，点P到坐标原点的

2/1

距离为—.

【典例3-2】已知抛物线无2=8y,圆C：x2+(y-m)2=r2(m>Q).若根=3,则圆心C到抛物线上任意一

点距离的最小值是—.

【方法技巧】

抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，

从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物

线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线(并非准线)距离的最值问题用参数法或切线法求解.

【变式3-1】已知M是抛物线无2=4》上一点，下为其焦点，点A在圆C:(x+iy+(y-6)2=l上，贝|

四国+阳司的最小值是.

【变式3-2]已知实数。>0,，eR,且函数f(a,6)=J(a-2小+4(ina-白丫+2bl，则函数3的最小值

为.

【变式3-3]已知ae[-U],VGR,贝|S=(“-v?+(直方一F-3『的最小值是.

【变式3-4](2024•重庆九龙坡•三模)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点

的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯

IDAI1

圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(T,1),伙-4,4),若点尸是满足局的阿氏圆上的

I厂方I乙

任意一点，点。为抛物线C：V=16尤上的动点，Q在直线x=T上的射影为R,则|P8|+2|PQ|+2|QR|的

最小值为.

【变式3-5］（2024・西藏林芝•模拟预测）抛物线f=16y的焦点为R点P（x,y）为该抛物线上的动点，点

42,0）,贝义/｝可-|尸川的最大值是.

【变式3-6］（2024•广东梅州.一模）已知点P,。分别是抛物线C：V=4x和圆E:无2+,2-10了+21=0上的

动点，若抛物线C的焦点为B，则2|PQ|+|QF|的最小值为

【变式3-7］（2024.云南昆明.模拟预测）倾斜角为锐角的直线经过抛物线C:/=12x的焦点厂，且与C交

于A,3两点，。为线段A3的中点，尸为C上一点，若「刊+|尸。］的最小值为8,则这条直线的斜率

为.

【变式3-8］（2024•陕西咸阳•二模）P为抛物线y?=4x上任意一点，点A（2,4）,设点尸到y轴的距离为d,

则|PA|+d的最小值为.

【变式3-9】已知椭圆E:J+（=1（〃>6>0）的离心率为白，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为

2（应-1）.若抛物线C:>2=2*的焦点与椭圆E的右焦点重合，设抛物线C上的动点尸到直线尤=^和

2x-y+l=0的距离分别为4,d2,则4+4的最小值为一.

【变式3-10］（2024・高三.河南周口•期末）过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点下的直线与C交于A3两点,

线段AB的中点到y轴的距离为2,以A3为直径的圆的半径为:，点尸在C上，且点尸到C的准线的距离

为4，至!J直线/:2尤+2出y+9=0的距离为人，则4的最小值为.

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题

【典例4-1］（2024•江西新余•二模）已知点。（2,-2）在抛物线C：y?=2px上，F为抛物线的焦点，则

△OQF（。为坐标原点）的面积是（）

A.-B.1C.2D.4

2

【典例4-2】（2024•云南•模拟预测）已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，过点尸的两条互相垂直的直线44

分别与抛物线C交于点A,B和其中点在第一象限，则四边形ADBE的面积的最小值为（）

A.64B.32C.16D.8

【方法技巧】

解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角

三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比.

【变式4-1】已知点M在曲线俨=4x上，过M作圆C:（x-3）?+y2=l的切线，切点分别为A,B,则四边

形AMCB的面积的最小值为（）

A.2V2B.不C.3D.9

【变式4-2］（2024.全国•模拟预测）设/为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，C的准线与x轴交于一点A,

过产的直线与C交于M、N两点.若的面积是_4VF的面积的3倍，且加耳=2,贝（）

A.4B.3C.2D.1

【变式4-3］（2024•四川泸州•三模）已知抛物线C：俨=8尤的焦点为凡准线为/,过点式的直线交C于尸,

。两点，PHLI于H,若|上叫=户盟，。为坐标原点，贝ijOEH与，5Q的面积之比为（）

A.8B.4C.3D.2

【变式4-4］（2024.安徽淮南.二模）抛物线V=2px（p>0）的焦点为R准线为/,过点尸作倾斜角为］的

直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKLI,垂足为K,若aAFK的面积是4形，则p的值为

（）

A.1B.2C.6D.3

【变式4-5］（2024•广东广州•一模）设抛物线E：V=8x的焦点为己过点"（4,0）的直线与E相交于A,B

s

两点，与E的准线相交于点C,点8在线段AC上，\BF\=3,则V3C厂与△ACF的面积之比—=（）

A.—B.—C.—D.—

4567

【变式4-6］（2024.高三.江苏南京•开学考试）过抛物线y2=8x上一点P作圆C:（x-2）2+y2=i的切线，切

点为A、B,则当四边形R4CB的面积最小时，直线A3的方程为（）

A.21=0B.x—1=0C.2x-3=0D.4x-7=0

题型五：焦半径问题

【典例5-1】已知”4,4）是抛物线。：丫2=20%（0>0）上一点，过C的焦点F的直线，与C交于A,3两点，

则|AF|+4忸典的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【典例5-2】（2024•陕西榆林•模拟预测）已知抛物线/=28（0>0）的焦点为F,过点尸且斜率为1的直线

与抛物线交于A,B两点，若|跖卜忸典=2,则2=（）

A.4B.3C.2D.1

【方法技巧】

（1）\AF\=P；\BF\=P.

1—cosa1+cosa

(2)|AB|-Xj+x0+p--^—■

-sina

【变式5-1］（2024•高三・广东广州•期中）直线/经过抛物线丁=4x的焦点R且与抛物线交于42两点.

^\AF\=3\BF\,则|岗=（）

【变式5-2】已知抛物线C:球=4x,圆尸：（x—D'+yJl,直线/：y=左。-1）（4w0）自上而下顺次与上述

两曲线交于"1，M2,M3,四点，则下列各式结果为定值的是（）

A.陷％卜|岫%|B.\FM.\-\FM.\

c.MMH叫D.

【变式5-3］（2024.高三.河北•开学考试）设抛物线y2=2/（p>0）的焦点为F,过点尸作直线交抛物线于

A,8两点，若|A耳=3,怛肉=2,则。=.

【变式5-4］（2024•河南・二模）抛物线E:/=2x的焦点为为E上一点，m为，轴正半轴上一点，若

△RWF是等边三角形，则直线尸厂的斜率为,\PM\=.

【变式5-5】已知抛物线C：丁=4彳的焦点为R点A、2是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐

标为2,贝”AF|+忸同=—.

【变式5-6】已知抛物线C:y2=4x的焦点为下，点P,Q,R为C上可相互重合的点，S.PF+2QF+2RF=Q,

则|PF|的取值范围是—，|年1+3|。司的最小值是—.

题型六：抛物线的几何性质

【典例6-1］（多选题）关于抛物线丁=-2彳，下列说法正确的是（）

A.开口向左B.焦点坐标为（-1,0）C.准线为x=lD.对称轴为龙轴

【典例6-2］（多选题）平面内到定点尸（0』）和到定直线/：y=T的距离相等的动点的轨迹为曲线C.则（）

A.曲线。的方程为f=4y

B.曲线C关于x轴对称

C.当点P（x,y）在曲线C上时，y>0

D.当点尸在曲线C上时，点尸到直线/的距离422

【方法技巧】

在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可

以简化计算.

【变式6-1］（多选题）（2024•湖南长沙•二模）已知抛物线C与抛物线>2=4%关于V轴对称，则下列说法

正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标是

B,抛物线c关于V轴对称

C.抛物线C的准线方程为x=l

D,抛物线C的焦点到准线的距离为4

【变式6-2］（多选题）已知4（升,%）,8（々，%），。（&，％），（%>%>%）为抛物线丁=2。匹（。>0）上的三个点，

且AB1.3C,|AB|=WC，当点8与原点。重合时，|AC|=2,则下列说法中，正确的是（）

A.抛物线方程为/=%

B.直线A8的倾斜角必为锐角

C.若线段AC的中点纵坐标为%,AC的斜率为工

%

7

D.当A8的斜率为2时，B点的纵坐标为--

12

【变式6・3］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知抛物线Cy2=2px（p>。），圆

C:+y2=R2.若C与C交于M,N两点，圆C与x轴的负半轴交于点尸，则（）

A.若.PMN为直角三角形，则圆C'的面积为印2

B.R>-

2

C.直线PM与抛物线C相切

D.直线PN与抛物线C有两个交点

【变式6-4］（多选题）（2024•吉林通化•模拟预测）已知点A是抛物线C：V=4x上的动点，O为坐标原点,

F为焦点,AO-AB=1|AB|2=1|OA|2,且48三点顺时针排列，则（）

Q

A.当点3在％轴上时，|。同=§

B.当点B在y轴上时，点A的坐标为（12,-4百）

C.当点A与点8关于x轴对称时，|E4|=13

D.若|网=13,则点A与点8关于x轴对称

【变式6-5］（多选题）（2024•广东佛山•二模）如图抛物线口的顶点为A,焦点为厂，准线为"焦准距为

4；抛物线口的顶点为8,焦点也为F，准线为"，焦准距为6.口和匕交于P、Q两点，分别过P、Q

作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、5、T,过尸的直线与封闭曲线AP8Q交于C、Z）两点，则（

B.四边形MNST的面积为100

「25-

C.FS-FT=OD.的取值范围为5,y

题型七：抛物线焦点弦的性质

【典例7-1］（多选题）已知抛物线E:/=4y的焦点为尸，圆C:x2+（y-l）2=16与抛物线E交于A,8两

点，点P为劣弧A8上不同于A,8的一个动点，过点尸作平行于V轴的直线/交抛物线E于点N,则

（）

A.点P的纵坐标的取值范围是（26,5）

B.RV+NF等于点P到抛物线E的准线的距离

C.圆C的圆心到抛物线E的准线的距离为2

D.P/W周长的取值范围是（8,10）

【典例7-2］（多选题）已知抛物线y2=2Px（p>0）的焦点为歹，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段

AB的中点，经过点A尻/作抛物线的准线/的垂线AC,3£>,MN,垂足分别是C,RN,其中MN交抛物线

于点Q,连接QF,NF,NB,NA,则下列说法正确的是（）

A.\MN\=^\AB\B.FNLAB

C.。是线段MN的一个三等分点D.ZQFM=ZQMF

【方法技巧】

抛物线焦点弦性质总结：抛物线任意一条焦点弦两端点与抛物线顶点连线斜率之积为-1;焦点弦被焦

点平分且被其垂直平分；过焦点弦两端点作准线垂线，垂足间距离等于焦点弦长。

【变式7-1］（多选题）过抛物线C:;/=2px（p>0）的焦点厂的直线=与C相交于A3两点，贝I

（）

A.p=2B.p=4

C.\AB\=8D.FAFB=^

【变式7-21（多选题）已知点0为坐标原点，直线y=x+l与抛物线C:尤2=4y相交于A、B两点，焦点为

F,则下列选项正确的是（）

A.\AB\=8B.OALOB

11,

C.府|+际|=1D.线段AB的中点到无轴的距禺为2

【变式7-31（多选题）（2024•黑龙江大庆•一模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，准线交无轴于

点直线/经过/且与C交于A,8两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在，轴上的射影为点

N.若四N|=|NF|,则（）

A./的斜率为G

B.是锐角三角形

C.四边形MND尸的面积是君p'

D.\BF\-\F^>\FD^1

【变式7-4］（多选题）（2024•高三•安徽蚌埠•开学考试）已知抛物线C:y2=2/（p>0）的焦点为JF,过点

产的直线/与抛物线相交于A,B两点，线段A5的中点为过点A,B分别向C的准线作垂线，垂足

分别为点尸，。，过点M向C的准线作垂线，交抛物线于点T,交准线于点N,O为坐标原点，则（）

A.以尸。为直径的圆与直线/相切B.\MT\=\NT\

C.当典=|A典时，点P,T,尸共线D.^AOAB=^ATAB

【变式7-5］（多选题）（多选）设抛物线C：：/=2px（p>0）的焦点为尸，点M在抛物线C上，照日=5,

若'轴上存在点4（0,2）,使得AM.AP=0,则。的值可以为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式7-6］（多选题）已知抛物线、2=2「久（「>0）上三点4但,%）,3（1,2）,。伍,以），/为抛物线的焦

点，则下列说法正确的是（）

A.抛物线的准线方程为x=-L

B.^FA+FB+FC=0,则2阀=网+,c|

C.若AEC三点共线，则%为=一1

D.若|AC|=6,则AC的中点到》轴距离的最小值为2

【变式7-7］（多选题）（多选）已知尸是抛物线C：V=8x的焦点，过点尸作两条互相垂直的直线44,与

C相交于A5两点，与C相交于石。两点，直线/为抛物线C的准线，则（）

A./4如有可能为锐角B.以|AB|为直径的圆与/相切

C.|AB|+|D国的最小值为32D.△的'和ABFD面积之和的最小值为32

【变式7-8］（多选题）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C:/=4x的焦点F作直线/交抛物线C于

A8两点，贝IJ（）

A.的最小值为2B.以线段AF为直径的圆与V轴相切

11

C网卡画D.OA-OB=0

【变式7-9］（多选题）（2024•河北衡水•模拟预测）已知抛物线距/=2处（0>0）的焦点为尸，准线为/,

过点F且与坐标轴不垂直的直线与E交于AB两点，过的中点M作V轴的平行线交/于点N.设的

中点为尸，直线的斜率分别为心心,心,则（）

A.点P在E上

B.过点尸且与E相切的直线加与直线⑷?平行

C.\AB\=3\PF\

D.k、+k3=2k［

题型八：抛物线的实际应用

【典例8-1】省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇•永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁

式抛物线形石拱桥•当石拱桥拱顶离水面L6m时，水面宽6.4m,当水面下降0.9m时，水面的宽度为一米・

【典例8-2】在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的

一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），

称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的

最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为一米.

【方法技巧】

抛物线的实际应用总结：抛物线在工程设计、物理运动轨迹分析、光学设计、建筑设计及桥梁工程等

领域有广泛应用。例如，卫星天线、探照灯、拱桥及投篮路径等均可视为抛物线应用实例，体现了其重要

的实用价值。

【变式8-1】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看

成抛物线的一部分.该桥的高度为九米，跨径为/米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为

米.（结果用〃，/表示）

【变式8-2］（2024・高三.黑龙江哈尔滨.期末）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽

4&cm，杯深8cm,称为抛物线酒杯.在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半

径的最大值为cm.

【变式8-3】上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南

修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1）,非常美丽.

桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度AB=30m,拱高OP=5m,在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑,

则支柱4月的长度为—m.（精确到0.01m）

【变式8-4】有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要

求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道总宽度为7.2m,

则车辆通过隧道时的限制高度为—m.

3

1.（2023年北京高考数学真题）已知抛物线C:;/=8尤的焦点为尸，点加在C上.若以到直线x=-3的

距离为5,贝”"尸1=（）

A.7B.6C.5D.4

22

2.（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线=-[=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为月,瑞，抛

ab

物线丁=4石x的准线/经过耳，且/与双曲线的一条渐近线交于点A,若/与丹4=£,则双曲线的方程为

（）

Rf丁

AD.---------=1

416

r2

C.——/=1

4

3.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设厂为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点5（3,0）,若

\AF\=\BF\,则阳=（）

A.2B.20C.3D.372

22

4.（2021年天津高考数学试题）已知双曲线立■-当=1（"0,6>0）的右焦点与抛物线丁=2川5>0）的焦

ab

点重合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲线的渐近线于。、。两点，若|C0=&|A例.则双曲

线的离心率为（）

A.72B.百C.2D.3

5.（2021年全国新高考n卷数学试题）抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为正，则。=

A.1B.2C.242D.4

1.设抛物线y2=2px(0>O)的焦点为足从点尸发出的光线经过抛物线上的点M(不同于抛物线的顶点)

反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴.

2.已知A,8两点的坐标分别是(1,0),直线AM,相交于点且直线AM的斜率与直线

的斜率的差是2,求点/的轨迹方程.

3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线V=2px(p>0)上，求这个正三角形的边

长.

4.从抛物线y2=2px(p>0)上各点向无轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

5.如图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水位下降1米后，则水面宽多

少米？

6.如图，直线>=尤-2与抛物线丁=2尤相交于A,B两点,求证：OA1.OB.

7.图，M是抛物线V=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，以Fx为始边、桢为终边的角NxAW=60。，求

\FM\.

Fx

㈤6

八易错分析・答题模板q

易错点：抛物线焦点位置考虑不周全

易错分析：在处理抛物线问题时，焦点位置的考虑至关重要。若焦点位置分析不周全，易导致解题方

向偏差，如误判抛物线的开口方向、顶点坐标及准线位置等。因此，需准确判断焦点位置，结合抛物线性

质全面分析，避免陷入易错陷阱。

答题模板：抛物线的标准方程

1、模板解决思路

解决抛物线标准方程问题，首先判断其开口方向