专题03 多边形的内角和与外角和 带解析

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题03多边形的内角和与外角和一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•铁西区期末）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．20° D．22.5°解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，∴∠A＝2×15°＝30°．故选：A．2．（2分）（2022春•南关区校级期中）选择两种正多边形铺设地面，若其中一种是正十二边形，那么另一种是（）A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三角形解：正十二边形每个内角是150°，A、正六边形每个内角是120°，120°与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；B、正五边形每个内角是108°，108°与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；C、正四边形每个内角是90°，90°与150°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；D、正三角形每个内角是60°，150°×2+60°＝360°，能密铺，符合题意；故选：D．3．（2分）（2022春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（）A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，∵O是三个内角的平分线的交点，∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，∴∠BOD＝90°，故选：D．4．（2分）（2022春•兴宁区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，即∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∵90°﹣∠ABC＝90°−∠ABD＝∠DBC+∠BDC＝∠ABD+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，∴∠ADB＝45°﹣∠CDB，④错误；故选：B．5．（2分）（2022春•张家川县期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F、BE平分∠ABC交AC于点E，AF与BE相交于点O，AD是BC边上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，则∠DAF的度数为（）A．10° B．12° C．15° D．20°解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴∠BAC＝∠C＝50°，∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠BAC＝25°，∵BE⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝10°∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，故选：C．6．（2分）（2022春•井研县期末）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（）A．30° B．40° C．45° D．60°解：∵72÷8＝9，∴360°÷9＝40°．∴每次旋转的角度α＝40°．故选：B．7．（2分）（2022春•洪山区校级月考）已知在四边形ACDB中，AB∥CD，点P在AB，CD之间，E为AB上一点，F为CD上一点，PG平分∠EPF交AC于点G，PH∥CD交AC于点H．下列结论：①∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，②|∠BEP﹣∠PFD|＝2∠HPG，③∠EPG﹣∠HPG＝∠PFD．其中正确的结论共有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3解：①∵AB∥CD，PH∥CD，∴AB∥PH，∠PFD＝∠FPH，∴∠BEP＝∠EPH，∴∠BEP+∠PFD＝∠EPH+∠EPH＝∠EPF，∴PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，∴∠BEP+∠PFD＝2∠EPG，故①选项是正确的；②由①知，∠BEP＝∠HPE，∠PFD＝∠FPH，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|，∵∠HPE＝∠GPE﹣∠HPG，∠FPH＝∠GPF+∠HPG，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|∠HPE﹣∠FPH|＝|∠GPE﹣∠HPG﹣（∠GPF+∠HPG）|＝|∠GPE﹣∠GPF﹣2∠HPG|，∵∠GPE＝∠GPF，∴|∠BEP﹣∠PFD|＝|﹣2∠HPG|＝2∠HPG，故②选项是正确的；③由①知，∵∠EPG﹣∠HPG＝∠HPE，∠HPE＝∠BEP，∴∠EPG﹣∠HPG＝∠BEP≠∠PFD，故③选项是错误的．故选：C．8．（2分）（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故选：B．9．（2分）（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．10．（2分）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：设BD交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FJD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BJG+∠DBE＝90°，∵∠FJD＝∠BJG，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•邢台期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB上一点，将△BCD沿CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是25°．解：∵△ECD是由△BCD折叠的，∴△ECD≌△BCD．∴∠ECD＝∠BCD．∵CE∥AB，∴∠ECD＝∠CDB．∴∠CDB＝∠BCD．∵∠CDB+∠BCD+∠B＝180°，∠B＝50°，∴∠DCB＝＝65°．∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25．12．（2分）（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是60度．解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故答案为：60．13．（2分）（2022春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，∠A＝65°，则∠1+∠2＝245°．解：∵△ABC中，∠A＝65°，∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣115°＝245°，故答案为：245．14．（2分）（2022春•广平县期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应增加（填“增加”或“减少”）20度．解：延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠ECD＝∠ACB＝70°．∵∠DGF＝∠DCE+∠E，∴∠DGF＝70°+30°＝100°．∵∠EFD＝140°，∠EFD＝∠DGF+∠D，∴∠D＝40°．而图中∠D＝20°，∴∠D应增加20°．故答案为：增加；20．15．（2分）（2022春•新泰市期末）如图，AE，CE分别平分∠BAD和∠BCD，∠B＝32°，∠E＝35°，则∠D＝38°．解：设BC与AE、BC与AD、AD与CE，分别相交于H、F、G，如图：∵∠AFC是△ABF与△CDF的外角，∴∠B+∠BAD＝∠D+∠DCB．∵AE、CE分别平分∠BAD、∠DCB，∴∠BAE＝∠EAD＝∠BAD，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD．∵∠AHC是△ABH与△CEH的外角，∴∠E+∠DAB＝∠D+∠DCB①，同理可得，∠E+∠DCB＝∠B+∠BAD②，①+②得，2∠E＝∠B+∠D，∵∠B＝32°，∠E＝35°，∴∠D＝2×35°﹣32°＝38°．故答案为：38°．16．（2分）（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，线段AM⊥射线MN，垂足为M，线段BC⊥射线MN，垂足为C．若点P是射线MN上一点，连结PA、PB，记∠PBC＝α，∠PAM＝β，且0°＜∠APB＜180°，则∠APB＝180°+α﹣β或180°﹣α+β或180°﹣α﹣β（用含α、β的代数式表示∠APB）．解：连接AB交MC于点D，三种情况讨论：（1）如图：当P在MD上时，∠APB＝∠APD+∠BPD，∵∠APD＝∠M+∠PAM＝90°+α，∠BPD＝90°﹣∠PBC＝90°﹣β，∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝90°+α+90°﹣β＝180°+α﹣β；（2）如图：当P在CD上时，∠APB＝∠APM+∠BPM，∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°﹣α+90°+β＝180°﹣α+β；（3）如图：当P在射线CN上时，∠APB＝∠APM+∠BPM，∴∠APB＝∠APM+∠BPM＝90°﹣α+90°﹣β＝180°﹣α﹣β；故答案为：180°+α﹣β或180°﹣α+β或180°﹣α﹣β．17．（2分）（2022春•连江县期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是①②④．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①正确，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝∠A，故②正确；∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，故③错误；∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，综上正确的有：①②④．18．（2分）（2021春•江都区期末）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝140°．解：如图，∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由题意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案为：140．19．（2分）（2022秋•花山区期中）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是70°．解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∴∠B＝∠CAO，设∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．20．（2分）（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是①②③④．解：设BE交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故答案为：①②③④．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•邢台期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数．解：∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝15°∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝15°．∴∠BED＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝180°﹣15°﹣15°＝150°．22．（6分）（2022春•金水区校级期中）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝25．（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，∵PE⊥AD，∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；故答案为：25；（2）数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：设∠B＝α，∠ACB＝β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠CAB＝180°﹣α﹣β．∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝α+（180°﹣α﹣β）＝90°+（α﹣β），∵PE⊥AD，∴∠PDE+∠E＝90°，∴∠E＝90°﹣[90°+（α﹣β）]＝（β﹣α）．23．（8分）（2022春•钟楼区期中）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是100°；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，∴∠DAH+∠AHD＝140°，∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD+∠DAH＝80°，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BCE+∠BAE＝40°，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，故答案为：100°；（2）过点C作射线AG，如图，∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；（3）的值不变，恒为．理由如下：∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，∵EF⊥BC，∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），∴＝，故的值不变，恒为．24．（8分）（2022春•开福区校级期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度数；②求∠CAP的度数．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝80°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，∴∠FBC＝∠ABC＝20°，∠FCB＝∠ACB＝40°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°；（2）①在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝42°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+42°，∴∠ACD﹣∠ABC＝84°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝84°，即∠CAB＝84°．②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∴PE＝PG，PF＝PG，∴PE＝PF，∴AP平分∠CAE，∴∠CAP＝∠CAE＝×（180°﹣84°）＝48°．25．（8分）（2022春•洛江区期末）在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O．（1）填空：如图1，若∠BCA＝80°，则∠BOA的大小为130度；（2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D．试说明：∠ADO＝∠AOB；（3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请探索∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系．（1）解：∵∠BCA＝80°，∴∠CBA+∠CAB＝100°，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，故答案为：130；（2）证明：∵∠CBA+∠CAB+∠BCA＝180°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠BCA，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝90°﹣∠BCA，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝90°+∠BCA，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵OC平分∠BCA，∴∠OCD＝∠BCA，∴∠ADO＝∠COD+∠OCD＝90°+∠BCA，∴∠ADO＝∠AOB；（3）解：当点M在点E的下方，如图所示：∵MN⊥CE，∴∠MNE＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∠NEM+∠MNE+∠NMA＝180°，又∵∠AEC＝∠NEM，∴∠EAC+∠ACE＝∠MNE+∠NMA，即∠EAC+∠ACE＝90°+∠NMA，∵OC平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°+∠AMN，∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠BAC+90°﹣∠ABC﹣∠BAC＝90°+∠AMN，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；当点M在点E上方，如图所示：∵∠AMN＝∠AEC+∠ENM，∵MN⊥CE，∴∠ENM＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE，∵OC平分∠ACB，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠AEC＝180°﹣∠BAC﹣（90°﹣∠ABC﹣∠BAC）＝90°+∠ABC﹣∠BAC，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝90°+∠ABC﹣∠BAC+90°＝180°+∠ABC﹣∠BAC，综上，当点M在点E下方时，∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；当点M在点E上方时，∠AMN＝180°+∠ABC﹣∠BAC．26．（8分）（2022春•张家川县期末）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在直线OM、ON上，BC是∠ABN的平分线．（1）如图1，若BC所在直线交∠OAB的平分线于点D时，尝试完成①、②两题：①当∠ABO＝40°时，∠ADB＝45°；当∠ABO＝70°时，∠ADB＝45°；②当点A、B分别在射线OM、ON上运动时（不与点O重合），试问：随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，请求出∠ADB的度数；如果会，请求出∠ADB的度数的变化范围；（2）如图2，若BC所在直线交∠BAM的平分线于点C时，将△ABC沿EF折叠，使点C落在四边形ABEF内点C′的位置、求∠BEC′+∠AFC′的度数．解：（1）①∵∠ABO＝40°，∴∠OAB＝50°，∠ABN＝140°，∵BC是∠ABN的平分线，AD是∠OAB的平分线，∴∠DAB＝∠OAB＝25°，∠ABC＝∠ABN＝70°，∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；