专题07 直角三角形斜边上的中线 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题07直角三角形斜边上的中线一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（）A．3 B． C．5 D．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC＝．故选：B．2．（2分）（2022春•抚顺期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC边的中点，则AD的长为（）A．4 B．5 C． D．10解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝，∵D为BC边的中点，∴AD＝BC＝5，故选：B．3．（2分）（2022春•汉寿县期末）如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（）A．∠B＝60° B．AD＝BD C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD＝BD，故B选项正确；又∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；故选：A．4．（2分）（2022春•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF、EF，设∠DFE＝α，则∠C的度数可表示为（）A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵点F是AB的中点，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2∠C＝α，∴∠C＝90°﹣，故选：D．5．（2分）（2022春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，若AD＝，AC＝3，则AB的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5解：∵∠BAC＝90°，D为BC中点，AD＝，∴BC＝2AD＝5，由勾股定理得：AB＝＝＝4，故选：C．6．（2分）（2022春•禹州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，若DE＝2.5，则AB的长为（）A．10 B．8 C．6 D．4解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵E是AB的中点，∴CE＝BE＝AB，∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB，DE＝2.5，∴BE＝2DE＝5，∴AB＝2BE＝10，故选：A．7．（2分）（2022春•铁锋区期末）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大 B．上升时，OP减小 C．无论怎样滑动，OP不变 D．只要滑动，OP就变化解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴OP＝AB，∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选：C．8．（2分）（2021春•海淀区校级期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2 B．2﹣2 C．2 D．4解：如图，连接BE，BD．由题意BD＝＝2（米），∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE＝MN＝2（米），∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（2﹣2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值），故选：B．9．（2分）（2021春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6 B．3 C．8 D．6解：∵BE＝BC，∴点B为CE的中点，∵点F为DE的中点，∴BF为△CDE的中位线，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD为中线，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC＝＝＝6．故选：A．10．（2分）（2021春•渠县校级期末）如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE的大小为（）A．50° B．40° C．30° D．25°解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，∴CD＝AD＝AB，∴∠DCA＝∠A＝25°，∴∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，∵CE是斜边上的高线，∴CE⊥AB，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•营口期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝AN＝BC，则∠MPN的度数为45°．解：连接PA并延长到点D，∵∠BAC＝90°，P是BC的中点，∴AP＝BC，∵AM＝AN＝BC，∴AM＝AP，AN＝AP，∴∠M＝∠APM，∠N＝∠APN，∵∠DAM＝∠M+∠APM，∠DAN＝∠N+∠APN，∴∠DAM＝2∠APM，∠DAN＝2∠APN，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝2∠APM+2∠APN＝2（∠APM+∠APN）＝2∠MPN，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MPN＝∠MAN＝45°，故答案为：45°．12．（2分）（2022春•张店区期末）如图，在四边形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为．解：连接BE，DE，如图所示：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，∴BE＝AC，DE＝AC，∵AC＝6，∴BE＝DE＝3，过点E作EF′⊥BD于点F′，则点F′是线段BD的中点，∵BD＝4，∴BF′＝2，根据勾股定理，得EF′＝＝，∴线段EF的最小值为，故答案为：．13．（2分）（2022春•庐江县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是45°．解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，∴4∠CBD＝90°，∴∠CBD＝22.5°，则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，∵BD⊥AC，∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵E是斜边AC的中点，∴BE＝AE＝CE，∴∠EBA＝∠A＝22.5°，∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45．14．（2分）（2021春•吉州区期末）已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC顶角的度数为30°或150°或90°．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴∠ACD＝30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°；如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°；②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．15．（2分）（2021春•海淀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为6．解：∵CB＝BE，DF＝FE，∴CD＝2BF＝6，∵AD＝DB，∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝12，∴BC＝＝＝6，故答案为：6．16．（2分）（2021春•长宁区期末）如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形ABCD是倍长对角线四边形，且∠BAD＝∠BCD＝90°，四边形ABCD中最小的内角的度数是30°．解：如图，在BD上取中点E，连接AE、CE．∵∠BAD＝∠BCD＝90°∴AE＝BD，CE＝BD，又∵AC＝BD，∴AE＝AC＝EC，即△AEC为等边三角形，所以∠AEC＝60°，又∵AE＝BE＝CE，∴∠ABE＝∠BAE＝∠AED，∠BCE＝∠CBE＝∠CED，∴∠ABC＝∠AEC＝30°．故答案为：30°．17．（2分）（2020春•南岗区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD为中线，E在AB上，连接DE，过点D作DE的垂线交AC于点F，若BE＝2，CF＝4，则线段AD的长为5．解：如图，连接EF，延长ED到J，使得DJ＝DE，连接EJ，CJ．设AF＝x，∵BD＝DC，DE＝DJ，∠BDE＝∠CDJ，∴△BDE≌△CDJ（SAS），∴BE＝CJ＝2，∠B＝∠DCJ＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠FCJ＝∠ACB+∠BCJ＝90°，∴FJ＝＝＝2，∵DE＝DJ．FD⊥EJ，∴FE＝FJ＝2，∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝（x+4），∴AE＝AB﹣BE＝2+x，∵AE2+AF2＝EF2，∴（2+x）2+x2＝（2）2，整理得，x2+3x﹣4＝0，∴x＝1或﹣4（舍弃），∴AF＝1，AC＝5，∴BC＝2AC＝10，∵BC＝DC，∠BAC＝90°，∴AD＝BC＝5，故答案为5．18．（2分）（2018•青山区模拟）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝120°．解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝AB＝DF，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．19．（2分）（2018•黄浦区二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为5．解：连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM＝13，又N是BD的中点，∴BN＝DN＝BD＝12，∴MN＝＝5，故答案为：5．20．（2分）（2019春•海淀区校级期末）如图，已知∠ACB＝90°，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，则CD的取值范围是2﹣2≤CD≤2+2．解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，过点作AT⊥DE于T，连接CD．∵AB＝4，AD＝2，AE＝EB，∴AD＝AE＝2，∵AT⊥DE，∠DAE＝120°，∴∠DAT＝∠EAT＝60°，∴DE＝2DT＝2AE•sin60°＝2，∵∠ACB＝90°，AE＝EB，AB＝4，∴CE＝AB＝2，∵DE﹣EC≤CD≤DE+CE，∴2﹣2≤CD≤2+2．故答案为2﹣2≤CD≤2+2．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022春•余干县期末）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：AD＝CD；（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四边形ADCE的面积．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝3，∴AD＝DB＝CD＝3．∴AB＝6，由勾股定理得AC＝3．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝3．∵EC＝BD＝AD，CE∥DB，∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形，∴S菱形ADCE＝．22．（6分）（2021•柳江区模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，若AN＝AB，AN∥CE，求证：AC＝NE．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，∴CE＝．又∵AN＝AB，∴AN＝CE．又∵AN∥CE，∴四边形ACEN是平行四边形．∴AC＝NE．23．（6分）（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．解：（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC．∴EF＝＝＝324．（6分）（2021春•威宁县期中）如图所示，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC＝2AD；（2）求证：AB＝AE+CE；（3）求∠MDE．证明：（1）∵AE是△ABM的高，AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，∵BD平分∠ABM，∴∠ABD＝∠MBD＝22.5°，∵BD是△ABM的高，∴∠MAE＝∠MBD＝22.5°，∴∠MAB＝∠M＝∠BCE＝67.5°，∴AB＝BM，∵BD平分∠ABM，∴AD＝MD，在△AME和△BCE中，，∴△AME≌△BCE（AAS），∴AM＝BC，∴BC＝AM＝2AD，即BC＝2AD；（2）∵△AME≌△BCE，∴ME＝CE，∵BM＝BE+ME，∴AB＝AE+CE；（3）解：∵DE＝AD＝MD，∴∠MDE＝180°﹣2×67.5°＝45°．25．（6分）（2020•张家界模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝BC，∴AD＝AF；（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．26．（6分）（2020秋•灌云县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴DM＝BM；（2）由（1）可知DM＝BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．27．（8分）（2019春•丹江口市期中）（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为．28．（8分）（2017秋•江干区期末）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中