2025年中图版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年中图版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知且则向量在向量上的投影为（）A.B.C.D.2、函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞；4]上递减，则a的取值范围是（）

A.[-3；+∞）

B.[3；+∞）

C.（-∞；5]

D.（-∞；-3]

3、已知幂函数的图象过点（），则的值是A．B．1C．2D．44、若则的面积是（）A.1B.2C.D.5、若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A.B.C.D.6、设函数f（x）=﹣2x，g（x）=lg（ax2﹣2x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A.（﹣1，0）B.（0，1）C.（﹣∞，1]D.[1，+∞）7、用单位立方块搭一个几何体；使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为()

A.9与13B.7与10C.10与16D.10与158、下列几种关于投影的说法不正确的是（）A.平行投影的投影线是互相平行的B.中心投影的投影线是互相垂直的C.线段上的点在中心投影下仍然在线段上D.平行的直线在中心投影中不平行评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知f（x）=2x2-kx-8在[2，3]上具有单调性，则k的取值范围是____．10、已知f（x3）=logax，且f（8）=1，则a=____．11、【题文】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．12、不论a为何值，函数y=1+loga（x﹣1）都过定点，则此定点坐标为____．13、设点A在-135°角的终边上，||=（O是坐标原点），则向量的坐标为______．14、函数的单调递减区间为______．15、圆台的体积为52cm3，上、下底面面积之比为1：9，则截该圆台的圆锥体积为______cm3．16、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．22、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．23、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．24、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、计算题(共4题，共36分)25、（2010•泉州校级自主招生）直角三角形ABC中，BC=AC，弧DEF圆心为A．已知两阴影面积相等，那么AD：DB=____．26、已知分式，当x=1时，分式的值记为f（1），当x=2时，分式的值记为f（2），依此计算：=____．27、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．28、（1）计算：|-|-+（π-4）0-sin30°；

（2）化简：．评卷人得分五、解答题(共2题，共8分)29、【题文】（本小题满分14分）

设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．

(1)求f(x)的最小值s(t)；

(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围．30、

参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【解析】试题分析：由得考点：向量的数量积运算【解析】【答案】A2、D【分析】

函数f（x）=x2+2（a-1）x+2的对称轴方程为：x=1-a；

∵函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞；4]上递减；

∴区间（-∞；4]对称轴x=1-a的左侧；

∴1-a≥4；

∴a≤-3．

故选D．

【解析】【答案】先求出二次函数的对称轴；由区间（-∞，4]对称轴x=1-a的左侧，列出不等式解出a的取值范围．

3、C【分析】：令f(x)＝xα，则f(2)＝2α＝∴α＝．∴故选C．【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】因为所以又所以即设与的夹角为易知与为对顶角，所以得所以所以5、A【分析】【解答】解：∵0＜a＜1；

∴f（x）=logax是减函数．

∴logaa=3•loga2a．

∴loga2a=．

∴1+loga2=．

∴loga2=﹣．

∴a=．

故选A

【分析】由函数f（x）=logax（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间[a，2a]上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．6、C【分析】【解答】解：∵f（x）=﹣2x＜0，∴∀x1∈R，f（x）=﹣2x∈（﹣∞；0）；

∵∃x2∈R，使f（x1）=g（x2）；

∴g（x）=lg（ax2﹣2x+1）的值域包含（﹣∞；0）；

设y=ax2﹣2x+1的值域为B；

则（0；1]⊆B．

由题意当a=0时；上式成立．

当a＞0时；△=4﹣4a≥0，解得0＜a≤1．

当a＜0时，ymax=≥1，即≥0恒成立．

综上；a≤1．

∴实数a的取值范围是（﹣∞；1]．

故选：C．

【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式求解．7、C【分析】【分析】由于主视图第一列为3层；故俯视图中第一列至少有一个是3层的，其余可是1～3层，同时可分析第2列和第三列，进而得到答案．

【解答】由主视图第1；2，3列高分别为3，2，1

则该几何体体积的最大值为：

3+3+3+2+2+2+1=16

体积的最小为：

3+1+1+2+1+1+1=10

故选：C8、B【分析】解：平行投影的投影线是互相平行的；A正确；

中心投影的投影线是从一点出发的；不一定互相垂直．故B不正确；

点在线上时；在中心投影下点仍在线上，故C正确；

平行的直线在中心投影中不平行；故D正确。

故选B

中心投影是由一点向外散射形成的投影；它的光线之间的关系不确定，平行的直线在中心投影中不平行，点在线上时，在中心投影下点仍在线上，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．

本题考查中心投影及中心投影的作图，是一个日常生活中常见的现象，本题是一个基础题，解题的关键是弄清楚中心投影的特点．【解析】【答案】B二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

函数y=2x2-kx-8的对称轴为：x=

∵在区间[2，3]上具有单调性，∴≤2或≥3；

解得k≤8或k≥12；

故答案为：k≤8或k≥12．

【解析】【答案】先求出函数的对称轴x=再由二次函数的图象和条件列出关于k的不等式．

10、略

【分析】

由x3=8；解得x=2；

∴f（8）=f（23）=loga2=1，化为a1=2；解得a=2．

故答案为2．

【解析】【答案】先变形符合已知条件即可求出．

11、略

【分析】【解析】画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示。

由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．【解析】【答案】[－1,1]12、（2，1）【分析】【解答】解：由于对数函对数y=logax的图象恒过（1，0）而y=1+loga（x﹣1）的图象可由数函数y=logax的图象向右平移1个单位；再向上平移1个单位。

∴y=1+loga（x﹣1）的图象经过定点（2；1）

故答案为：（2；1）．

【分析】由对数函对数y=logax的图象恒过（1，0）及函数的图象的平移即可求解．13、略

【分析】解：∵点A在-135°角的终边上，||=（O是坐标原点）；

∴点A在第三象限的角平分线上，且到原点的距离为

根据直角三角形的边角关系得：A（-1；-1）

则向量的坐标为（-1；-1）

故答案为：（-1；-1）．

先根据点A在-135°角的终边上，||=（O是坐标原点），点A在第三象限的角平分线上，且到原点的距离为根据直角三角形的边角关系得：A（-1，-1）即向量的坐标．

本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，根据已知计算出点A的坐标得到的向量的坐标是解答本题的关键．【解析】（-1，-1）14、略

【分析】解：y=tan（-x+）=-tan（x-）；

令x-k∈z⇒2kπ-k∈z

又y=-tan（）的单调递减区间为y=tan（）的递增区间；

故答案是（2k2k）；k∈z

根据正切函数的单调区间，利用整体代入解不等式的方法，求出函数y=tan（）的递增区间；即为函数的减区间．

本题考查了正切函数的单调区间，利用整体代入解不等式的范围求三角函数的单调区间是常用方法．【解析】（2k2k），k∈Z15、略

【分析】解：如图所示；将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体．

设大、小圆锥的底面半径分别为r；R；高分别为h、H

∵圆台上；下底面的面积之比为1：9；

∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3；即半径之比。

=且高之比=因此，小圆锥与大圆锥的体积之比==

可得=1-=

因此；截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26；

又圆台的体积为52cm3，则截该圆台的圆锥体积为=54cm3

故答案为：54．

将圆台补成如图所示的圆锥；可得上面的小圆锥与大圆锥是相似的几何体，由底面积之比为1：9算出它们的相似比等于1：3，再由锥体体积公式加以计算，可得小圆锥体积是大圆锥体积的1：27，由此可得大圆锥的体积和圆台体积之比，即可得出答案．

本题给出圆台的上下底面面积之比，求截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比．着重考查了锥体体积计算公式和相似几何体的性质等知识，属于基础题．【解析】5416、略

【分析】解：如下图所示：

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1；

∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1；

∴MN∥EF；又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF；

∴MN∥平面AEF；

∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形；

∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF；AE⊂平面AEF；

∴A1N∥平面AEF；

又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF；

∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF；

则P必在线段MN上；

在Rt△A1B1M中，A1M===

同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=

∴△A1MN为等腰三角形；

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，

A1O===

A1M=A1N=

所以线段A1P长度的取值范围是[]．

故答案为：[]．

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长；位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．【解析】[]．三、证明题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．22、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．23、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．24、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、计算题(共4题，共36分)25、略

【分析】【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列等式求出AD与DB的比．【解析】【解答】解：设AB=BC=a则AB=a；

∵两阴影面积相等，∴SABC=S扇形ADF

即a2=AD2•π；

∴AD=；

∴AD：DB=AD：（AB-AD）=；

故答案为．26、略

【分析】【分析】先求出当x=1时，分式的值记为f（1）=，当x=2时，分式的值记为f（）=，再进行计算．【解析】【解答】解：当x=1时，分式的值记为f（1）=；

当x=时，分式的值记为f（）=；

∴=+=．

故答案为．27、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；