2025年小学数学《几何》曲线型-弓形-4星题（含解析）全国版

几何-曲线型几何-弓形-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

弓形B1.认识弓形图少考

2.掌握弓形图计算面积的方法

知识提要

弓形

概念

由弦及其所对的弧所组成的图形叫做弓形。

・一般公式

弓形面积=扇形面积-三角形面积

精选例题

弓形

1.如右图所示，这是由一个半径为4的圆把四分之一的圆周翻折而得的图形，此图形的面积

为.（取兀=3.14）

【答案】41.12

【分析】详解：如图1所示，阴影部分面积等于直角三角形4BC。的面积加上一个半圆即

12

4x8+2+2X不兀=8兀+16=41.12.

2.下图中，2B是圆。的直径，长6厘米，正方形BCDE的一个顶点E在圆周上，乙ABE=

45°,那么圆。中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于平方

厘米（取TT=3.14）.

OB

【答案】10.26

【分析】经过分析可以得到：圆。中非阴影部分面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的

差，就是大圆的面积减去正方形的面积.正方形的面积可以用对角线X对角线+2得到.

2

3x3.14-6x64-2=10.26.

3.图中阴影部分的面积是多少.（兀取3.14）

【答案】1.92

【分析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得

到阴影部分的面积.

,1/3\211199

所分成的弓形的面积为：/X0-37X4X=^7T-g；

177199

另一部分的面积为：c71X3-3X7=^-7；

99992727

所以阴影部分面积为：谈-9+砂-]==茄7r"■万=1.92375«1.92.

4.在下图所示的正方形4BCD中，对角线AC长2厘米，扇形ZDC是以。为圆心，以为

半径的圆的一部分.求阴影部分的面积.（兀=3.14）

【答案】1.14平方厘米.

【分析】如下图所示:

DC

冗212

S1=~xAD--ADf

2

1fAC\171717

S2+S3=^rxl—j--AD=-^ixAC--AD.

因为

AC2=2AD2=4,

所以阴影部分的面积为:

n7171717

-xAD--ADAC--AD

428L

112

-TixAC2--AC

42

兀一2

1.14.

5.如图所示，求各图中阴部部分的面积.（图中长度单位为厘米，1T取3.14）

【答案】2.28cm2；4.56cm2；13.965cm2.

【分析】(1)

S阴=2xx2?-2x2+2

=2ir-4

2

=2.28(cm);

(2)

S阴=2x(|irx22-1x42)

=4ir-8

2

=4.56(cm);

(3)

11

S阴=^x72-2X72

=38.465-24.5

2

=13,965(cm).

6.已知三角形ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘米，求阴影部分的面积.（豆取

3.14）

If

【答案】3.85平方厘米.

【分析】设两个半圆的交点为0,接C。，

S阴影=5大半圆-544。。+$小半圆-543。。

=S大半圆+S小半圆-S△ABC,

所以，

1/4\21(2\21

S阴影=选＞0+天加-2X2X4

=2.5*4

=3.85(平方厘米).

7.如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块

阴影部分的面积之差.E取3)

【答案】0.5

【分析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算

它们的差，但是这样较为繁琐.由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与

面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积.如下图所示，可知弓形BC或CD均与弓

形4B相同，所以不妨割去弓形BC.剩下的图形中，容易看出来4B与C。是平行的，所以

△BCD与△4CD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形4C0的面积相等，而扇形AC。的

面积为TTxFx券=0.5,所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5.

8.在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影

部分的面积是多少平方厘米?

【答案】2

【分析】采用割补法.如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就

形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即

正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于2?*5=2平方厘米.

9.求图中阴影部分的面积.

312C

【答案】36

【分析】

如图，连接BD,可知阴影部分的面积与三角形BCD的面积相等，即为

11

—x—x12x12=36.

10.图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，兀取3.14）

【答案】12平方厘米

【分析】阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是3x4x4+4=12平

方厘米.

11.如图，已知三角形GH/是边长为26厘米的正三角形，圆。的半径为15厘米.

LAOB=/.COD=^EOF=90°.求阴影部分的面积.

AGF

【答案】221.625平方厘米.

【分析】

总阴影面积=每块阴影面积x3=（大弓形-小弓形）x3.

关键在于大弓形中三角形的面积，设/为弧G/的中点，则可知G。〃是菱形，GQ/是正三角形,

所以，三角形GO。的面积

115

—xx26.

所以大弓形的面积：

1115

S=rnx157--X—x26=235.5-97.5=138.

以ril322

小弓形的面积：

1212

SFJE=^TTX15--X15=176.625-112.5=64.125.

所以，总阴影面积

（138-64.125）x3=221.625（平方厘米）.

12.如图，4BC是等腰直角三角形，。是半圆周的中点，是半圆的直径.已知

AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少？（n取3.14）

【答案】32.125

【分析】连接P。、AP,BD,如图，P0平行于AB,则在梯形ABOP中，对角线交于“点,

那么AABD与△曲2面积相等，则阴影部分的面积转化为△ABP与圆内的小弓形的面积和.

AABP的面积为:

10x(10+2)+2=25;

弓形面积：

3.14x5x5+4-5x5+2=7.125;

阴影部分面积为：

25+7.125=32.125.

13.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为Sp空白部分面积为52,那么这

两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）

【答案】57:100

【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个

圆的内接正方形.

222

设大圆半径为r,MS2-2r,=irr-2r,所以

~=（3.14-2）:2=57:100.

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.

14.如图，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么

阴影部分的面积共有多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】18.24

【分析】如下图，我们将原题中阴影部分分成①、②、③、④4个部分，并且这4个部

分的面积相等.

有②、③部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差.

二分之一圆的面积为

1

-X4X4XTT~8X3.14=25.12.

其内等腰直角的底为8,高为4,所以其面积为

1

2x8x4=16,

所以②、③部分的面积和为

25.12-16=9.12（平方厘米）.

而①、②、③、④四部分的面积和为②、③部分的面积和的2倍，即为

9.12x2=18.24（平方厘米）.

所以，原题中阴影部分的面积共有18.24平方厘米.

15.大正方形的面积是400平方厘米，被平均分成4个相同的小正方形.请依次求出四个阴影

部分的面积？（n取3.14）

【答案】21.5平方厘米；28.5平方厘米；57平方厘米；28.5平方厘米.

【分析】大正方形的面积是400平方厘米，所以小正方形的面积是100平方厘米，边长是

10厘米.

阴影部分像镰刀，面积为小正方形减扇形

1

S1=1（/2jxnx10“2=21.5（平方厘米）；

阴影部分即弓形，面积为扇形减等腰直角三角形

1212

S2=-XTTX10--X10=28.5（平方厘米）；

阴影部分像种子，面积为2倍的弓形

S3=2S2=2x28.5=57（平方厘米）；

阴影部分像鱼的形状，右上角像鱼头，左下角为鱼尾，将鱼头一分为二分别补到鱼尾处，阴影

部分就变成一个弓形，即

S4=S2=28.5（平方厘米）.

16.如下图所示，4B为圆。的直径，点。在圆。上.在梯形4BCD中，线段AB与线段DC

都分别垂直于BC；AB=2CD；弧。MB是以点C为圆心的圆弧.请问下图中阴影部分的面积

22

与圆。的面积之比是多少？（取TT=尸）

13

【答案】石

22

【分析】不妨设两圆的半径为1,则圆。的面积为了，阴影部分的面积等于梯形4BC0的面

积减去弓形DMB的面积的2倍：

112221213

—x（l+2）xl-2x—X—xl+2x—x1=­1

L4/L

所以面积比为