2025年广东中考数学一轮复习：二次函数综合题 （含答案）

第七节二次函数综合题

类型一二次函数与线段有关问题

1.如图，抛物线》=依2+法+4与X轴交于4(—2,0),5(4,0)两点，与y轴交

于点。，作直线AC.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是入轴上方抛物线上一点，过点尸作入轴的垂线分别交工轴，直线AC

于点。，E,当。E一尸石=2时，求点尸的横坐标.

第1题图

2.(2024广元节选)在平面直角坐标系X2y中，已知抛物线尸：y=—%2+b%+c经

过点A(—3,-1),与y轴交于点5(0,2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线A5上方抛物线上有一动点C,连接OC交于点。，求需的最大值

及此时点C的坐标.

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系％Oy中，抛物线y=a%2+b%—2交％轴于4(一1,0),

5(4,0)两点，交y轴于点C,抛物线对称轴交直线5。于点。，尸为工轴下方抛

物线上一点.

⑴求抛物线的表达式；

⑵抛物线的顶点为“，若点。为坐标平面内一点，是否存在点。使得以5,Q,

C,”为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由；

(3)直线AP,5尸分别交对称轴于点V,N,当点V,N均在点。的下方时，DM

+DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

类型二二次函数与面积有关问题

1.(2024珠海香洲区二模)如图，抛物线y=—与坐标轴分别交于A,5,

C三点，0。=2.点。为抛物线上一动点，直线。5与y轴交于点E

(1)填空：c=；

⑵当点。在第一象限的抛物线上，且三角形5CD的面积最大时，证明：点。是

5E的中点；

(3)当产=2时，求出所有满足条件的点。的坐标.

^BEO

第1题图备用图

2.(2024遂宁)二次函数y=a?+fct+c(aWO)的图象与入轴分别交于点A(—1,0),

5(3,0),与y轴交于点。(0,-3),P,。为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当P,。两点关于抛物线对称轴对称，△0尸。是以点尸为直角顶点的直角三

角形时，求点。的坐标；

(3)设点尸的横坐标为根，点。的横坐标为机+1,试探究：尸。的面积S是

否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

>>>1,附

\0/\[()•/\0/

A\\18i,4\:/B1A\JB^

X/ki/'J

第2题图

类型一二次函数与线段

有关问题

1.解：(1)将点A(—2,0),5(4,0)的坐标代入0=加+与+4中,

得产-2b+4=0,解得『=-5，

、16a+4b+4=0,5=1,

•••抛物线的函数表达式为

2；

Jy=--2x+x+4

(2)设尸«,—]+/+4),则0),

设直线AC的函数表达式为丁=丘+机(以0),代入点A(—2,0),C(0,4)的坐标,

得，-2k+b=0，解得爆

(771=4

J直线AC的函数表达式为y=2%+4.

：项32,+4),分两种情况讨论:

①当点尸在y轴左侧时，

-11

PE=一学2+什4—⑵+4)=一子一/，ED=2r+4.

•：DE—PE=2,

■\

2，+4—(一-？2一。=2,

整理，得产+61+4=0,

解得力=-3+通，力=—3一迎(不符合题意，舍去),

•••点P的横坐标为一3+遮；

②当点尸在y轴右侧时，

11

尸石=2%+4—(—&产+/+4)=3户+%DE=2t~\~49

2/+4—(55+力=2,

整理，得F—2%—4=0,

解得彳3=1+逐，％4=1—«(不符合题意，舍去),

•••点尸的横坐标为1+通，

综上所述，点P的横坐标为一3+遮或1+遮.

2.解：⑴把点A(—3,—1),B(0,2)的坐标代入y=—a+Zzx+c,

得，一9—3b+c=—1,解得#=—2,

(C=2(C=2

•••抛物线的函数表达式为y=一必一2%+2；

(2)如解图，过点。作％轴的垂线交A3于点

cm//y轴，

.*.△CDMs^ODB,

•CDCMCM

・.00OB2

.•.当cm取最大值时，黑的值最大.

设AB所在直线的解析式为y=mx-\-n,

把点4(—3,-1),B(0,2)的坐标代入解析式,4B1—3m+n=—1

m=2

解得｛:二；

：.AB所在直线的解析式为y=x+2.

设C(t,一t2—2%+2),则M(t,%+2),

cm=一住一3t=一(?+!)2+^.

二一3«0,-K0,

.•.当片一刎，cm最大，最大值为：.

24

•••累的最大值为2,此时点C的坐标为(一：，？).

OUo24

第2题解图

3.解：(1)二•抛物线》=依2+法—2经过点A(—1,0),5(4,0),

\a=-

0=a—b—2,解得《2

、0=16a+4b—2,b=~3

2

•二抛物线的表达式为y=#—|x—2；

(2)存在.

由⑴知，抛物线产"一|%—2=张一|)2—

ZZZZo

•••点呜-争，

当％=0时，y=~2,

点。(0,-2).

设点Q(P，q)，

①当是对角线时，如解图①,

(4+0_|+P,

.]22

10+(-2)_-/+q

V22

解得fl?

(C1=8,

；•点。(|，令；

Zo

②当5”是对角线时，如解图②,

3

4+2—0+0

22'

。+(一金(-2)+q,

(22'

点。号，一，

③当C"是对角线时，如解图③,

点。(-1,一£).

综上所述，满足条件的点。的坐标为自小荐一》或(一畀一*.

第3题解图

◎XMf+ON是定值.

___-1

由点5(4,0)和。(0,—2)可得直线5C的表达式为尸会一2,

当％=三时，y=-x—2=-x--2=

2,2224

•••点呜-》

如解图④，设点P(n,|w2—|zz—2).

VA(-b0),

•二设直线AP的表达式为y=k(x+1)(以0),

将点尸的坐标代入得,#一|〃-2=M〃+1),则仁颉一4),

，直线AP的表达式为y=|(«-4)(x+1),

当％='时，y=|(«-4)(|+l)=|«-5,

，易得。Af=一与十竺.

44

同理可得，直线BP的表达式为y=T(〃+l)(%—4),

当％=|时,y=|(«+l)(1—4)=—1«—

易得DN=-n,

4

：.DM+DN=--n+—+-n=—,

4444

.•.OM+DN为定值，定值为？

4

第3题解图④

类型二二次函数与面积有关问题

1.(1)解:2

【解法提示】,：OC=2,则c=2.

(2)证明：VOC^2,

/.C(0,2),抛物线的表达式为y=—#+，+2,

令y=0,得一聚+]+2=0,解得制=-1,%2=4,

由题图可知，点A在点5的左侧，

，5(4,0).

由8。两点的坐标易得直线5C的表达式为y=—3+2,

如解图，过点。作D"〃y轴交于点”，

M三巩

/|0\>

第1题解图

设点D(x,—#+|%+2),则点H(x,—|x+2),

111Q1

则三角形5CD的面积=-08。"=14(--f+-%+2+-%—2)=一炉+4%=一(%—

22222

2)2+4*.

V-l<0,

，当％=2时，三角形BCD的面积最大，

此时点。的横坐标％=2,即点。(2,3),

由点5,。的坐标得，直线50的表达式为y=—玄%—4),

•••点E(0,6),

，点、B,E的中点坐标为(2,3),

•••点。是5E的中点；

(3)解：当包皿=2时，

S〉BEO

则I必I=2%B=8,

即%z)=±8,

当％=8时，y=—|x2+|x+2=—18,

当％=-8时，y=一1%2+|x+2=-42,

...当丝四=2时，点。的坐标为(8,—18)或(一8,-42).

S^BEO

2.解：(1)把点A(—1,0),5(3,0),C(0,—3)的坐标代入》二^^+云+的

a—b+c=0ra=1

9a+3b+c=0,解得］力=—2,

(c=-3(c=-3

二次函数的表达式为y=x2—2x—3；

(2)如解图①，

由y=x2-2x-3得抛物线的对称轴为直线x=l.

VP,。两点关于抛物线对轴对称，C(0,—3),...尸(2,-3),

设Q(m,m2—2m—3).

,：ZOPQ=90°,：.OP2+PQ2=OQ2,

即[(0-2)2+(0+3)2]+[(2—机)2+(—3—机2+27%+3)2]=(0-7%)2+(0-/徵2+2机+

3)2，

整理得，3m2—8/«+4=0,

解得加1=：,加2=2(舍去)，

机=|，一卷；

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第2题解图①

⑶存在.如解图②，过点尸作y轴的垂线交y