2025高中数学人教版选择性必修2 数列的概念（重难点题型检测）解析版

专题4.2数列的概念（重难点题型检测）

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2022.黑龙江.高二阶段练习）已知数列｛厮｝的通项公式为an=巴手二，n6N*,则该数列的

前4项依次为（）

A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.0,2,0,2D.2,0,2,0

【解题思路】根据数列的通项公式求得正确答案.

111

【解答过程】依题意，a[=当=l,a2——0,a3=与=1,a4——=0-

故选：A

2.（3分）（2022.重庆市高二阶段练习）若数列5｝的前6项为：1,-|）一；，I，一卷，则数列｛&J的

通项为（）

A-云B.一会C.3六D.（-1严整

【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母上的数的规律，即可找出数列的通项公式.

【解答过程】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，

故用（-1尸+】表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，

故第W项的分母为2几-1,所以数列｛%｝的通项可为厮=（-1尸+1三，

故选：D.

3.（3分）（2022•甘肃庆阳•高二期末（文））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,

主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的

两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,则此数列的第15项是（）

A.400B.110C.112D.113

【解题思路】由已知数列可得n为偶数时，即=手，n为奇数时，心=小,然后代入15求解即可.

【解答过程】观察此数列可知，当律为偶数时，an=y,当n为奇数时，an=?.

所以，所以C正确，

故选：C.

（（）

4.3分）（2022•河北高三期中）已知数列｛an｝满足：%=1且。„+1+:=0（neN*）,贝^2018=

l+an

A.2B.--C.0D.1

2

【解题思路】由的=1计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到与018・

【解答过程】因为臼=1,an+1=nGN*,

l+an

r-rIsI1111c11.

所以02=一西=-1。3=一9=一口二-2,。4=一工=一二二1,

故数列为周期是3的数列，

所以。2018=^3x672+2=。2=一］，

故选：B.

5.（3分）（2022•全国•高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角

形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记a九为图中虚线上的数1,3,6,10,…构

成的数列｛。九｝的第九项，则的。的值为（）

1

121

1331

14641

15101051

A.45B.55C.66D.67

【解题思路】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与内0.

【解答过程】由已知可得数列的递推公式为册一册_1=n，几之2且几£可*,且％=1,

古攵a九一。?1一1=九,

CLn-l~^n-2=九一1，

%1-2-an-3=n—2,

(Z302=3，

—Q]=2,

等式左右两边分别相加得册一%=九+5-1)+5-2)+…+3+2=5#尸=勺=5>2),

.n2+n-2n2+n/、日、

%i=%+―--=-522）,

102+10ll

aio=~~2-=55，

故选：B.

6.（3分）（2022.全国•高三专题练习）已知数列｛an｝,心=总匕，则下列说法正确的是（）

A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是

C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是a2

【解题思路】令"L12。，则"t+Ly=（,、m_=』，然后利用函数的知识可得答案.

t

【解答过程】令"71-120,则n=t+l,y=（t+i）2+-

t2+6t+4/

当t=0时，y=0

当t>0时，旷=高，由双勾函数的知识可得y在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减

所以当t=2即71=3时，y取得最大值，

所以此数列的最大项是。3，最小项为=0

故选：B.

7.（3分）（2022•新疆喀什•一模（理））对于数列>n｝,若存在正整数k（222）,使得纵<ak_r,ak<ak+1,

则称软是数列外｝的“谷值”，k是数列｛厮｝的“谷值点”在数列｛厮｝中，若与=卜+2-81则数列。｝的“谷

值点”为（）

A.2B.7C.2,7D.2,3,7

【解题思路］先求出心=2,a2=pa3=2,a4=\a5=a6=a7=a8=

再得到九27,neN,n+--8>0,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.

n

【解答过程】因为厮=卜+（-8卜

二匚I、］。3c76129

月T以（!］=2,CZ,2=一，03='，=一，=二，=T,=一，=一，

245278

当n27,neN,n+^—8>0,所以an=b+'—=n+7—8,

因为函数丫=乂+§-8在［7,+8）上单调递增，

所以nN7时，数列册=71+:—8为单调递增数列，

所以<ar,a2<a3,a7<a6,a7<a8,

所以数列Bn｝的“谷值点''为2,7.

故选：C.

2

8.(3分)(2022•山西省高三阶段练习)在数列｛&J中，对任意的neN*都有与>0,且与+1-an+1=an

则下列结论正确的是()

①.对于任意的71N3,都有22;

②.对于任意。1>0,数列｛an｝不可能为常数列；

③.若0<的<2,则数列｛心｝为递增数列；

④.若。1>2,则当7122,时，2<<%

A.①②③B.②③④C.③④D.①④

2—

【解题思路】对数列递推关系变形得到tin—2=an+i—ctn+1—2—2)(an+1+1),得到an—2与

an+i—2同号，当。<的<2时，。<cin<2，①错误；

当心=2时，推导出此时｛a"为常数列，②错误；

作差法结合0<%<2时，0<与+1<2,求出数列｛&J为递增数列，③正确；

由%-2与一2同号，得到当的>2,有时>2,结合作差法得到｛a"为递减数列，④正确.

【解过程】因2-a9+i—,所以—2—an+i2—cin+i—2—(an+i—2)(tln+1+1)，

因为任意的几eN*都有5>0,所以Cln+1+1>0,

所以%1-2与a“+i-2同号，当0<四<2,则nN3时，都有0<心<2,①错误；

当臼=2时，a?—2=色三=0,所以a2=2,同理得：an=25?3),此时｛七｝为常数列，②错误；

an+l~an~~an+l?+^an+l=—(an+l-1尸+1,

由A选项知：若0<%<2,贝！JOCa^+iVZ,

22

所以的^+i—ctn=—a九+i+2azi+i=—(an+1-I)+1>—1+1=0,

则数列为递增数列，③正确；

由册一2与册+i—2同号，当内>2,则几22时，都有时>2,

-

且此时。九+1—ccn=一册+i2+2azi+i——(Q九+i1尸+1V—1+1=0,

所以数列｛&J为递减数列，

综上：若的>2,则当几22,时，2Va九<的，④正确.

故选：C.

二.多选题(共4小题，满分16分，每小题4分)

9.（4分）（2022•福建漳州•高二期中）下列有关数列的说法正确的是（）

A.数列-2021,0,4与数列4,0,-2021是同一个数列

B.数列｛a"的通项公式为=n（n+1）,则110是该数列的第10项

C.在数列1,VX旧,2,而，…中，第8个数是2/

n

D.数列3,5,9,17,33,...的通项公式为an=2+1

【解题思路】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误，

使n（n+1）=110,即可得出项数，判断选项B的正误，

根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误，

根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.

【解答过程】对于选项A数列-2021,0,4与4,0,-2021中数字的排列顺序不同，

不是同一个数列，

所以选项A不正确；

对于选项B,令a.—n2+n—110,

解得n=io或n=-11（舍去），

所以选项B正确；

对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列，

第8个数为例，即2/，

所以选项C正确；

对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为％=2"+1,

所以选项D正确.

故选:BCD.

10.（4分）（2023•山东省高三阶段练习）下列数列｛&J是单调递增数列的有（）

2

A.an=n—3n+lB.an=—（：）

C.=n+-D.=ln-^—

nnnn+l

【解题思路】利用与+1-与验证各选项即可.

【解答过程】因为neN*

选项A：口九+i—ccn=（ji+1）2—3（ri+1）+1—+3n—1=2几一2NO,所以。2—=0，=九？一3九+

1不是单调递增数列；

n+1n+1n

选项B：an+1-an^-Q)+=Q)>0,所以“=_(3是单调递增数列；

选项C：an+1-an=n+l+^--n--=^^,所以。2-%=0,即=n+马不是单调递增数列；

〃十，n+1nn(n+l)”〃n

选项D：an+i-与=In震—In含■=In(震x攀)=ln(l+岛J>0,所以an=In含■是单调递增数列；

故选：BD.

11.(4分)(2022•江苏盐城•高三期中)已知又是｛an｝的前n项和臼=2,an=l—,，？i22,zieN*,

an-l

则下列选项错误的是()

A.。2021=2B.S2o2i=1012

C.a3na3n+1a3n+2=1D.是以3为周期的周期数列

【解题思路】推导出%+3=。九5WN*),利用数列的周期性可判断各选项的正误.

【解答过程】因为=2,an=1----(?!>2),贝1J%=1—工=；，。3=1——=-l^a4=l——=2=ar,

以此类推可知，对任意的九GN*,an+3=an,D选项正确；

a2021=tt3x6734-2=劭=丁A选项错误；

==

S2021=673(%+Q，2+Q3)++。2673x~+2+~1012,B选项正确；

«3n,«3n+l,。3ri+2=2a1=一1，C选项错误,

故选：AC.

12.(4分)(2022•福建龙岩•高二期中)对于数列｛&J,定义：b=a+-(nEN*),称数列｛以｝是｛%J的

nnan

“倒和数列”.下列关于“倒和数列”描述正确的有()

A.若数列｛a“｝是单调递增数列，则数列仍"一定是单调递增数列

B.若“+1=心,电14心+1，则数列｛即｝是周期数列

C.若—=15-2一则其“倒和数列”有最大值

D.若%=1—(；)：则其“倒和数歹小有最小值

【解题思路】对A：利用函数/(无)=x+工单调性和举反例判断；对B：根据题意整理可得an+i=2,进而

%C1n

分析判断；对C：分类讨论与的符号，并结合数列单调性分析判断；对D：根据数列单调性分析判断.

【解答过程】对A：/(%)=无+§在(—8,—1),(1,+8)上单调递增，在(—1,0),(0,1)上单调递减，即/(x)=%+(

在整个定义域内不单调，故无法判断数列仍“｝一定是单调递增数列，

例如%=-;，贝gn=—（n+£）,可知数列｛a.｝是单调递增数列，则数列｛，J是单调递减数列，A错误;

对B：•••%+]=g,则“+i—g=（?+1+亡）一（%+,）=S"+L卜:'=0,

又•cifiW。九+1，即Q/i+i—a1iW0,则。九+1Q/i—1=0,即a九+i=，

的1

­.an+2=—=^=an,则数列｛5｝是以周期为2的周期数列，B正确；

a"+1盛

对C：・.・。九=15-2几，则数列S九｝为递减数列，即a九+1-%1<0,

令册=15—2几V0,则九>?,

・••当几<7时，贝!Ja九>a7=1>0,bn>0；当n>8时,贝!Ja九<a8=—1<0,bn<0.

由B可得%+i~bn=二十i）（*ia"T）,

an+iCLn

若?1W6时，则册+1@九>0,a九+逆九一1>0,则g+i-b九V0,即力九+1〈5九，

・•b]>b2>byf

故其“倒和数列''有最大值名，C正确；

对D：=则数列&｝为递增数列，可得1+1-弓>0,0<|=%Wc1n<1,

•,-an+1an>0,an+1an-1<0,则bn+i-g<0,即“+i<%，

故数列仍"为递减数列，无最小值，D错误.

故选：BC.

三.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）（2022•河南安阳•高二期中）已知数列5｝的前几项为京1则｛&J的一个通项公

_u3n—1

式为a九=__2n+i

【解题思路】观察所给数列的规律，利用不完全归纳法求解即可.

【解答过程】因为;=岛，I2+38_2+3X211_2+3X3

22+1'9-23+1'17-24+1

2+3（n-l）3n-l

所以可以猜想即=

2n+l~2n+l

故答案为：gj.

14.（4分）（2022•甘肃省高二期中）已知数列｛%J中，的=l,an+i=-二=，则电。”=—2

2=-｝3=

【解题思路】由臼=1求出。。-2,a4=1,确定数列｛an｝为循环数列，最小正周期为3,从而

出。2022=03=—

【解答过程】因为%=1,所以g=--77=%=---T7=—r"=-2,

x+1

乙at+l2,a2+l2

_1____1_《

CLA.———1J..........,

“a3+l-2+1

所以数列为循环数列，最小正周期为3,

故。2022=a674x3=a3=-2.

故答案为：-2.

15.（4分）（2022•北京•高三期中）已知正项数列&｝满足（即+1）（“+[-1）=l（neN*）,则下列说法

正确的有①②④.

①若的=应，则VneN*,&i=/；

②若内力&,则数列中有无穷多项大于鱼；

③存在的>0,使数列｛a“｝是单调递增数列；

④存在实数M6（0,1）,使1ati+2-an+11<M\an+1-an\.

【解题思路】化简得出厮+1=」二+1,根据递推数列的性质，逐个选项进行计算即可求解.

【解答过程】化简得，即+1=」=+1,

对于①，=V2,则口2—+1=V2,因此，=也=a?==…=anf故①正确；

对于②，当0<ai（迎，则&2=1+，>1+代-1=隹，a3=l+—<1+V2-1=V2,可知，

当九为偶数时，an>V2；

，02=1—~~<1+y/2—1=y/2,a=1H--—>1+y[2—1=y/2，，

当%x>时则3可知当九为奇数时

"1+。1°l+a2

an<V2,故叫工收，则数列｛a九｝中有无穷多项大于迎，故②正确；

对于③，由a九+i=+1和。九+2=—J+1，作差可得，

a九+111Tl+1+1

n_n=__吁味1___整理得_____1______=（an+2-an+i）

n+2n+1（i+an+i）（i+an）'''（1+^+1）（1+0„）（On-an+1）

由（1+。九+1）（1+a?x）>°，可得，（。九+2—a?i+i）（%i—。几+1）>°，右。九+2>。九+1，则@九+1<。九，

若%+2<册+1，则%+1>册，故数列｛七｝是不具有单调性，故③错误；

对于④，an+1=-^―+1,当％i=c1rl+i时，有&1=」2+1,此时，an=V2,显然，1。n+2一册+114

MiM+i-anl恒成立;

若MW^+l，由上知，有+2-0+1=入「一年厂可得，M——三~,+2f+；1,

nn+1n+zn+1

(l+an+D(l+an)|(l+an+1)(l+an)|\an-an+1\

又｛%J为正项数列，可得，毕±2二灼!=不一~~-<1,即存在Me(0,1),使牛土广.力甲WM,故④正确;

lan-On+il(l+an+1)(l+an)\an-an+1\

故答案为：①②④.

16.(4分)(2022•全国•高三专题练习)给出下列命题：

①已知数列｛an｝,an=/3(neN*),则盘是这个数列的第10项，且最大项为第1项；

n+1

②数列鱼，-病,2或,-VIT,…的一个通项公式是an=(-l)V3n-l；

③已知数列｛&J,an=kn-5,且佝=1L贝bi7=29；

④已知册+i=。九+3,则数列｛a九｝为递增数列.

其中正确命题的个数为4.

【解题思路】令而看=白，以及数列｛a"的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确；

由曲=11，求得k=2,求得册=2九一5,可判定③正确；由“+i-a九=3>0,可判定④正确.

【解答过程】对于①中，令而W=击，解得几=10,且数列为递减数列，

所以最大项为第1项，所以①正确；

对于②中，数列e，Vs,V8,VT1,…的一个通项公式为厮=V3n-1,

所以原数列的一个通项公式为与=(-l)n+1-V3^1,所以②正确；

对于③中，由an=kn—5且cig=11,即8k—5=—ll,解得k=2,所以6=2?!—5,

所以的7=29,所以③正确；

对于④中，由an+i=c1n+3,可得an+i-厮=3>0,即册+1>与，所以数列为递增数列，所以④正确.

故答案为：4.

四.解答题(共6小题，满分44分)

17.(6分)(2022•山西省高二阶段练习)写出下列数列的一个通项公式.

1111

⑴一支’而3X4‘4X5’

2222

znx2-l3-14-15-1

(2),,，

v72345

【解题思路】(1)(2)根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.

【解答过程】(1)解：由-上，上，一二，二?，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为1,

且分母为序号与其后一个数之积,

故该数列的通项公式可以为（-1）叫—f（答案不唯一）.

n-（n+l）

（2）解：由心，三，三，红，…，

2345

可得该数列的一个通项公式为但士（答案不唯一）.

n+1

18.（6分）（2022•辽宁•高二期末）数列｛a“｝的通项公式是厮=/一7n+6.

（1）这个数列的第4项是多少？

（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

【解题思路】（1）利用数列国"的通项公式能求出这个数列的第4项；

（2）令出.=九2-7n+6=150,求出方程的解，即可判断.

【解答过程】（1）解：数列｛〃｝的通项公式是an=/—7n+6.

这个数列的第4项是：=42-7x4+6=-6.

（2）解：令%=於一7几+6=150,即几2一7九一144=0,

解得71=16或n=-9（舍），

・•.150是这个数列的项，是第16项.

19.（8分）（2022.全国.高三专题练习）己知数列｛an｝中，a】=2,a2=panan+2=l（nGN*）.

（1）求（I3,的值;

（2）求｛&J的前2021项和S202L

【解题思路】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；

（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.

【解答过程】⑴当n=l时，=1,所以CI3=今

当ri=3时，a3a5=1，所以。5=2;

（2）当n=2时，a2a4=1,所以（Z4=2；

由%；an+2=l知：%1+2%1+4=1，所以/i=an+4，故数列｛厮｝是以4为周期的周期数列，

a=a=a=a=

即。471=口4=2，4n+l=a1=2,a4Tl+222'4n+33

以S2021—505（。］+a2+。3+a4）+^2021—505（。］+a2++a4）+aI=2527.

22

20.（8分）（2022•辽宁丹东•高三期中）数列｛&J的前n项和为S“，已知的=｝Sn=nan-n（n-1）.

（1）设6n=）^Sn，证明：当n22时，bn—bn_1—n；

(2)求的通项公式.

【解题思路】(1)利用an=Sn—Sn_1,n>2及条件可得叶is”—』7Sn_i=n,从而可得结果；

TL71_1

⑵利用“累加法”可得以=詈5皿=誓2,可得％=手，利用条件即求.

22

【解答过程】(1)由上=九一九2(九一1),可知九22时，Sn=n(Sn—Sn_1)—n(n—1).

可得5九=S九_i+又b九=

"n2-l"xn+1"nn

所以“一“T=詈Sn-含Sn—=詈(生Sn—+今)-^^n-1

n.n

Scc

=^n-1+n--Sn-1=n.

(2)因为51=%=：,所以bi=2S]=l,

当nN2时，

-g_i)+(b_i-*_2)+•••-61)+bl=n+(n-

bn=(bnn+(b21)+…+2+1=吗+",

当71=1时，誓=/，于是“=吟2

所以詈立=乎，从而S“=f.

22

由=nan—n(n—1)可得an="芳一

21.(8分)(2022•上海徐汇•高一期末)已知数列｛%J的前〃项和为九=吟迎.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)令“=(巳)”7・心，试问：数列｛以｝是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由.

【解题思路】(1)利用数列｛&J的前〃项和为土与通项厮的关系即可求解；

(2)比较4与1的大小关系，利用数列仍几｝的单调性即可求解.

【解答过程】(1)

解：当n22时，an=Sn——6-以；3(时1)=九十

所以a九=n+l(n>2),

又当71=1时,Q]=S1=2也满足上式，

所以a九=几+l(nGN*)；

⑵

解：由⑴知以=信）"L（n+1）,

当几22时，g.1=九像厂2,所以占=陪,

711

\10/匕n_110n

令呸单2=1,得^=9,

10n

当71<9时，9（九+1）>],即力九>5九_1；

当n=9时，=1，即6n=bn-l；

当n>9时，陪<1，BPbn<bn_1；

所以数列｛以选增后减，有最大项且最大项为第8,9项.

22.（8分）（2022•全国•高二专题练习）已知数列｛%„｝.若存在BCR,使得｛|x“—B|｝为递减数列，则｛&｝称

为“B型数列”.

（1）是否存在8CR使得有穷数列1,察,2为B型数列？若是，写出B的一个值；否则，说明理由；

⑵已知2022项的数列｛%J中，皿=（―I）71.（2022-几）（neN*,1<n<2022）.求使得也兀｝为B型数

列的实数B的取值范围；

（3）已知存在唯一的BeR,使得无穷数列｛a"是B型数列.证明：存在递增的无穷正整数列的<n2<-<

nk<-,使得｛an2»J为递增数列，｛a”zJ为递减数列.

【解题思路】（1）取B=2,可得答案；

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(2)当n=2k(keN*,1<fc<1010)时，由Ezk-Bl>\u2k+1-B|n(u2k-S)>(u2k+1-B),解

得8<会同理，当n=2k-1时得B>-泉从而得到B的范围;

（3）首先证明：对任意NCN*,①存在p