2025年高考数学模拟卷（新课标Ⅱ卷专用）解析版

备战2025年高考数学模拟卷（新课标n卷专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合尸==eN：,Q=[x\-l<x<4},则P口。=（）

A.{1,2,4}B.{0,1,3}C.{x|0<x<3}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【分析】根据集合P，知x+l=l或2或4,从而得尸={01,3},再结合集合的交集运算性质运算即可.

【详解】由尸=卜〃=。/€可，得x+l=l或2或4,故尸={0,1,3}.

因为。={x|-lVxW4},所以PnO={04,3}.

故选：B.

2.已知首项为-1的等差数列{%}的前“项和为{》},%+%+%=%+。4，则与=（）.

A.25B.37.5C.50D.67.5

【答案】B

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.

【详解】由题意知％=-1,%+%+%=%+%O%+%+2d+%+4d=%+d+%+3dnd=；,

-1+|-l+14x-xl5

所以：。,I2

儿='—=37.5

2

故选：B

3.若。=1.0出，&=1.0106，C=0.6°5,则()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合指数函数、塞函数的单调性，即可求解.

【详解】y=l.oi\在R上单调递增,

0.6>0.5,

故1.01°6>1.01°5,所以/,>“，

尸产,在[0,+8）上单调递增,

1.01>0.6,故1.0产$>0.6叽即a>c,所以6>。>0.

故选：D

4.已知非零向量万，b,则中+可中-中是“向量空尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.

【详解】因为B为非零向量，

若归+同=口一可，则（1+町=伍-町，则丁+2万万+后=&2-2鼠5+小，

所以4展B=o,所以nB，故充分性成立；

若a，b，则万万二。，所以方2+21.3+后=12一2].日+/，

所以卜+4=他一4，则归+可=归一可，故必要性成立；

所以中+司小-中，是“向量14”的充要条件.

故选：C.

5.已知函数/（%）="-1口（％+2）在区间（2,3）上单调递增，则。的最小值为（）

,11

A.1B.2C.-D.—

45

【答案】c

【分析】由题意可知/'（x）=a二20在区间（2,3）上恒成立，进而分离参数得“2—

,从而由函数

g（x）=e（2,3）的单调性即可求解.

【详解】由题意可得/'（X）=4-士20在区间（2,3）上恒成立，

所以心一

设函数g（x）=±,xe（2,3）,易得g（x）在（2,3）上单调递减，

故a*⑵=；,即。的最小值为;.

故选：c.

6.一个正四面体边长为3,则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为()

A.9A/2B.3A/3C.976D.372

【答案】A

【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面

边长，继而可求正三棱柱的侧面积.

【详解】如图E为BC中点，尸为点。在底面的投影，

D

B

由题意得4B=3,BE=3,/£=36,AF=-AE=yf3,

223

DF=YIAD2-AF2=卜R,

所以该正四面体的体积为KJx3x辿=

3224

所以正三棱柱的体积为迪，高为指，

4

972

所以正三棱柱的底面积为工=迈，

八一4

设正三棱柱的底面边长为。，则5=\4.1°=地，

224

可得a=V3，

所以正三棱柱的底面边长为百，

所以该正三棱柱的侧面积为6x#x3=9后.

故选：A.

7.已知定义域为R的函数［(x)满足了(尤-2)是奇函数,/(x)是偶函数，则下列各数一定是/(x)零点的是

()

A.2019B.2022C.2025D.2028

【答案】B

【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.

【详解】因为/(%-2)是奇函数,所以/(》一2)=-/(一。一2)且/(-2)=0,

令x-2=t,可得：/0=-/(-"4)

因为/(》)是偶函数，/(2)=0且/(一/-4)=%+4),

所以/«+4)=-/。)，

所以/«+8)=-/«+4)=/(。,

所以定义域为R的函数/(x)一个周期为8,

所以/(2019)=f(252x8+3)=〃3)无法判断，

7(2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(-2)=0,

/(2025)=/(253x8+l)=/(l),无法判断.

/(2028)=7(253x8+4)=/(4),无法判断.

故选：B

8.已知抛物线C：x2=2分(p>0)的焦点为凡过点打3,-2)作C的两条切线，切点为4,B,且。为。上

一动点，若|。F|+|尸。|的最小值为5,则△以3的面积为()

125—75125

A.75B.----C.—D.----

224

【答案】D

【分析】根据抛物线定义得到P=4,再利用导数得到切点弦所在直线方程，再求出直线的长和点尸到

直线48的距离，最后利用三角形面积公式即可.

【详解】当F,Q,P三点共线时，|"|+|尸取得最小值，且尸|+|P0|)1nhi=|依卜5,

所以|)|=，9+§+2)2=5,解得P=4,所以C:/=8y.

由y=得=

o4

设/(XQi),8(%,%),则曲线y=：x*x=再处的切线方程为=:西•(尤-西),

oo4

13

即了=；再X-耳.因为切线过点尸(3厂2),所以一2=：网-必.

同理可得2=；3%-%,所以直线AB的方程为-2=：3x-y,即3x-4y+8=0.

f3x-4y+8=0,17

联立方程组<2。得2y2-17y+8=0,A=172-64=225>0,贝!I弘+%=彳.

Ix-=8%2

75

因为直线AB过焦点F,所以|/同=%+%+4=],

点P至！]直线3x—4y+8=0的距离“J.3X34；2)+8」=5,

1125

所以治咖=》/8”=丁・

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用抛物线定义和三点共线得到。，再然后是利用导数得到切点

弦所在直线方程，最后再求出|AB|和点尸到直线的距离.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数/'（x）=/sin（@x+9乂/>0,0>0,0<。<兀）的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）

71

B.（p=~

3

C./（X）关于x=T对称

D.将函数/（x）的图象向右平移三个单位长度得到函数力（无）=2sin2x

【答案】AC

【分析】根据"浮女可得。=2,代入最高点可得0」，进而求出函数〃x）的表达式，即可判

4126406

断AB,代入验证即可判断C,根据平移即可求解D.

【详解】由图象可知/=2,7=7T-7=7X--解得7=兀，0=2，

41264公

又〃与=2,所以2sin（g+夕）=2,即打9=?+2何以Z,

6332

结合0＜。＜兀，可知左=0,0=2,得/（X）的表达式为/（x）=2sin（2x+?）,故A正确，B错误，

66

对于C,由于/Q=2sin（空+3=2sin*-2,即〃x）的图象关于尤="对称，故C正确；

53623

对于D,函数〃x）的图象向右平移9个单位长度可以得到函数g（x）=2sin[2（x-?+白=2sin（2x-》，故D错

6boo

误.

故选：AC.

10.已知s,为数列｛叫的前〃项和，若邑=34+”,则（）

A.%=（B.数列1｝为等比数列

【答案】BCD

【分析】当〃=1时，S[=3q+1,解得q=-g；根据S"=3%+〃，可得当〃上2时，S“_[=3%_]+〃-1,从

而得即=根据B可求得=从而可求出5“=3-31|1+”.

【详解】A：当〃=1时，岳=31+1,解得%=一:，故A错误；

B：因为S,=3〃”+〃，当〃22时，81=3%+九-1,

31

将两式相减可得=34-3a〃_i+l,即"〃=万。〃_1-],

313

则4〃一1=5（。〃-1一1），因4=-5，贝!）q-1=一5，

数歹！J｛%T｝为首项为-；a，公比为搭a的等比数列，故B正确；

C：由B可得%=所以故C正确；

D：Sn=3a„+«=3-30J+n,故D正确.

故选：BCD.

11.若函数/(工)=/+加+岳:+。，贝！|()

A./(x)可能只有1个极值点

B.当/(x)有极值点时，/>36

C.存在。，使得点(0,〃0))为曲线y=〃x)的对称中心

D.当不等式/(x)<0的解集为(-s,l)U(l,2)时，/(X)的极小值为

【答案】BCD

【分析】A项,根据判别式分类讨论可得;B项，〃x)有极值点转化为A20,结合A项可得;C项，取“=b=0,

验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程〃x)=0的两根且/(1)=0,解出系数a,b,c,

代入函数求解极值即可判断.

【详解】f(x)-x3+cue2+bx+c,

贝!I/(x)=3/+2ax+b,令f\x)-3x2+2ax+b=0,

△=4/-126=4(4一36).

A项，当/一3b40时，/,(x)>0,则〃x)在R上单调递增，不存在极值点；

当/-3b>0时，方程3/+2"+6=0有两个不等的实数根，设为再产2，西<了2，

当x<x［时,f'(x)>0,〃x)在单调递增；

当再<》<三时，f\x)<0,/(x)在(国,％)单调递减；

当》>三时，r(x)>0,〃x)在5,+8)单调递增；

故〃x)在x=看处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点；

综上所述，不可能只1个极值点，故A错误；

B项，当/(x)有极值点时,/'(无)=0有解，贝！］公=4/一126=4(/一36)20,

即1-36W0.由A项知，当/一36=0时，〃x)在R上单调递增，不存在极值点；

故/>36,故B正确；

C项，当。=6=0时，f(x)=x3+c,

f(-x)=-x3+c,所以〃x)+/(-x)=2c,

则曲线〃x)关于(0,c)对称，

即存在。，使得点(OJ(O))为曲线y=f(x)的对称中心，故C正确;

D项，不等式/@)<0的解集为(-8,1)1(1,2),

由A项可知仅当/一36>0时，满足题意.

则/(1)=0且*2)=0,且f(x)在x=1处取极大值.

\+a+b+c=0一仿二一3〃一7

,则有1

8+4Q+26+C=0。=2。+6

故/(x)=/+ax2-(3a+7)x+2〃+6,

f\x)=3x2+2ax-(3a+7),

又八l)=3+2a_3"7=_a_4=0,

解得”=—4,

故/(x)=J-4x2+5x-2,

贝丫口)=312_81+5=0_1)(3]_5),

当x<l时,Ax)>0,则在(-8,1)单调递增；

当时，r(x)<o,则〃x)在向单调递减；

当r(x)>o,则〃x)在1,+j单调递增；

故〃尤)在x=l处有极大值，且极大值为/⑴=0；

/⑴在/5处有极小值，且极小值为/(目5、=詈125—4x925+5x52=-j4

故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式/'仁卜。的解集为(-叫2)，，的转化，一

是解集区间的端点是方程〃x)=0的根，二是在无=1处取极值，从而/''(1)=0.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在

第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有种.(用数字作答)

【答案】14

【分析】根据题意，由间接法代入计算，即可得到结果.

【详解】总方案有A：种，1班排在最后有A；种方案，4班排在第一位有A；种方案，

1班排在最后且4班排在第一位有A；种方案，

则满足要求的方案有A：-2A；+A”14种.

故答案为：14

13.若曲线y=e，在点(0,1)处的切线也是曲线＞=ln(x+l)+。的切线，则。=.

【答案】1

【分析】先求出曲线y=e'在(0,1)的切线方程，再设曲线＞=ln(x+l)+。的切点为(%,ln(x0+1)+a),求出,

利用公切线斜率相等求出％表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解

【详解】由…,得了=e3yU=e°=l,

故曲线y=e'在(0,1)处的切线方程为y=x+l；

由尸ln(x+l)+a,=^—，

x+l

设切线与曲线＞=ln(x+l)+a相切的切点为(%,山(%+1)+&),

由两曲线有公切线得了=士=1,解得％=0,

十I

则切点为(0,。)，切线方程为y=x+a,

根据两切线重合，解得4=1.

故答案为：1.

i7

14.已知函数/(x)=Y+2x,若机>0,«>0,且/(2加)+/(“-1)=〃0),则上+上的最小值是

mn

【答案】8

【分析】由函数奇偶性的定义可知/(x)为奇函数，根据单调性可知2加+〃=1,然后结合基本不等式即可求

解.

【详解】函数/(x)的定义域为R,且〃r)=(f)3-2x=_〃x),

所以/(x)为奇函数，又/'(X)=3X2+2>0,所以函数单调递增，

又/(。)=0,所以/(2加)+/(〃-1)=0,

所以2m+〃-1=0,即2m+n=lf

山ri12(\2\_x.n4..In4m

所以一+—=—+-(2m+n)=4+—F—>4+2——=8o,

mnn)mnn

、r,rI〃4m叩11yr,、、.

当且仅当一=—，即〃=7,等节成工，

mn24

1?

所以▲的最小值为8・

mn

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)在VZBC中，角A,B,。的对边分别是。，b,c,且GsinB-Zsin?0=1.

2

(1)求角5的大小；

Q)若b=2也,。为4。边上的一点，BD=3,且,求V/BC的周长.

(从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)

①BD是NB的平分线；

②。为线段4。的中点

【答案】(1)5=1

(2)选①和②，答案均为

【分析】(D根据三角函数恒等变换得到sin(8+《)=1,从而求出8=方；

(2)选①，由三角形面积公式得到ac=6(。+c),由余弦定理得至！J/+/-4C=12,求出〃+c=4下,得

到周长;

选②，BD=^(BA+BC^a2+c2+ac=36,由余弦定理得/+c?-ac=12,联立求出a+c=4G，

得到周长.

【详解】(1)因为百sin8-2sin2^=l,可得GsinB-。-cosB)=1,

故6sinB+cosB=2,故2sin(8+£)=2,

可得sin(8+£|=l,

因为8e(O,7i),8+所以B+£=g,可得2=9

6166J623

(2)若选①：由AD平分得：S^ABC=‘△ABD+S^BCD，

BO—6zcsin—=—xsin—+—x3csin—,即QC=VJ(Q+c),

232626v7

在VABC中，由余弦定理得〃=/+，_2^ccos—,

3

W?a2+c2-ac=n,两式联立可得Q+C=4G，

所以V/BC的周长为Q+6+C=4>Q+2G=6G;

若选②：。为线段4C的中点，故丽=g（或+前「

丽2=：（加+就丁=：（加2+2加.就+

JT12.7L9

因为8=；,BD=3,故了c+2c・acos—+。=9,

343

整理可得Q2+02+QC-36,

在VABC中，由余弦定理得〃=a2+/-2accos—,

3

所以/+。2-ac=12,

两式联立可得QC=12,所以。+°=4君，

从而V/5C的周长为“+6+0=46+26=66.

16.（15分）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装有〃个形状大小

相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取机个球（冽工功，摸完后全部放回袋中，球上所标

的面值之和为该员工所获得的红包数额.

⑴若〃=4,冽=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所获得的

红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率;

⑵若"=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元时，求

员工所获得红包数额的数学期望与方差.

【答案】(1《3

⑵期望为96；方差为104

【分析】(D记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的球，根据条件

先求尸(/),尸(48),再利用条件概率公式，即可求解；

(2)由题知X可能取值为80,90,100,110,再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解.

【详解】(D记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件3：取到面值为60元的球，

因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以尸(4)=邑^^=°,

c46

又「所以尸(面加瑞VI•

6

(2)设X为员工取得的红包数额，则X可能取值为80,90,100,110,

所以P(X=80)=g=g尸(X=90)==J,

2211

尸(X=100)=曰=7尸(X=110)=e=歹

1121

所以E(X)=80x-+90x—+100x-+110x—=96,

5555

1121

Z)(X)=(80-96)2X-+(90-96)2X-+(100-96)2X-+(H0-96)2X丁104.

17.(15分)如图，在六面体中，AAJIBBJICCJIDD,,且底面/BCD为菱形.

(1)证明：四边形〃为平行四边形.

⑵若AAt1平面ABCD,=CC15/BAD=60°,DD,=5,AB=BB,=2,求平面AXBXCXDX与平面ABCD所成二

面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)3A/T|

13

【分析】(D由题意可证明平面8CG4〃平面44D。，利用面面平行的性质可得4G//42,同理可得

ABJ/CR,进而可证结论；

(2)建立空间直角坐标系，设/4=〃，利用福=万高，可求得力=5,求得平面445。与平面N3C。的

法向量，利用向量法可求得平面44G2与平面ABCD所成二面角的正弦值.

【详解】(D因为四边形48C。为菱形，所以3C〃/D,

又ADu平面AXADDX,BC<Z平面A.ADD,,

所以BC//平面//。2，

又BB\UAA\,/4<=平面42。2,340平面4402，所以AS//平面

因为8月口8c=3,BB],BCu平面BCC/i，所以平面BCQ4〃平面，

因为平面44G2n平面BCCR=B6,平面4纥。口n平面A{ADD{=G,

所以4£//42，

同理可得4BJ/C\DI,所以四边形AMQi为平行四边形.

(2)由题意得8。=2,/。=26.以菱形4267)的中心。为坐标原点，

赤，1的方向分别为xj轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。刈z,

设/4=〃，则不。，一G,〃)，4(i,o,2),£(o,e®，2(T,o,，.

因为四边形4452为平行四边形，所以福=帚,

则(1,6,2--5),所以2-〃=〃-5,得力=：,

所以函=[1,△-j,丽;=11,百,|).

设平面45cl2的法向量为％,

则AE•n]=0,AR•々=0,

x+---z—0,

2

即，3

-x+-x/Sjv+~z—0,

令z=2,得々=(3,0,2).

易知平面ABCD的一个法向量为鼠=(0,0,1),

——几1外22用

则外,%=尸桁

cos713x1-13，

所以平面4B£R与平面ABCD所成二面角的正弦值为上叵.

13

22

18.(17分)已知椭圆C:「+《=l(a>6>0)的左、右焦点分别为F、、F”N(-2,0)为椭圆的一个顶点,

ab

且右焦点凡到双曲线.犬-/=2渐近线的距离为叵,

2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线/2=履+冽。*0)与椭圆C交于4、8两点.

①若直线/过椭圆右焦点色，且△，歹山的面积为更，求实数人的值；

5

②若直线/过定点尸(0,2),且左>0,在x轴上是否存在点7亿0)使得以窃、窗为邻边的平行四边形为菱形?

若存在，则求出实数/的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴二+片=1

43

「君)

(2)①后=±G;②--—,0

【分析】(1)利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；

(2)①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k

的值；

②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为-1,通过这个等式转化为，的

函数，即可求解取值范围.

【详解】(1)由双曲线.长-『=2的渐近线方程为x±y=O,

再由椭圆C:]+/=l(a>b>0)的右焦点分别为八30)到渐近线的距离为当可得:

'=因为c>0,所以解得c=l,

7TW

再由椭圆的一个顶点为N(-2,0),可得a=2,

所以由〃=片-/=4-1=3,

即椭圆C的标准方程为—+^=1；

(2)①直线/：N二6+冽化wO)过椭圆右焦点Fz可得：0=k+m,即加=-左，

所以由直线/：了=左(》-1)与椭圆c的标准方程[+[=1联立方程组，消去y得:

(4后2+3)x2-8左?x+4左2-12=0,

设两交点A(x>yjB(X,y).则有x,+x=x=工

222Xl2J,

^rK十3^TK十3

44k2-12_12（H+

所以|/凶=J1+左"卜］—X?|=yjl+k

4k2+3-41+3

/、I-2A-I

又椭圆左焦点Fi(-1,0)到直线/：k(x-l)-y=0的距离为,

12（左2+1）86

所以S4岗5=——•

4k2+35

解得：后2=3或左2=-.(舍去)，即4=±若；

②假设存在点T&0)使得以为邻边的平行四边形为菱形，

由于直线过定点次0,2),且左>0,可知直线方程为>=日+2,

22

与椭圆土+匕=1联立方程组，消去y得：(4F+3)Y+16丘+4=0,

由A=192左2—48>0,且左>0,解得左

2

设两交点A(Xi，yjB(X2，y2),48中点•(%,%),则有七=标*,中2=艰工p

b1、iM+x-8k7.6

//1*?,y(\-kx(\+2=~，

024k2+3°4左2+3

—r—2k2

即％=一i=飞动一，整理得'=-灯=-二，

--二

4斤2+3-t---------------------------Kk

又因为左>；,所以软+N46+力)，贝!he-骼，。［

【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以以，窗为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再

利用求解中点坐标来表示加斜率，最后利用斜率乘积等于-1,从而得到关于f的函数来求取值范围.

19.(17分)对于函数/(X),若在定义域内存在实数%,且满足/(-%)=/(%),则称「(X)为“弱

偶函数”.若在定义域内存在实数看,满足〃-/)=-则称/'(X)为“弱奇函数”.

,、一，x<0

⑴判断函数/(%)=X是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”并说明理由；

x3,x>0

(vY-2m-V-4Y>-1

(2)已知函数%(%)=i)9~,为其定义域上的“弱奇函数”，求实数冽的取值范围；

-4,x<—1

~31

⑶已知a>1,对于任意的此1,-,函数〃(x)=ln(x+l+a)+f+尤-6都是定义域为［-1,1］上的“弱奇函数”,

求实数。的取值范围.

【答案】⑴/(尤)不是“弱偶函数"，/'(x)是“弱奇函数”，理由见解析

3

⑵加m>——

2

(3)l<6z<e-l

【分析】(1)根据题意“弱偶函数”、