2025高考数学专项复习：平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算（含答案）

2025高考数学专项复习平面向量中的奔驰定

理以及三角形四心的相关计算含答案

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算

目录

奔驰定理和四心的性质及证明

奔驰定理以及四心的向量式

题四O四心的识别

题因自奔驰定理

ms四心的相关计算

题四圆奔驰定理与四心的综合题

知识点•梳理

技巧一.四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理-----解决面积比例问题

重心定理:三角形三条中线的交点.

已知△ABC的顶点yJ,B（X2,纺），C（g,统），则ZVIBC的重心坐标为G（，计才+g,1y飞十队

注意：（1）在△ABC中，若。为重心，则示+无+加=6.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：式苕=｝荏+2

OO•••

奔驰定理：SA-OA+SB-OB+SC-OC=0,则A4OB、A4O。、△60。的面积之比等于刖演人

奔驰定理证明：如图，令AiOA=OA"2加=OBi"3形=南，即满足OA.+OB.+OC^0

S^AOB

]SAAOCJ：，"0°=，故SMO^.S丛AOC：S丛BOC=

SAAQBI义1义2SAAQC141人3DABQG/l2/l3

技巧三.三角形四心与推论：

⑴。是△ABC的重心：Sgoc：SdcoA：S/^AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的内心：SABQC:SACOA:SAAOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

S^B℃：SACOA：SAAOB=sin2A:sin2B:sin2CQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S/\B℃：SACOA：SAAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见他论

（1）内心：三角形的内心在向量+1与所在的直线上.

网"I

I荏I•定+1宓|•定+1玄卜屈=6oP为△ABC的内心.

⑵外心：|巨?|=|屈|=\PC\0P为AABC的外心.

⑶垂心：丙•两=丽・反5=定•瓦为△48。的垂心.

（4）重心：示+屈+同=6oP为△48。的重心.

弃庭定理和四心的性质及证明（全）/

【重心】:若O为AIB。重心\

⑴SABOC：SACOA：SA4OB=上1：1；BC

（2）04+05+00=0;

（3）动点P满足历=ON+A（AB+AC）,4e（o,+oo）,则P的轨迹一定通过△4BC的重心

_>_>（7R~ACy

（4）动点尸满足OP=04+才，，—+,:—"e（o+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC

I\AB\sinB“卜inC）

的重心

⑸重心坐标为：尸丁，中坟).

\JO'

【垂心】:若O为ZUBC垂心

<S)OA-OB=OB-OC=OC-'OA

(2)|m|2+|Bc|2=|OB|2+|GA|2=|OC|2+|AB|2

（3）动点P满足囱=瓦？+4—+，一C—"e（0,+00）,则动点P的轨迹一定通过△48。

I\AB\cosB|AC|COSC）

的垂心

=

(4)S^O(J,.S^COA:S^OBtanA:tan5:tanC

(5)tanA•OA+tanB•OB+tanC•OC=0.

【内心】:若O为内心

BC

、COA：S4AoB=a:b:c

⑵+b•加+c沈=6

AB

(3)动点P满足标=31+4,A6[0,+8),则P的轨迹一定通过△ABC的内心

\AB\+而

(i)oI?=dB?=dc5；

(2)动点P满足毋=°B1℃荏I冠

,/le(o,+8),则动点F的轨迹一定通过

|AB|cosB124aCOSC

△ABC的外心;

⑶若+同•诟=(9+对属=+两•/=(),则。是△ABC的外心;

@)S^goc：SACOA：SAAOB=sin2Asin2Asin2c;

(5)sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0.

奔聒定理以及四心的向量式

证明：已知。是A4BC内的一点，ABOC,A4OC,AAO8的面积分别为SA，SB,S0,求证：SA-OA+

SB-OB+SC-OC=^

A

【解答】如图，延长OA与BC边相交于点。则yoj\

BDS\ABDS^BODSAAB。-S^BODS,

DCS、ACDSbcoDSACD—SbcoDSB

OD=^OB+^OC

JDG

SBS0

VB+VC

SB+SCSB+SC

SCODSBOD+SCODSA

..ODSBOD

(

OASBOASJOASBOA+SCOASR+SC

・・.OD=-OA

SB+SC

ol=OB+OC

SB+beSB+beSB+be

・・・

SA-OA+SB-OB+Sc-OC=0

推论:O是A4BC平面内的一\点、，且N・OA+y*OB+z・OC=0,则

SABO。

S^BOC：SbcoA：SbAOB=㈤:㈤:⑶②

S^ABCx-\-y+z

【奔驰定理与三角形四心向量式】

1、。是AABC的重心oS>BOC：S、COA：S>AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0

2、O是'ABC的内心=S耶oc：SbcoA：SbAOB=a:b:c=a*OA+b*OB+c*OC=0

3、O是'ABC的外心oSgoc：SbcoA：SkAOB=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A•OA+sin2B•OB+sin2C•OC=0

4、O是'ABC的垂心QS型oc：S、COA：S»AOB=tanA:tanB:tanC

QtanA•OA+tanB•OB+tanC*OC=0

证明：如图。为三角形的垂心，tanA=,tanB=gg0tanA:tanB=DB:AD

ADDJD

S.oc：S、COA=DB:AD

••S^BOC：SbcoA=tanA:tan5

=

同寸SNO。A：S卜ACI^'tan_^:tanC7,S、BOC：StanA:tanC7

**•SNRCO：SNOOA：SNAOR—tanAitan_SitaiiCr

5

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

【题型四心的识别

题目叵已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：两+屈+定=6；乙：两•（两一通）=定・（两一两）；

丙：|丙|=|两|=］定|；T；PA-PB=PB-PC=PC-PA.

如果只有一个等式不成立，则该等式为（）

A.甲B.乙C.丙D.T

题目叵已知点。是平面上一定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足加=示+

A+［0,+8）,则。的轨迹一定通过△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

［题目［］］若。在△ABC所在的平面内，a,b,c是△ABC的三边，满足以下条件

a•瓦？+6•无+方=0,则。是△ABC的（）

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

题目@若。在△ABC所在的平面内，且满足以下条件

【四心之垂心】

1题目已知。是平面上一定点，4,8,。是平面上不共线的三个点，动点P满足岳=。1+

/_ABAC

久e（o,+8）,则动点p的轨迹一定通过△48。的（）.

1|AB|cosBAC\cosC)

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【题目叵。是△ABC所在平面上一点，若羔・屈=屈・同=宓・启,则P是△4BC的（

A.重心B.外心C.内心D.垂心

［题目区若H为△ABC所在平面内一点，且|反?『+|或『=|HB|2+|CA|2=|HC|2+|AB|2

则点”是△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【四心之重心】

题目回已知G是△ABC所在平面上的一点，若彳X+,+0方=0,则G是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

题目叵）已知O是平面上一定点,A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+A（AB+

Z方）"e（0,+8）,则P的轨迹一定通过△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

题目叵。是△ABC所在平面内一点，动点P满足^?二加+4

|AB|sinB|AC|sinCJ

4e（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A.内心B.重心C.外心D.垂心

【四心之外心】

「题目HU已知。是△ABC所在平面上一点，若谬=01,则。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

OB+OC

题目旧已知。是平面上的一定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足历=

2

AC}

+4ae（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。

|AB|cosB|AC|cosCJ

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【题目叵O是△4BC所在平面上一点，若（31+5而•荏=（OB+OC）-W=（OA+OC）-AC=

0,则。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

奔驰定理

:题目|T|已知点P是A4BC所在平面内一点，满足2且？+5两+3定=6，SA71BC=s,^JSApBC=

:题目区|已知点P是A4BC所在平面内一点，满足巨？+丽+2定=3荏，则A4BP与A4BC面积之

比是___

题耳叵设P为ZVIBC所在平面上一点，且满足3PA+4FC=mAB（m>0）.若4ABP的面积为8,

则△ABC的面积为.

:题目叵已知O是△ABC内部的一点，乙4,NB,NC所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若

+sinB•元+sinC-3d=6,则△AOB与△ABC的面积之比为（）

邀目叵已知。是三角形ABC内部一点,且加+2OB+5苕=6,则A4OB的面积与'ABC的面积

之比为（）

题目叵若点M是△48。所在平面内的一点，点。是边AC靠近4的三等分点,且满足5AM=AB+

/，则4ABM与4ABD的面积比为（）

:题目区平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAR,△08。，△OCA的面积分别

记作S0,Sa,SB，则有关系式S。•瓦？+Sb•元+Sj0d=6.因图形和奔驰车的logo很相似，常把上

述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a-OA+b-OB

+c♦。苕=6,则O为△48。的（）

C.重心D.垂心

四心的相关计算

藏目叵著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外

心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知

△ABC的外心为O,重心为G,垂心为为中点，且48=5,4?=4,则下列各式正确的有

①/灰=-3@AO-BC=-Q

③而=ZH+9+Dd®AB+AC=^OM+2HM

题目叵若。为4ABC的重心（重心为三条中线交点），且市+海+AOC=6,则4=.

：W@区锐角△ABC中，a,b,c为角48,。所对的边，点G为AABC的重心，若AG，8G,则cos。

的取值范围为.

「题目区设点O是△ABC外接圆的圆心，43=3，且配•皮=—4,则电吗的值是

smC---------

外心向量计算可以构造方程组

题目叵已知点O是AABC的外心，若丞5=^AB+《前,则cos/及4。=.

99

题目叵已知点。是△4BC的内心，若丞5=4而+《前,则cos/及4。=（）

99

江西稽州市高一期中第16题一一外心、重心相关计算

［题目叵、48。中，4B=3,AC=6,G为AABC的重心，O为A4BC的外心，则而•耳苕=

:题目叵〔⑴已知△4BC的外心为O,且48=5,4。=3,则及5•宓=.

（2）已知△48。的重心为。，且48=5,3,则N万•圮=.

（3）已知△ABC的重心为。，且48=5,40=3,4=卷，。为8C中点，则初•"=.

［题目叵］设H为ZVIBC的垂心,且3HA+£HB+5HC=币，则cos//HB=.

题目叵］（多选）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为以，则下列结论正确的是（）

A.AO-AB=~AB2

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C.过点G的直线Z交43、47于夙尸,若在=/玄，/=〃点,则3+!=3

A〃

D.万？与共线

\AB\cosB|AC|cosC

藏目叵著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到

外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.

已知△ABC的外心为O,垂心为重心为G,且AB=2,AC=3,则下列说法正确的是（）

A.AH-BC=OB.AG-BC=-C.AO-BC=^-D.OH=OA+OB+OC

o/

题目旧著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到

外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.

设点分别是△4BC的外心、垂心，且M为中点，则（）

A.AB+AC=3HM+3MOB.AB+AC=3HM-3MO

C.AB+AC=2HM+42WOD.AB+AC=2HM-^MO

山东盾枣庄、滕州市高一期中联考第16题一一外心相关计算

［题目应］已知。是△4BC的外心，48=6,47=10,若丞5=爰岳+,前,且2/+109=53/0）,则

△ABC的面积为.

题目叵］（1）已知△ABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则初•豆方=.

（2）已知△ABC的重心为O,且AB=5,4。=3,则丞5•反5=.

（3）已知△48。的重心为O,且AB=5,47=3,4为中点，则Z6比=

O

［题目叵5在△ABC中，荏・/=16,$080=6,8。=3,且若。为△ABC的内心，则丞

BC=.

题目I16］设/为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nBC，则m+九为.

题目叵在△48。中，cosA=（~,。为△48。的内心，若初=2；血+“前3，96兄），则力+4的最

大值为（）

题目叵已知点。是AABC的内心，若丞5=-|-AB+yAC，则cosZBAC=.

题目叵］已知。为△4BC的外心，AC=3,8C=4,则。•荏=.

题目也在△ABC中，AB=6,AC=30•点河满足标=曰荏++3百.过点河的直线Z分别与

边48,4。交于点。,后且无方=4万B，AE=—AC.已知点G为△ABC的外心，AG=AAB+

A〃

“zd,则\AG\^).

题目巨已知H为△ABC的垂心(三角形的三条高线的交点)，若潘♦荏+符方，则sin94c

题目叵3设打是AABC的垂心，且4HA+5HB+6HC=6,则cos/AHB=.

题目叵在/\ABC中，点。、点H分别为△4BC的外心和垂心，|48|=5,|AC|=3,则而•反5=

奔驰定理与四心的综合题

更目叵已知XABC的内角人、口、C的对边分别为a、b、c,O为XABC内一点，若分别满足下列四个

条件：

①aOA+bOB+cOC=0；

②tanyl-OA+tanB-OB+tan。OC=0；

③sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-00=0；

@OA+OB+OC=0；

则点。分别为A4BC的()

A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心

题目叵奔驰定理：已知O是△4BC内的一点，ABOC,/\AOC,/\AOB的面积分别为S4SaS。则S,

SA-市+SB•瓦+5方=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的

图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O是锐角

△4BC内的一点，A,B,。是△ABC的一个内角，且点O满足则瓦乙湿=瓦•&5=。苕•示，则

()

A

A.O为△46。的垂心B.AAOB=n-C

C.|OA|：|OB|：|OC|=sinA：sinB：sinCD.tanA-OA+tanB-OB+tanC•OC=0

［题目叵］“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三

叉车标很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，ABOC,

/XAOC,/\AOB的面积分别为S4、S-S°,则有+SBOB+ScOC=6,设。是锐角AABC内的

一点，/氏4C,乙4BC,乙4cB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）

A.若美+无方=6,则。为△ABC的重心

B.若瓦？+23§+3》d=6』iJS4：SB：Sc=l：2：3

C.则。为ZVIBC（不为直角三角形）的垂心，则tan/BAC•瓦5+tanZABC-OB+tanZACB-OC

-»

=0

D.若|35|=|座1=2,乙4OB=军，2瓦？+3元+4而=小,则5田°=?

111162

画史④（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△ABC内一

点，ABOC,/\AOC,fXAOB的面积分别为SA,SB,S°,则ST加+S8•元+So•5方=6,O是

△ABC内的一点，/历1。，NABC,乙4cB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

A.若2瓦5+3OB+4OC=6,则SA：SB：S0=4:3:2

B.若|D1|=|屈|=2,=§，且2示+3成+4元=6,则S^BC：

C.若瓦5•丽=瓦・云=3d•市，则。为△ABC的垂心

D.若。为△ABC的内心，且5示+12诟+13区=百,贝I」乙4cB

题目叵（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△4BC内一

点，ABOC、△AOC、AAOB的面积分别为SA、SB.S0,则SA-加+SB•加+So•。3=币.设。是锐

角△ABC内的一点，NBA。、/ABC、乙4cB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

A.若dl+2屈+3历=6,则SA：SB：SC=1:2:3

B.\OA\=\OB\=2,NAOB=罢，2^1+3加+4历=6,则$O30=?

111162

C.若。为△48。的内心，3a+43§+5加=小,则zc=y

D.若。为△ABC的重心，则OA+OB+OC=G

［题目回在给出的下列命题中，正确的是（）

A.已知O为△48。的外心,边48、AC长为定值,^\AO-BC为定值.

B./\ABC中，已知4B=3,AC=2,/历1C=1■，则前+卜〉0）,且由5=

+（1-〃云，则4C=3（*@

5

C.加•为△ABC为所在平面内一点，5.|ZC|2-|AB|2=2AA1-BC,则动点M的轨迹必通过△ABC的

重心.

D.H为△ABC的垂心，2福+3显+4且3=6,则cosNAHB=—字.

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算

目录

奔驰定理和四心的性质及证明

奔驰定，以及四心的向量式

酗O四心的识别

奔驰定理

宓型1三四心的相关计算

施，型口,奔驰定理与四心的综合题

知识点•梳理

技巧一.四心的梃念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.弁驰定理——解决面积比例问题

重心定理:三角形三条中线的交点.

Xx++x3

已知△ABC的顶点yJ,B（X2,纺），C（x3,禽），则△ABC的重心坐标为G（^,沙飞十%

注意：（1）在△ABC中，若。为重心，则示+无+。3=6.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：式苕=豆+2区方.

OO•••

奔驰定理：SA-OA+SB-OB+SC-OC=0,则A4OB、A4O。、△60。的面积之比等于刖演人

奔驰定理证明：如图，令AiOA=OA"2加=OBi"3形=南，即满足OA.+OB.+OC^0

S^AOB

]SAAOCJ：，"0°=，故SMO^.S丛AOC：S丛BOC=

SAAQBI义1义2SAAQC141人3DABQG/l2/l3

技巧三.三角形四心与推论：

⑴。是△ABC的重心：Sgoc：SdcoA：S/^AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的内心：SABQC:SACOA:SAAOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

S^B℃：SACOA：SAAOB=sin2A:sin2B:sin2CQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S/\B℃：SACOA：SAAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见他论

（1）内心：三角形的内心在向量+1与所在的直线上.

网"I

I荏I•定+1宓|•定+1玄卜屈=6oP为△ABC的内心.

⑵外心：|巨?|=|屈|=\PC\0P为AABC的外心.

⑶垂心：丙•两=丽・反5=定•瓦为△48。的垂心.

（4）重心：示+屈+同=6oP为△48。的重心.

弃庭定理和四心的性质及证明（全）/

【重心】:若O为AIB。重心\

⑴SABOC：SACOA：SA4OB=上1：1；BC

（2）04+05+00=0;

（3）动点P满足历=ON+A（AB+AC）,4e（o,+oo）,则P的轨迹一定通过△4BC的重心

_>_>（7R~ACy

（4）动点尸满足OP=04+才，，—+,:—"e（o+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC

I\AB\sinB“卜inC）

的重心

⑸重心坐标为：尸丁，中坟).

\JO'

【垂心】:若O为ZUBC垂心

<S)OA-OB=OB-OC=OC-'OA

(2)|m|2+|Bc|2=|OB|2+|GA|2=|OC|2+|AB|2

（3）动点P满足囱=瓦？+4—+，一C—"e（0,+00）,则动点P的轨迹一定通过△48。

I\AB\cosB|AC|COSC）

的垂心

=

(4)S^O(J,.S^COA:S^OBtanA:tan5:tanC

(5)tanA•OA+tanB•OB+tanC•OC=0.

【内心】:若O为内心

BC

、COA：S4AoB=a:b:c

⑵+b•加+c沈=6

AB

(3)动点P满足标=31+4,A6[0,+8),则P的轨迹一定通过△ABC的内心

\AB\+而

(i)oI?=dB?=dc5；

(2)动点P满足毋=°B1℃荏I冠

,/le(o,+8),则动点F的轨迹一定通过

|AB|cosB124aCOSC

△ABC的外心;

⑶若+同•诟=(9+对属=+两•/=(),则。是△ABC的外心;

@)S^goc：SACOA：SAAOB=sin2Asin2Asin2c;

(5)sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0.

奔聒定理以及四心的向量式

证明：已知。是A4BC内的一点，ABOC,A4OC,AAO8的面积分别为SA，SB,S0,求证：SA-OA+

SB-OB+SC-OC=^

A

【解答】如图，延长OA与BC边相交于点。则yoj\

BDS\ABDS^BODSAAB。-S^BODS,

DCS、ACDSbcoDSACD—SbcoDSB

OD=^OB+^OC

JDG

SBS0

VB+VC

SB+SCSB+SC

SCODSBOD+SCODSA

..ODSBOD

(

OASBOASJOASBOA+SCOASR+SC

・・.OD=-OA

SB+SC

ol=OB+OC

SB+beSB+beSB+be

・・・

SA-OA+SB-OB+Sc-OC=0

推论:O是A4BC平面内的一\点、，且N・OA+y*OB+z・OC=0,则

SABO。

S^BOC：SbcoA：SbAOB=㈤:㈤:⑶②

S^ABCx-\-y+z

【奔驰定理与三角形四心向量式】

1、。是AABC的重心oS>BOC：S、COA：S>AOB=1:1:1=OA+OB+OC=0

2、O是'ABC的内心=S耶oc：SbcoA：SbAOB=a:b:c=a*OA+b*OB+c*OC=0

3、O是'ABC的外心oSgoc：SbcoA：SkAOB=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A•OA+sin2B•OB+sin2C•OC=0

4、O是'ABC的垂心QS型oc：S、COA：S»AOB=tanA:tanB:tanC

QtanA•OA+tanB•OB+tanC*OC=0

证明：如图。为三角形的垂心，tanA=,tanB=gg0tanA:tanB=DB:AD

ADDJD

S.oc：S、COA=DB:AD

••S^BOC：SbcoA=tanA:tan5

=

同寸SNO。A：S卜ACI^'tan_^:tanC7,S、BOC：StanA:tanC7

**•SNRCO：SNOOA：SNAOR—tanAitan_SitaiiCr

5

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

【题型四心的识别

题目叵已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：两+屈+定=6；乙：两•（两一通）=定・（两一两）；

丙：|丙|=|两|=］定|；T；PA-PB=PB-PC=PC-PA.

如果只有一个等式不成立，则该等式为（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

甲：P为△ABC的重心；

乙：（两一定）•（巨？一两）=0=＞或•互5=0,即△ABC为

丙：尸为△ABC的外心；

丁：P为/XABC的垂心（投影转换）

则△ABC为等边三角形时，三心重合，故选

题目区1已知点O是平面上一定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+

A+而彳［0,+8）,则P的轨迹一定通过△ABC的（)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B构造菱形

题里区若。在AABC所在的平面内，a,b,c是AABC的三边，满足以下条件

+b•元+c•历=0,则。是△ABC的（）

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【答案】B奔驰定理

题目瓦若。在△ABC所在的平面内，且满足以下条件

OA-OB-=OC-0,则。是△ABC的

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【答案】B构造菱形

【四心之垂心】

南目叵|已知。是平面上一定点，48,。是平面上不共线的三个点，动点P满足岳=。1+

久（）则动点的轨迹一定通过△。的（）

|ylB|cosBjAClcosCJeo,+8,p48.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

AB

【解析】原式为AP=A一+」

|AB|cosB|AC|COSC

等式两边同时乘豆方，得乔•豆方=久AB-BC1AC-BC

|AB|cosBjACjcosC

荏友।阳夜

\BC\-\BC\=O,：.AP-BC=O=>AP_LBC

|AB|cosB|AC|COSC

题目叵IP是△ABC所在平面上一点，若四・屈=屈・定=定・启,则P是△ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【解析】丙•丽=丽•定今两・（启一定）=0今屈，G5,其它同理.

2222

题目,若H为△ABC所在平面内一点,且国司2+叵列2=|BB|+|CA|=|HC|+|AB|

则点H是△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】|匐|屈『+|市『0\HA\2+（BH+HCy=|ffl?|2+（CH+K4）2

得瓦儿曲=玩•豆An豆X•沃=0,即血，屈，同理可得近，彳方,百方，百方

【四心之重心】

题目可已知G是ZVIBC所在平面上的一点，若彳4+屈+恐方=0,则G是4ABC的（).

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】A重心的性质

题目JJ已知O是平面上一定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足历=瓦?+A(AB+

/方）"e（0,+8）,则P的轨迹一定通过△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】历=。1+忒而+而）=＞序=4（荏+而）

［颠目国］。是△ABC所在平面内一点，动点P满足炉=示+4

|AB|sinB由sinC)

4C（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A.内心B.重心C.外心D.垂心

【解析】¥+¥,%为口。边上的高

|AB|sinB|AC|sinChh

：.AP=^(AB+AC}.

【补充］——重心坐标为（以+于如,四当显）

'OO'

【四心之外心】

题目巨已知。是△ABC所在平面上一点，若市=砺则。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】外心的性质

题目01乙已知。是平面上的一定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满足标=OB+OC

2

ae（o,+8）,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。

〔|AB|cosB|ZC|COSCJ

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】取BC中点M,则°二：℃=OD,

OP-OD=^尸半一+—1,移项后同乘后方

I\AB\cosBlACjcosC)

/AB,AC1/AB-BC,AC-W)

DP=[-=；-------+-F^--------nDP,BC=入----+—-----

I|AB|cosB|AC|COSCJI|AB|cosB[ACjcosC,

赤./二大一|射|十|；^|)=0,即存工资

题目叵。是△ABC所在平面上一点，若（瓦？+瓦）•荏=（OB+OC）-BC=（OA+OCyAC=

0,则。是△46。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】记AB中点为。，（。1+场）♦荏=00瓦，荏，其它同理

奔驰定理

题目区|已知点P是A4BC所在平面内一点，满足2巨5+5两+3定=6，SAMC=S，则SAPBC=

【解析】（法1）:由结论推广可得，学丝=—