2025高考数学专项复习：妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（含答案）

2025高考数学专项复习妙用极化恒等式解决平面向量

数量积问题含答案

畛用微牝慢等W解决不面向量熬羹积问题

【题型归纳目录】

题型一：定值问题

题型二：范围与最值问题

题型三：求参问题以及其它问题

【方法技巧与总结】

（D平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

舟讦+而引2=2（同2+|秆）

证明：不妨设羽二4而=3，贝U羽=3+1,届=3-1

|砌2=苻=①或2=忖2+23小网2①

2（）2

\DB^=DB=^-b=\a[-2a-b+\tf②

①②两式相加得：

I砌2+1丽F=2（恸+硝=2（府阳而「）

⑵极化恒等式：

上面两式相减，得：;[（3+/?）2一（卞一6）[------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b^^-[\AC\2-\DB\2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的-T-.

4

②三角形模式：3•石二|4/卜：阿『（t为劭的中点）

•••

【典型例题】

题型一:定值问题

题目工（2024•全国.高三专题练习）如图，在△ABC中，。是BC的中点，E、尸是40上的两个三等分点,

巨?.耳=4,前.行=—1,则丽.赤的值是（）

题目团（2024.贵州毕节.统考三模）如图，在△ABC中，。是BC边的中点，是线段AD的两个三等分

点，若巨5•次=7,丽•砺=2,则豆萍赤=（）

A.—2B.—1C.1D.2

题目回（2024・湖南长沙•长郡中学校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,点区F,G,H分

别是边上的中点，则笳•岳+曲•近=

AEB

题型二:范围与量值问题

题目口（2024・山东潍坊•高三统考期末）已知正方形ABCD的边长为2,是它的内切圆的一条弦，点P为

正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，可1•丽的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,V2]C.[1,2]D.[-1,1]

题亘团（2024.陕西榆林.统考三模）四边形ABCD为菱形，ABAC=30°,4B=6,P是菱形ABCD所在平

面的任意一点，则两•用的最小值为（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

题目§（2024.重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测）△ABC中，4B=3,BC=4,AC=5,PQ为△ABC内切

圆的一条直径，河为△ABC边上的动点，则赤•诚的取值范围为（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

题型三:求参问题以及其它问题

颔目F（2024・浙江杭州•高一校联考期中）设△ABC,Po是边AB上一定点,满足冗B=%B,且对于边AB

上任一点P,恒有方聒•高方・则（）

C.AB^ACD.AC=BC

题目习（2024.辽宁・高一东港市第二中学校联考期中）在△ABC中，AC=2BC=6,乙4cB为钝角,M,N

是边AB上的两个动点,且MN=2,若而•市的最小值为3,则cosZACB=.

豆目§（2024.江苏南京.南京师大附中校考模拟预测）在△ABC中，AC=2BC=4,乙4cB为钝角，跖N是

边AB上的两个动点,且MN=1,若至曲•国的最小值为,，则cos/ACB=.

【过关测试】

一、单选题

题目E（2024河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）在△48。中，A=90°,AB=4,47=46,P,

Q是平面上的动点，4?=42=/3。=2,刊是边及7上的一点,则苏・诙的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

题目可（2024.湖北武汉.高三武钢三中校考阶段练习）己知点P在棱长为2的正方体表面上运动，是该

正方体外接球的一条直径，则巨△丽的最小值为（）

A.—2B.—8C.—1D.0

题目可（2024•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，是

该正方体外接球的一条直径,^\PA-PB的最小值为（）.

A.-8B.-4C.—1D.0

题目⑷（2024・贵州贵阳・统考一模）如图，在4ABC中，AB=6,47=3,/历1。=多瓦=2反，则AB-

前=（）

痼目可（2024.贵州贵阳.统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=冬，就=2配，则

O

AB-AD=（）

题目回（2024・新疆乌鲁木齐•高三兵团二中校考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明

特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的

八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八

角星纹延续的时间较长,传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大

汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角

形，点。为圆心，中间部分是正方形且边长为2,定点所在位置如图所示，则馥•前的值为（）

题目可（2024.辽宁葫芦岛.高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，|冠|=4,巨？•

后方=12,E为AC中点.丽=2诟，求方N•比的值（）

员

E

AC

D

A.0B.12C.2D.6

题目⑥（2023•贵州•校联考二模）如图，在平面四边形ABCD中，|冠|=4,离•豆方=12,E为力。的中点,

A.2B.3C.D.

o/

题目司（2024.浙江•永嘉中学校联考模拟预测）己知△ABC是边长为1的正三角形，尻=2配，AB+AC

=2福则谡力=（）

A.4B.4C.4D.1

428

航目丸（2024.四川绵阳.统考二模）如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近

点B）,点F为BC的中点，则屈•或=（）

整旦兀（2024・江西南昌•高一南昌二中校考开学考试）已知是单位圆上的两点，。为圆心，且乙4QB

=120°,是圆。的一条直径，点。在线段上（不包含两个端点），则E必•国的取值范围是（）

A.[-■^-,1）B.[—1,1）C.[―|-,0）D.[—1,0）

二、填空题

题目电（2024.黑龙江大庆.高一大庆一中校考期末）如图，在△48。中，。是BC的中点，是AD上的

两个三等分点弱•玄=5,市♦赤=一2,则丽♦丽的值是

A

题目逗（2024.上海长宁•高二上海市延安中学校考期中）如图，在△45。中，。是BC的中点,E、F是40上

两个三等分点，亘？•次=15,丽•无=5,则丽1•和=.

说立=2,BC=2,则亘工无=

【题目E（2024.山东.山东师范大学附中校考模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，上W是内切圆的一

条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时，可/•丽的取值范围是.

蜃目电（2024.湖北省直辖县级单位.湖北省仙桃中学校考模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边

上长为6的可移动的线段，AD=4,AB=8v^,BC=12，则丽•丽的取值范围为.

题目兀（2024.全国.高三专题练习）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD

=4,AB=8g,BC=12，则丽•丽的最小值为，最大值为

题目运（2024・浙江杭州・高二校联考期中）在448。中，人8=41。=5,71。=6,点朋_为448。三边上的

动点，PQ是△ABC外接圆的直径，则面5•诙的取值范围是

题目包（2024.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考阶段练习）己知正△ABC的边长为2,PQ为△ABC内切圆

O的一条直径，M为ZVIB。边上的动点,^\MP-MQ的取值范围为.

题目M（2024.全国•高一假期作业）设三角形ABC,凡是边4B上的一定点，满足RB=^AB，且对于边

4B上任一点P,恒有闻•历〉的•瓦高,则三角形ABC形状为.

逾葭口（2024•江苏常州・常州高级中学校考模拟预测）设直角4ABC,冗是斜边上一定点.满足兄8

=4人3=1,则对于边4B上任一点P,恒有赤•配＞的・索,则斜边上的高是

K----------

题目国（2024•河北保定•高一校联考期中）已知点P在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接

球的一条直径，则PA-PB的最小值为.

题目包（2024•天津和平・统考二模）在平行四边形ABCD中，/历1。=专，边AB,AD的长分别为2与1,

则赤+荏在荏上的投影向量为（用AB表示）；若点M,N分别是边BGCD上的点，且满足

则赢•福的取值范围是

M\CD\------

题目叵（2024•天津南开•高三校考阶段练习）如图在4ABC中，90°,BC=8,AB=12，9为AB

中点，石为CF上一点.若CE=3,则瓦A•丽=；若赤=久存（04441）,则直•丽的最小值为

陟用级相修专式解决手面匍量微量余冏发

【题型归纳目录】

题型一：定值问题

题型二：范围与最值问题

题型三：求参问题以及其它问题

【方法技巧与总结】

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和普于四边的平方和：

|3+针+|3-讦=2（同2+|讦）

证明：不妨设羽=i,羽=石，贝u羽=3+1,而=3-1

印件苻=0+歹=忖2+23小时①

|丽仁丽2=R-/中卜231+阿2②

①②两式相加得：

研+|研=2（恸+硝=2（|研+|研）

⑵极化愎等式：

上面两式相减，得：;［（3+。）2一（；-6）［----极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^-［\AC\2-\DB\2］

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的:.

4

②三角形模式：3•［二］河上十忸例2（〃为劭的中点）

1

【典型例题】

题型一:定值问题

题目工(2024•全国.高三专题练习)如图，在△ABC中，。是BC的中点，E、尸是40上的两个三等分点,

巨?.耳=4,前.行=—1,则丽.赤的值是()

【答案】。

【解析】因为。是BC的中点，是AD上的两个三等分点，

所以而=舒+无，CF^CD+DF^-BD+DF,

BA^BD+DA^BD+3DF,CA^CD+DA^-BD+3DF,

所以示.酝=(BD+DF)-{-BD+DF)=DF2-BD2=-1,

BA-CA=(BD+3DF)•(-BD+3DF)=9nF2-BD2=4,

可得方律=_1_,而2=与，

OO

又因为丽=45+方商=诟+2万声，通=初+反=一反5+2方百

所以丽.砺=回+2哂­(-丽+2研=45^2—丽2=4x_1_q=[

故选：C.

题目团(2024•贵州毕节.统考三模)如图，在△AB。中，。是BC边的中点，E,F是线段入。的两个三等分

点，若瓦？・次=7,靛•演=2,则前・赤=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】5

【解析】依题意，。是BC边的中点，E,F是线段AD的两个三等分点，

则羽'《痴一血卜(―眄-#)=49:36%配2=7,

丽.砺=([/-等屈卜(-[/通2_}&2=凶勇=适=2,

'23'1237944

因此而2=1炭J8,BF-CF=（yBC-FD\（-yBC-FD）=4F.BC?=4x：-8=_].

故选：B.

题目]0（2024.湖南长沙.长郡中学校考一模）如图,在平行四边形ABCD中，4B=1,40=2,点区F,G,H分

别是AB,BC,CD,AD边上的中点，则/•汨+曲•症=

AEB

【答案】人

2

[解析】取HF中点则丽.反5=丽.丽=防一两2=1_1）2=今，GH-HE=GH-GF^GO

-OH2=1-（y）2="I•，因此济怒+曲.近=选A

题型二:范围与最值问题

蜃目工（2024.山东潍坊.高三统考期末）已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的内切圆的一条弦，点P为

正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，司法•前的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,V2]C.[1,2]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】如下图所示：

考虑P是线段AB上的任意一点，声荡=反5+为办两=用+丽=历一面,

圆。的半径长为1,由于P是线段AB上的任意一点，则\PO\G[1,V2],

所以，由.两=（PO+OM）•（PO-OM）^PO2-OM2e[0,1].

故选：A.

（2024•陕西榆林・统考三模）四边形ABCD为菱形，/BAC=30°,AB=6,P是菱形ABCD所在平

面的任意一点，则两•宓的最小值为（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

【答案】5

【解析】由题意，四边形ABCD为菱形，乙氏4。=30°,可得/DAC=60°,

在4ABC中，由余弦定理得到AC=6代，

连接AC和BD交于点O,则点。为AC的中点，

连接。人，oc,OP,则两

所以声N•m=（PO+04）•（PO-OA）=PO2-OA2=P32-27>-27.

故选：B.

题目⑤（2024.重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测）ZVIB。中，AB=3,BC=4,人。=5,PQ为ZVlB。内切

圆的一条直径，河为△ABC边上的动点，则而5•碗的取值范围为（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

【答案】。

【解析】由题可知，AB2+BC2^AC2，所以△ABC是直角三角形，/B=90°,

设内切圆半径为r,则S4ABe=}x3x4=gx（3+4+5）r,解得r=1,

设内切圆圆心为O,因为PQ是△ABC内切圆的一条直径，

所以|行|=1,国=—历，

则赤=流+硝砺=流+的=丽5-加，

所以砺.诚=（丽5+3）（荻一和）=该2_导=该2_],

因为为△4BC边上的动点，所以|够|.=r=l;当初与。重合时，|荻|=710,

所以砺•砺的取值范围是[0,9],

故选：C

题型三:求金问题以及其它问题

「题目口（2024•浙江杭州•高一校联考期中）设△AB。,冗是边AB上一定点，满足R）B=且对于边AB

上任一点P,恒有瓦•历〉踮•蔗.则（)

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】。

【解析】如图，取3C的中点D,

c

D

由极化恒等式可得：屈•同=超一百浮，

同理，曜・/=而一初，由于屈的・乘,

则I亘5|>|母|，所以冗。_L4B,

因为RB=^AB,D是6。的中点，于是AC=BC.

故选：D.

题目可（2024.辽宁・高一东港市第二中学校联考期中）在△ABC中，AC=2BC=6,乙4cB为钝角,M,N

是边AB上的两个动点,且MN=2,若已必•国的最小值为3,则cosZACB=____.

【答案】2一”

【解析】取线段的中点P,连接C尸，过。作8，48于。,如图，PM=-^MN=1,

B

依题意，威•丽=(CP+PM)­(CP-PM)=CP2-FM2=CP2-1,

因而•国的最小值为3,贝N乐|的最小值为2,因此。0=2,

在Rt/\AOC中，cosZOCA=弟=],sinZOCA=,在Rt^BOC中，cosZOCB=唐=

CA33GB3

sinZOCB=^

O

所以cosZACB=cos(ZOCA+ZOCB)=cosZOCAcosZOCB—sinZOCAsinZOCB=2-

9

故答案为：2一个面

9

题目区（2024•江苏南京・南京师大附中校考模拟预测）在A4B。中，AC=2BC=4,乙4cB为钝角,M,N是

边，上的两个动点,且MN=1,若加•国的最小值为,则c°s"CB=-.

［答案］止当⑤

O

【解析】取7W的中点P,取两=一百法，|两|=|两=J,

CM-CN^(CP+PM)•(CP+PN)=(CP+PM)■(CP-PM)^CP2-^,

因为已必•布的最小值总，

所以BnM=L

则CH=1,又BC=2,所以/B=30°,

因为47=4,

所以由正弦定理得：sinA=:,cosA=,

所以cosZ.ACB—cos(150°—A)=—^^cosA+-1-sinA

_V3vV15,lyl_l-3V5

24248

故答案为：上空⑤.

【过关测试】

一、单选题

W1工(2024.河北衡水.高三河北衡水中学校考阶段练习)在△48。中，A=90°,AB=4,4。=4P,

Q是平面上的动点，AP=AQ=PQ=2,M是边8。上的一点,^\MP-MQ的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】取PQ的中点N,则赤=丽+而,砺=丽+而=就一和，

可得赤.痂=(加+而)-(MN-NP')^MN2-NP2^MN2-1,

|而『=|宓+福|川|宓||五训，当且仅当N在线段AM上时，等号成立,

故|函〉||AM|-|A/V||=||M4|-V3|,

显然当时，|宓|取到最小值26，

故赤.破=加2T>3—1=2.

故选：B.

题目划（2024・湖北武汉•高三武钢三中校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，是该

正方体外接球的一条直径，则对•方的最小值为（）

A.-2B.—8C.—1D.0

【答案】A

【解析】如图AB为棱长为2的正方体外接球的一条直径，。为球心，P为正方体表面上的任一点,

则球心O也就是正方体的中心，

所以正方体的中心。到正方体表面任一点P的距离的最小值为正方体的内切球的半径,

它等于棱长的一半，即长度为1,的长为正方体的对角线长，为2遍，

我们将三角形PAB单独抽取出来如下图所示：

PA-PB^（PO+OA）-（PO+OB）=（PO+OA）-（PO—OA）=\PO\2-\OA\2

2-3,所以对•通的最小值为12-3=-2.

故选：A.

题目可（2024・湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，AB是

该正方体外接球的一条直径，则PA-PB的最小值为（）.

A.-8B.—4C.—1D.0

【答案】A

【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O,

正方体的外接球的直径AB=V42+42+42=4V3,

则。为AB的中点，所以ON=-OB,

且画|=|函=23，

故两•屈=（OA-OP）-（OB-OP）=OA-OB-（OA+OB）-OP+OF2=-OA2+OF2=OP2-12,

当0P与正方体的棱长平行时，此时10Pl最小，故同＞2,

所以两•丽的最小值4—12=-8.

故选：A

7

题目回（2024.贵州贵阳.统考一模）如图，在AABC中，=6,47=3,/氏4。=多瓦=2配，则AB-

前=（）

【答案】。

【解析】由阮=2反可得：配=[•万方,

O

AB-AD^AB-(^-AB+^-AC)^^AB2+^AB-AC,

OOOO

因为人8=6,人。=3,/34。=5，

所以荏•石5=45^+系正士5=_1，x36=12.

OOO

故选：D.

题目回（2024.贵州贵阳.统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=萼，就=2配，则

O

AB-AD=（）

A.18B.9C.12D.6

【答案】。

【解析】•.•反5=2配=2（反”反5）,即丽=暮宓，

O

：.AI5^AB+BD^AB+^BC^AB+^（AC-AB）^^AB+^AC,

：.AB-AD=AB-（^-AB+^-AC）=^AB2+^AB-AC^^X62+^-X6X3XCOS^=6.

ooooooo

故选：D

题目回（2024.新疆乌鲁木齐.高三兵团二中校考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明

特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的

八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八

角星纹延续的时间较长,传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大

汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角

形，点。为圆心，中间部分是正方形且边长为2,定点所在位置如图所示，则荏•加的值为（）

c

图1图2

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【解析】如图：连接OD

因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，

所以/ADO=/OOB=45°,|比|=嚣，|#|=4,ZADB=90°.

所以ABAO=(AD+DB)-(AD+DO)=AD2+ADDO+DB-AD+DBDO

—4-+4XXcos3f+0+2x-\/2^cos--=14.

44

故选：A

题目「1(2024.辽宁葫芦岛.高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD中，|怒|=4,巨乙

【答案】A

【解析】：|前|=4,E为AC中点，|屉|=\CE\=2,

■：BA-BC=(BE+EA)-(BE+EC)=(BE+EA)-(BE-EA)=|BE|2-|sl|2=|BE|2-4=12,

.•.函=4,/.\DE\=^-\BE\=2,

：.DA-DC^(DE+EA)-(DE+EC)=(DE+EA)■(DE-EA~)=|nS|2-|SA|2=4-4=0.

9

故选：A.

题目⑥（2023・贵州•校联考二模）如图,在平面四边形ABCD中，|起|=4,互4•或=12,E为的中点,

【答案】B

【解析】•••|而|=4,E为47的中点，

：.\AE\^\CE\^2,

-.-BA-BC^（BE+EA）-（BE+EC）（BE+EA）-（BE-EA）=函2T92=函2_4=12,

\BE\=4,

,：BE-AED,

：.\DE\=^-\BE\=^,

AA

・••9•反=（反+直）•（痂+/）=（瓦+直）•（笳一直）=|屁|2—|"|2="一4=一空，解得）

A9

=3.

故选：B.

题目9（2024•浙江咏嘉中学校联考模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC,AB+AC

=2福则超#=（）

A.4B.4C.-|-D.1

428

【答案】A

【解析】由加+芯=2须，可知E为3。中点，所以AE_LBC,如图所示：

因为阮=2DC,根据上图可知AD^AE+ED^AE+^BC

+

故选：A

题目工7（2024•四川绵阳・统考二模）如图,在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近

点B）,点F为BC的中点，则旗•云H=（）

【答案】B

【解析】由已知，|百司=2,|反?|=2,ZABC=60°,

所以辿=\RA\-\BC\COSAABC=2X2Xy=2.

由已知。是AC的中点，所以丽=/同+砌，

BE=^-BD=!（BA+BC）,BF=~BC.

OOZi

所以丽=丽—丽=看同+砌—斜方=赳1_]研

EC^W-BE^W-^（BA+BC）=-^BA+^BC,

6'76o

所以，砺.资=（卷亘5_直+Qd）=—/亘揖/巨5.&_磊交2=_亲*4+小

\63，'6673636183636

X2--x4=--.

186

故选：B.

题目兀（2024.江西南昌.高一南昌二中校考开学考试）已知4B是单位圆上的两点，。为圆心，且/AOB

=120°,AW是圆。的一条直径，点。在线段上（不包含两个端点），则而•国的取值范围是（）

A.[-*1）B.[—1,1）C.[—1-,0）D.[—1,0）

【答案】。

【解析】：乙4。8=120。，.・.点。在线段人8上,且|国e

：.CM-CN^(OM-OC)■(ON-OC)^OM-ON-(OM+ON)-OC+OC2

11

=-l+OC2=-l+|OC|2,

•••|西6七1),

.-.CM-CZVe[--1-,0).

故选：C.

二、填空题

I题百叵(2024•黑龙江大庆•高一大庆一中校考期末)如图，在△AB。中，。是的中点，是AD上的

两个三等分点巨A•瓦=5,而•赤=—2,则丽•屈的值是.

【解析】因为BA-CA=(^-BC-ADy(~^-W-AD}=由产"=36吗”=

'2)、2)44

动.乐=侍小L(—]或一宗5)=里产=—2,

因此FD2=^,BC2=^-,BE-CE=(~BC-ED)­(~^BC-ED)=45P=口°~=知即1口。=

82'2/'2'448

故答案为：导.

o

题目内(2024.上海长宁•高二上海市延安中学校考期中)如图，在△ABC中，。是8。的中点,E、F是4D上

两个三等分点，亘？=15,丽•屈=5,则丽1•国=.

【解析】D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点,

：.BE=BD+DE=BD+2DFjCE=-BD+2DF,

BA=W+3DF,CA=-BD+3DF,

：.BE-CE=4DF2-BD2=5,

BA-CA^9DF2-BD2^15,

.•.方产=2屈2=3,

又♦.•访=必+方,赤=-BD+DF,

：.BF-CF=DF2-BD2=-1,

故答案为：一L

［题目五(2024•江苏盐城・统考一模)如图，在/\ABC中，。是反7的中点，E,F是AD上的两个三等分点.

丽•理=2,BC=2,则而•行=.

［解析］因为屈.赤=(BD+DE)■(CD+DE)=(BD+DE)­(-BD+DE)

=帚_丽2=2,

又。是BC的中点，且BC=2,所以BD=1,

代入上式得反2=3,所以|瓦|=四，

因为E,F是AD上的两个三等分点，所以|方利=§,

则前.屈=(反5+诚.(况+屈)=(BIJ+DF')■(-BD+DF)

=DF2-BD2^4-1=一二，

44

故答案为：一】.

4

题目四(2024.山东.山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，上W是内切圆的一

条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦AW的长度最大时,PM-PN的取值范围是.

【答案】［。,十］

【解析】如下图所示:

设正方形ABCD的内切圆为圆O,当弦AW的长度最大时，1CV为圆。的一条直径,

PM-PN=(PO+OM)■(PO-OM］=|FO|2-|OM|2-|FO|2-J,

当P为正方形ABCD的某边的中点时,|OF|min=y,

当P与正方形ABCD的顶点重合时，|办Lx=亨，即:<|赤|《三，

因此,PM-F2V=|PO|2-Je［o,j］.

故答案为：［o,1］.

蜃目回（2024.湖北省直辖县级单位.湖北省仙桃中学校考模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边

上长为6的可移动的线段，AO=4,48=812，则而•丽的取值范围为.

【答案】［99,148］

【解析】在BC上取一点G,使得BG=4,取EF的中点P,连接DG,BP,

如图所示：

则。G=8V5;GC=8,CD=V82+（8A/3）2=16,

tanZBCD=孝^=遍,即々BCD=60°.

8

BE-BF=~［（BE+BE）2-（BE-BF）2］=J［（2BP）2-FE2］=BP2-9,

当BP_LCD时，|扉|取得最小值，此时|疑|=12xsin60°=6V3,

2

所以（丽•BF）min=（6A/3）-9=99.

当F与。重合时，CP=13,BC=12,

贝||母『=122+132-2xl2xl3x-1-=157,

当E与。重合时，CP=3,BC=12,

则\BP\2=122+32-2x12x3xy=117,

所以（巨商•豆F）max=157—9=148,即丽•前的取值范围为［99,148］.

故答案为：［99,148］

题目Q7］（2024•全国•高三专题练习）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，AD

=4,AB=8V3,BC=12，则丽・丽的最小值为,最大值为.

【解析】在BC上取一点G,使得BG=4,取EF的中点P,连接DG,BP,如图所示:

则DG=8V3,GC=8,CD=西+（8遍＞=,tanZBCD=-=四，即ZBCD=60°,

16O

BE-BF^^[（BE+BF）2-（BE-BF）2]=J[（2BP）2-FE2]=BP2-9,

2

当BP_LCD时，|寿|取得最小值，此时|寿|=12xsin60°=6遍,所以（丽•BF）mii=（6V3）-9=99.

当F与。重合时，CP=13,BC=12,则|BF|2=122+132-2x12x13xy=157,

当E与。重合时，CP=3,BC=12,则|即『=122+32-2xl2x3Xy=117,

所以（丽•BF）max=157-9=148,

故答案为：99;148.

：题目包（2024.浙江杭州•高二校联考期中）在4ABC中，AB=4,BC=5,人。=6,点河为△48。三边上的

动点，PQ是△ABC外接圆的直径，则砺5•砺的取值范围是

【答案】[—9,0]

【解析】根据向量关系可得正•砺=诟2—&，即判断M&-R1的取值范围即可，由图可知\MO\的最大

值为R,最小值为9.设外接圆的圆心为。，半径为兄

可得症.诙=（该+秘）•（MO+OQ）

^MO2+MO-（OP+OQ）+OP-OQ

=碱2T2,

•/M为△ABC三边上的动点，可知\MO\的最大值为O到三角形顶点的距离，即为半径R,

且|丽5|的最小值为。到AC边的距离，过。作。WQ_LA。,垂足为“,

则|。％|=VB2-32=西一9,

.♦.市♦诚的最大值为金?一尺2=0,最小值为|OMO|2—R2==R2_9_金2=_9,

故赤•碉的取值范围是[-9,0].

故答案为：[一9,0].

题目包（2024.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考阶段练习）已知正△ABC的边长为2,PQ为△•4BCM内切圆

O的一条直径，M为ZVIB。边上的动点，则而5•城的取值范围为.

【答案】［0,1］

【解析】先由正△ABC的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到用=丽5+己产，碉

=MO+OQ,再结合的=—无，可得到MP-MQ=|W|2-|OF|2=|7WO|2--^-,再根据图像利用临界值

O

法，求出赤•砺的取值范围.

A

BD

如图所示，。为正△ABC内切圆圆心，OD为内切圆半径，在ABDO中，BD=1,/OBD=30°,可求得内

切圆半径OD=卒.

又PQ为圆。的直径，：.OQ=-OP,

利用向量的线性表示可得，放=丽+和，砺=砺+国=碱一秘，

：.MP-MQ^(MO+OF)(MO-OP)=|A^)|2-|OP|2=函