高等数学第三节-格林公式及其应用培训讲学

第三节函数的极限一、函数极限的定义

1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时函数的极限二、函数极限的性质1、自变量趋向有限值时函数的极限设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式那么常数A就叫做函数f(x)当时的极限，记作一、函数的极限定义或注意：(1)定义中的刻划f(x)与常数A的接近程度，刻划x与x0

的接近程度；是任意给定的，是随而确定的.(2)定义中的，表示x与x0

的距离小于，而表示,因此表示

(3)定义中表示，所以时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0是否有定义并无关系.例1证明，此处c为常数.例2利用定义证明例3证明证：由于 |f(x)－A|=|(2x－1)－1|=2|x－1|,为了使|f(x)－A|<,只要|x－1|<.所以,>0,可取=

,则当x适合不等式 0<|x－1|<时，对应的函数值f(x)就满足不等式 |f(x)－1|=|(2x－1)－1|<例4利用定义证明例5证明：证明：,因为要使只要不等式左极限的定义：

如果当x从x0的左侧(x<x0)趋于x0时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的，总存在一个正数，使时，

恒成立，则称A为时f(x)的左极限.记作或右极限的定义：

如果当x从x0的右侧(x>x0)趋于x0时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的，总存在一个正数，使时，

恒成立，则称A为时f(x)的右极限.记作或容易证明：函数f(x)当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即解：当x<0

时,左，右极限都存在，但不相等,所以不存在.例6设f(x)=1,当x<0,x

,当x>0,当x>0

时,例7研究当时，f(x)=|x|的极限.解：f(x)=|x|=例8函数x-1,当x<0,0,当x=0,x+1,当x>0,f(x)=设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时对应的函数f(x)都满足不等式那么常数A就叫做函数f(x)当时的极限，记作2、自变量趋于无穷大时函数的极限时函数f(x)的极限定义：或注意:(1)定义中刻划f(x)与A的接近程度，X刻划|x|充分大的程度；是任意给定的正数，X是随而确定的；(2)有时还要区分x趋于无穷大时的符号|x|>Xx>Xx<-X时函数f(x)的极限定义的几何意义：作直线和，则总有一个正数X存在，使得当x<-X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果存在，那么这极限唯一.证明：因为,所以取,记M=|A|+1，则定理2获得证明.定理2(函数极限的局部有界性)如果，那么存在常数M>0和，使得时，有定理3(函数极限的局部保号性)

如果

，而且A>0(或A<0),那么存在常数，使得当时，有f(x)>0(或f(x)<0).证明:就A>0的情形证明类似地可以证明A<0的情形.定理3

‘:如果，那么就存在着x0的某一去心邻域，当时，就有.推论：如果在x0某一去心邻域内(或)，而且，那么(或).证明：用反证法，设假设上述论断不成立，即设A<0,由定理2知，存在一个正数，使当时，就有f(x)<0,这与的假设矛盾,所以(同理可证情形).定理4(函数极限与数列极限的关系)