2024年中考数学复习：动点问题复习讲义

动点问题复习讲义

解题要点剖析

解点动问题的关键是在运动中寻找不变.解题方法是：

1.动中取静即在运动变化过程中探究不变量.

2.以静制动有些问题是求最值或形成特殊的几何图形，本质就是在运动过程中运动到特殊位置时形成

的关系.在动的过程中抓住静的瞬间，由一般向特殊转化.

解题步骤是：

1.读题，辨析是递进关系还是并列关系.

2.确定动点背景，确定动点个数以及它们之间的关系，动点在什么图形上运动(直线、射线、折线、三

角形、四边形等).

3.分类，确定分类依据，从特殊位置入手确定自变量范围，找不变或相等关系(全等、相似、面积、勾

股、底或高为定长、定角等)，动点和定点构成的图形要逐一分析.

4.作图，要作出每个状态的典型图形.

5.函数或方程，通过位置关系建立起数量关系.

6看临界，要考虑临界状态能否成立的情况.

解题时，往往需要通过数形结合揭示题目各数据之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数

量关系研究图形特征，使问题化难为易，只要善于运用数形结合的思想，由形想数，由数定形，把动点运

动的时间t与运动过程中特定图形的形状和大小联系起来，利用方程就可以解决动点问题.以下例题重点解

决动点与图形面积的问题.

考题解析

例1(四川)如图4-1所示，已知AABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M,N同时从点A出

发,M沿A-C运动,N沿折线A-B-C运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时,

另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接MN.

⑴求直线BC的表达式；

(2)移动过程中，将AAMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；

(3)当点M,N移动时，记AABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式.

思路分析(D利用待定系数法可求BC的表达式.

(2)依题意可得AM=AN=t,根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF，x轴，连接AD交MN于0；结

合已知条件得M(3—1,0).当点N在AB边上移动时住△ANFs^ABO,可得4F=卜NF=gt,从而得

N(3—|t).根据中点坐标公式得3-］，|。设点D的坐标为(x,y),再由中点坐标公式得点D的坐

标为(3彳)由点D在边BC上，代入直线BC的表达式中即可得点D的坐标.

⑶①当0<t<5时,AABC在直线MN右侧部分为AAMN,根据三角形面积公式即可得出S关于t的函数

关系式；②当5<t<6时，AABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM油△CNFs^CBO,可得NF=

I(10—t),最后由S=SABC-SCNM=l-AC.OB-\-CM-NF代入数值即可得S关于t的函数关系式.

规范解答⑴设直线BC的表达式为y=kx+b(k#O).

代入B(0,4),C(-3,0)狷｛_3：；二°解得£二：

故直线BC的表达式为y=[x+4.

⑵由题意彳导点N在AB上移动,AM=AN=t.

VAAMN沿直线MN翻折，点A与点D重合，

四边形AMDN为菱形.

如图4-2所示，过点N作NFLx轴，垂足为点F,连接AD,交MN于点01.

VA(3,0),B(0,4),

OA=3,OB=4.

由勾股定理，得AB=VOX2+OB2=V32+42=5.

.•.点M的坐标为(3-t,0).

由NF_LOA.BO±OA,得NF/7B0,；.△ANFs△ABO.

AN_AF_NF

AB~AO~BO'

t_AF_NF

5"3-41

34

AF=-tNF=-t.

5f5

点N的坐标为(3-|t.|t).

:点O为菱形AMDN对角线的交点，・•・黑..点O的坐标为。(3-]，11).

设点D的坐标为(x,y),

•.•上一—J3一Lt■—V■

2525

解得％=3-^t.

•••点D的坐标为((3-舐，))

又：D在直线BC上，

"4x(3-汨+4=)

3

解得±=詈

*e*点D的坐标为(-泽.

⑶①当0<t<5HtAABC在直线MN右侧部分为△AMNf

1142r

2

S=SAMN=--AM-NF=--t--t=-t.

②当5<t<6时,AABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM,如图4-3所示过点N作NFLAC,垂足为

点F.

•/AM=AB+BN=t,AB=BC=5,

BN=t-5,CN=5-(t-5)=10-t.

XVACNF^ACBO,

.CN_NF

''CB~BO'

即*=竽

54

解得NF=110-)

S=SABC—SCNM—^AC-OB—3cM-NF.

=|X6x4-|X(6-t)x|(10-t)

解后反思本题是双动点问题，动点的连线是轴对称图形的对称轴，解决问题的关键是用t表示对称

点的坐标，再将其代入解析式，也就是将其静止，这是上面说的“动中取静”.本题有了情境，求具体点需要

具备很好的运算能力和几何知识，这也是今后处理动点问题需要不断训练的能力.

例2如图4-4所示，在AOBC中，点O为坐标原点，点C的坐标为(4,0),点B的坐标为(2,2V3),AB

±y轴，点A为垂足,OH_LBC,点H为垂足.动点P,Q分别从点O,A同时出发.点P沿线段OH向点H运动，点

Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度.设点P的运动时间为t秒.；tB

(1)求证:OB=CB;/\

(2)已知AOPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式及定义域；Q

⑶当PQLOB(垂足为点M)时，求五边形ABHPQ的面积的值._____\「

0\Cx

思路分析(1)通过两点之间的距离公式计算可得OB=CB.I

⑵分别以0<2(=4。-4Q=2百-t)为底、点P横坐标的绝对值yt为高求△OPQ的面黑”品可

求出函数关系式.

(3)将五边形的面积看成S五边形ABHPQ=S四边形0A阳~S^OPQ，而四边形OABH的面积为S四边形

OABH=S2kOAB+S^OHB=S4OHB+S2kOHC=SAOBC,即可求出五边形的面积.

规范解答⑴证明：20.•・0B=1(0-2)2+(0-2V3)2=4.CB=1(4-2)2+(0-2V3)2=4.

・・・OB=CB.

(2)易证4OBC为等边三角形.

VOHXBC,

.,.ZBOH=ZCOH=30°.

・•・ZAOB=30°.

如图4-5所示，过点P作PELOA,垂足为点E.

在RtAPEO中,NEPO=3()o,PO=t,

E0=-P0=

22

由勾股定理，得PE=枭

又•：0Q=4。-AQ=2百一t,

,,S=-0Q-PE=-(2>j3-tY—t=--t2+-t.

2y2vJ242

即s=-^t2+|t(0<t<2V3).

(3)易证RtAOAB^RtAOHB^RtAOHC,

S加方开mABH=SfMB+SOHB=SOHB+S°HC=S0Rc=5X4X2A/3=4-\/3.

易证AOPQ为等边三角形，

.•.OQ=OP.

即2遍-yt.解得t=V3.

将"百代入$=-当2+"(0<[<2^)中，得

42

SOPQ=-乎X(V3)+1XV3=^.

.・・$码底ABHPQ=S-—SOPQ=4值一警寸值

解后反思本题是双动点问题，通过点的运动将含t的表达式转化成平面几何中的长度，是解题关键,

而抓住某个静止状态去研究静止状态的平面几何关系，则是运动问题简单化，这就是上面所说的“动中取

静”.

例3如图4-6所示，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，0A=4,0C=3,动点P

从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴

方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、Q的运动时间为t(s).

⑴当t=ls时，求经过点0、P、A三点的抛物线的表达式；

⑵当t=2s时.求tanZQPA的值；

⑶当线段PQ与线段AB相交于点BM=2AM时*求t(s)的值；

(4)连接CQ,当点P,Q在运动过程中，记ACQP与矩形0ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数解析式.

思路分析(1)当t=ls时，求点P的坐标，由点0、P、A的坐标，用待定系数法可求得抛物线的表达

式；

⑵当t=2s时,可知点P与点B重合在RtABAQ中可求得tanZQPA的直

⑶用t可表示出BP和AQ的长，由ZiPBMsZiQAM可得到关于t的方程，可求得t的值；

(4)当点Q在线段OA上时，得S=SACPQ;当点Q在线段OA上,且点P在线段CB的延长线上时，由相

似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=5两边把Bea.=S矩形0ABe-SACQ-SAAMQ,可求得S与t的关

系式；当点Q在0A的延长线上时，设CQ交AB于点M,利用AAQUsaBCM可用t表示出AM,从而可

表示出BM,由(S=SACBM,求得答案.

规范解答⑴当t=1s时,则CP=2.

：OC=3,四边形OABC是矩形，

.IP(2,3),且A(4,0).

由题意，知抛物线过原点O,可设抛物线的表达式为y=ax2+bx(a丰0).

代入认得｛普2忆室解得忆j

故过O,P,A三点的抛物线的表达式为y=-；%2+3x.

4

⑵当t=2s时，则CP=2x2=4=BC,即点P与点B重合,OQ=2,如图4-7所示

，AQ=OA-OQ=4-2=2,且AP=OC=3.

(3)当线段PQ与线段AB相交于点M时，则可知点Q在线段0A上，点P在线段CB的延长线上,

如图4-8所示,

则CP=2t,OQ=t,

BP=PC-CB=2t-4,AQ=OA-OQ=4-t.

PC/7OA,

AAPBM^AQAM.

・•・—=型，且BM-2AM.

AQAM

.•・舒=2.解得1=3.

4-t

所以，线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,t为3s.

(4)当0<t<2时，如图4-9所示.

由题意可知CP=2t,

当2<t<4时，设PQ交AB于点M,如图4-10所示.

由题意可知PC=2t,OQ=t，贝！］.BP=2t-4,AQ=4-t,

同(3)可得募=BM2t-4

AM4—t1

BM=—­AM.

4-t

3-71M=—•AM.解得AM=

4-tt

..S_S四边形BCQM_S华篇ABCSoQ^AMC

1A1224

・•・s=SBCM=-x4x—=

2tt'

f3t,0<t<2;

综上可知S=]24—F

3t,2<t<4;

I24

t>4.

解后反思本题为点动问题，用t和速度表示出相应线段的长度，化“动”为“静”是一般思路.在第(4)问

中确定出P,Q的位置，关注临界状态，进行分类讨论来确定重合部分的面积是解题的关键.

例4(四川)如图4-12所示,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为梯形,BC〃AO,四个顶

点坐标分别为A(4,0),B(l,4),C(0,4)Q(0,0).一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿0A的方向向A

运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-B-C的方向向C运动.两个动点若其中

一个到达终点，另一个也随之停止，设其运动时间为t秒.

⑴求过A,B,C三点的抛物线的表达式；

⑵当t为何值时,PB与AQ互相平分；

⑶连接PQ,设APAQ的面积为S探索S与t的函数关系式.当t为何值时，S有最大值?最大值是多少？

思路分析⑴设抛物线的表达式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的表达式.

(2)根据PB与AQ互相平分可以得出四边形BQPA是平行四边形，得出QB=PA,建立等量关系可以

求出t值.

(3)分点Q在AB上和在BC上,根据三角形的面积公式表示出S与t的关系式就可以求出其答案.

规范解答(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(aH0),代入A,B,C三点彳导

16a+4b+c=0,\a=~3'

a+b+c=4,解彳<b=-

c=4.3，

Vc=4.

ii

•••y=——7+-%+4.

y33

⑵如图4-13所示，要使得PB与AQ互相平分，则四边形BQPA是平行四边形.AB=

,(4—1)2+(0—4)2=5

BQ=PA.

••2t-5=4-t.

•••yQ=2t-sin®=^t,xP=t,

••・SPAQ=—t)=^(4t—t2).

•1•当t=2时,SApAQ有最大值.最大值为y.

②当1WtW3时，点Q在线段BC上运动，则SPAQ=Ix4(4-t)=8-2t.

.,.当t=决寸,SAPAQ有最大值，最大值为3.

综上所述,当t=2|时.SAPAQ有最大值，最大值为y.

解后反思本题是要抓住所求的几何特征，即两线段互相平分，这两条线段可看成是平行四边形的两条对角

线，将这个静止状态中线段的长度转化成为关于t的代数式，是解决问题的一般思路，而继续求最值时，

则是题目特殊再到一般的过程，这就是“以静制动”.

例5如图4-14所示,已知点A从(1,0)出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以O,A

为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内，且/AOC=60。.以P(0,3)为圆心、

PC为半径作圆.设点A运动了t秒，求：

(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；

(2)当点A在运动过程中，所有使OP与菱形OABC的边所在直线相切的t

的值

思路分析⑴过C向x轴引垂线，利用三角函数求出相应的横、纵坐标.图4-14

⑵©P与菱形OABC的边所在直线相切，则可分与OC相切、与OA相切、与AB相切三种情况讨论.

规范解答⑴如图4-15所示过点C作CD_Lx轴于点D.

VOA=l+t.

；.OC=l+t.

OD=OC-cos60°=—,DC=OC-sin60°=唾上2

22

•••点c的坐标为(手，空把).

图4-15

(2)①当。P与OC相切时(图4-15)切点为C,此时PC±OC.

・・・OC=OPcos30°.

1+t=3x——.

2

解得g竽-

②当OP与OA,即与x轴相切时（图4-16）,则切点为O,PC=OP.

过点P作PEXOC于点E,则0E=10C.

O_3V3

・・・—=0P-COS30

2一21

解得t=3V3-1.

③当。P与AB所在直线相切时（图4-17）,设切点为F.PF交0C于点G,则PFXOC.

；.FG=CD=中

.・.PC=PF=PG+FG

=OP-sin30°=2+

222

过点C作CH±y轴于点H,则PH2+CH2=PC2.

...甘?+产+t)_31=[|+驾邛.

化简，得((t+l)2-18V3(t+1)+27=0.

解得：t+1=9V3±6V6.

vt=9V3-6V6-1<0,

t=9-/3+6-\/6—1.

综上所述，所求t的值是苧-1,3V3-1和9V3+6V6-1.

解后反思本题是点动带动的形的变化，利用几何性质用字母表示点C的坐标，是解决后续问题的

关键，同时，在图形的变化后，要画出临界状态，即圆与不同边相切的状态的图形.将线段的长度再转化成

t的值是解决此类问题的思维过程.

全真模拟训练

1.（湖北）直线y=-|x+3交X轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=~^x2+2mx-3m

24

经过点A,交x轴于另一点C,分别连接BD,AD,CD,如图所示.

(1)直接写出抛物线的表达式和点A,C,D的坐标.

(2)动点P在线段BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在线段CA上以每

秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动.

设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点E.

①当乙DPE=NC4D时，求t的值；

②过点E作EMLBD,垂足为点M,过点P作PN1BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时.求t的

值.

(第1题)

2.如图(a)所示，在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别为0(0,0),A(14,0),B(9,5B),C(3,3

遮)，动点P与Q同时从点O出发，运动时间为t秒，点P沿0A方向以每秒1个单位长度的速度向点A

运动，点Q沿折线OC-CB-BA运动，在OC,CB,BA上运动的速度分别为3,百卷(单位长度/秒)，当P,Q中

的一点到达点C时，两点同时停止运动.

⑴求BC所在直线的表达式；

⑵如图(b)所示，当点Q在BC上运动时，求△AQP的面积S关于t的函数解析式及S的最大值；