2024年中考数学 与圆中三角函数有关的题复习讲义

与圆中三角函数有关的题复习讲义

解题策略

1.利用直径、等腰三角形的"三线合一"、切线的性质、切线长定理发现或构造直角；

2.利用圆中同弧所对的圆周角相等进行角的转化；

3.根据三角函数值，依据线段的比，引入未知数表达线段的长；

4.在直角三角形中，利用同角(或等角)的三角函数的不同解析式建立方程来求线段的长；

5.注意把三角函数和勾股定理巧妙结合，建立方程模型求出线段的长；

6.求一个角的三角函数值有3种思路：

(1)在这个角所在的直角三角形中求出两条边；

(2)通过"平行或等角的余角相等"等定理转化角；

(3)通过相似转化比值.

精选例题

例1.如图,AB是。C的直径,M,D两点均在AB的延长线上,E是。C上的点，且DE2=DB-DA^AE至点F,

使得AE=EF.设BF=10,cosNBED=1

Q)求证:ADEB-ADAE；,一'、

(2)求DA,DE的长；/c\M

(3)若点F在B,E,M三点确定的圆上，求MD的长.

解析

⑴ND=ZD,DE2=DB-ZM,是“母子型"相似模型；

⑵由直径所对的圆周角是直角,AE=EF,可知AABF是等腰三角形，得到AB=BF,由(1)可知NBFE=NBAE,

由"平行或等角的余角相等"求出BE,AE,进而得到(1)中相似三角形的相似比，根据相似的性质可求结论；

(3)由NBEF=90。,可知B,E,M三点确定的圆的直径为BF,根据模型"用90。圆周角与直径构造直角三角形"，连

接MF,则MF垂直AD,进而确定点M的位置，然后借助锐角三角形函数求BM,进而求出MD.

⑴•••ND=ND,DE2=DB-DA,

.“DEBSADAE；

(2)"DEB-DAE,

.,.zDEB=zDAE=a.

••AB是直径，

.-.zAEB=90o.

又•..AE=EF,

.-.AB=BF=10.

.,.zBFE=zBAE=a.

COSNBED=COSNBFE=刍则BE=6,AE=8,

ED_EB_DBED_6_BD

"DA~AE~ED,K10+BD-8一DE’

解得8。=3,DE=拳

贝(JADAB+BD,

ED;

7'

⑶点F在B,E,M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径,BF交DE于点H,连接MF.

•.由(2)可得NBFE=NBED/FBE=NBEH,

./FBESAEBH,

NBEF=NBHD=90。,即BF±ED.

X'.-zBMF=90°,.-.zMFB=zD=p.

设6=应则EH=^-x,

BE2-EH2=BH2=BD2-HD2^36=(y)-x2.

解得久=等77

则COS0=jo=H，sin£=H

7

714

・•.MB=BF,sin夕=10x—=—.

l255

352

DM=BD-MB=—.

例2.如图,PA是。。的切线切点为点A,AC是。。的直径，连接OP交。O于点E.过点A作AB，P。于点D,

交。。于点B,连接BC,PB.

⑴求证:PB是。。的切线；

(2)求证:E为&PAB的内心；

⑶若cos^PAB=*BC=1,求PO的长.

解析

(1)连接OB,根据圆周角定理得到NABC=90°,证明AAOP当BO巴得到NOBP=NOAP,根据切线的判定定理证明；

⑵由切线长模型，可知PD平分NAPB.连接AE,根据切线的性质定理得至(UPAE+NOAE=90°,证明EA平分

zPAD,根据三角形的内心的概念证明即可；

⑶找到与NPAB相等的NBCA根据余弦的定义求出OA,证明APAOiABC根据相似三角形的性质列出比例式，

计算即可.

解⑴证明:如图，连接OB.

.AC为。。的直径，

.•.zABC=90°.

-.AB±PO,

.,.POllBC.

.,.zAOP=zC,zPOB=zOBC.

■,OB=OC,

.,.zOBC=zC.

.■.zAOP=zPOB.

在SOP和ABOP中，

jZAOP=NPOB,

IP。=PO,

.“AOP9BOP(SAS).

.,.zOBP=zOAP.

；PA为。0的切线，

..NOAP=90°.

.•.zOBP=90°.

，PB是。。的切线；

(2)证明:如图，连接AE.

；PA为。。的切线，

.■.zPAE+zOAE=90°.

-.AD±ED,

.•.zEAD+zAED=90°.

■.OE=OA,.-.zOAE=zAED.

，NPAE=NDAE,即EA平分NPAD.

•.PA,PB为。。的切线,

.-.PD平分NAPB.

.•.E为WAB的内心；

⑶解:./PAB+NBAC=90°,NC+NBAC=90°,

」.NPAB=NC.

•••cos/C=cosNPAB——.

在RtAABC中，COSNC=—=—=—,

1*ACAC10,

AC=V10,XO=手.

■.,△PAO-AABC,

PO

・AC=工•VIU=5.

AC

例3.如图，以RbABC的直角边AB为直径作。O交斜边AC于点D,过圆心。作OEIIAC,交BC于点E,连接

(1)判断DE与。。的位置关系并说明理由；

(2)求证：2DE2=CD-OE;

⑶若tanC=^,DE=:求AD的长.

解析

(1)可先证明NBDE+NODB=90°,由于AB是圆的直径，连接BD,则易证明8口，人(2出口，。巳由垂径定理可知OE

是BD的垂直平分线易得NODE=NOBE=90°;也可以证明AODE%OBE;

(2)OEllAC,。是AB的中点OE是SBC的中位线,AC=2OE,BC=2DE,根据切害U线模型，BC2=CD•AC,进而得

到结论；

⑶由⑵知道BC=5利用tanC可求出AB,进而求出AC根据BC2=CDAC求出CD,进而即可求出AD.

解⑴DE是。。的切线理由：A

解法一:如答图L连接OD,BD.；AB是。0的直径，

.-.zADB=zBDC=90o.

■.OEllAC,OA=OB,

.-.BE=CE.

.-.DE=BE=CE.

.-.zDBE=zBDE.

-,OB=OD,

.,.zOBD=zODB.

..NODE=NOBE=90。.

.-.OD±DE.

•.点D在。。上，

.DE是。。的切线；

解法二:如答图2/.0EIIAC,

..NBOE=NA/DOE=NADO.

；OA=OD,

..NBOE=NDOE.

­.OE=OE,OB=OD,

."ODE%OBE.

.-.zODE=zOBE=90o.

.'.OD±DE.

:点D在。。上，

.■.DE是。。的切线；

(2)/zBDC=zABC=90°,zC=zC,

.".△BCD*-'AACB.

.BC_CD

"AC-BC

：.BC2=CD-AC.

由(1)知，DE=BE=CE=：BC,

答图2

4DE2=CD-AC.

由⑴知,0E是△ABC是中位线

..AC=2OE.

.­.4DE2=CD-20E.

：.2DE2=CD-0E-,

(3)OF=BC=5.

在Rt^BCD中，tanC=±=吧.

设CD=3x,BD=4x,根据勾股定理彳导((3比)2+(4x)2=25.

，x=-l(舍)或x=l.

..BD=4,CD=3.

由⑵知,.BC2=CD-AC,

.：AD=AC-CD=^-3=^

精选练习

1.已知AB是。0的直径,PB是。0的切线工是。0上的点，AC\\OP,M是直径AB上的动点，点A与直线C

M上的点连线距离的最小值为d,点B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

(1)求证:PC是。。的切线；

(2)设0P=|4C,求4P。的正弦值；

⑶设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

2.如图，在△力BC中，A8以AB为直径的。0分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上且NBAC

=2NCBF.

(1)求证:BF是。。的切线；

⑵若。。的直径为3,sin4BF=多求BC和BF的长.

3.如图,AB为。。的直径,C为。。上一点，AD1CE,,垂足为点D,AC平分NDAB.

(1)求证:CE是。0的切线；

(2)若AD=4,cosZCAB=(求AB的长.

精选练习

1.解:⑴如图，连接0C.

VOA=OC,

ZA=ZOCA.

VAC/70P,

・•・ZA=ZBOP,ZACO=ZCOP.

JNCOP=NBOP.

VPB是。O的切线,AB是。O的直径,

NOBP=900.

在APOC与aPOB中，

OC=OB,

Z.COP=乙BOP,

、OP=OP,

：.ACOP^ABOP,ZOCP=ZOBP=90°.

・・・PC是。。的切线；

⑵如图过点。作OD,AC于点D.

・••乙ODC=Z.OCP=90°,CD=-AC.

2

■:NDCONCOP,

AAODC^APCO.

CD=-OP.

3

1

■■--OP-OP=OCo2.

3_

OCV3

•・而一了

sinzCPO;

OP3

⑶如图，连接BC.

VAB是。O的直径，

AACXBC.

VAC=9,AB=15,

・•・BC=y/AB2-AC2=12.

当点M与点A重合时，

d=0户BC=12,

Ad+f=12.

当点M与点B重合时，

d=9,f=0,

Ad+f=9.

・•・d+f的取值范围是9<d+f<12.

2.解:⑴证明:如答图1,连接AE.

答图1

VAB为直径,

JZAEB=90°.

.,.AE±BC.VAB=AC,

JBE=EC,ZBAE=ZCAE.

ZBAC=2ZCBF,

JZBAE=ZCBF.

•••^BAE+乙ABE=90。，

・•・ZCBF+ZABE=90°.

AAB1BF.

・・・BF是。。的切线；

(2)由(1)得ZBAE=ZCBF,

sinZ-CBF=sinZ-BAE=—.

3

ZAEB=90°,AB=3,

BE=ABsinZ-BAE=V