2024年小升初数学专项训练讲义

2024年小升初数学专项训练

第一讲计算篇

一、小升初考试热点及命题方向

计算是小学数学的基础，近几年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势(分值大体

在6分〜15分)，学生应针对两方面强化练习：一分数小数混合计算；二分数的化简和简便

运算；

二、考试常用公式

以下是总结的大家须要了解和驾驭的常识，曾经在重要考试中用到过。

1.基本公式：

2、y+22+...+/=此包色±1)

6

［讲解练习］:Ix2+2x3+…+19x20

2

an=n(n+1)=n+n

二原式=(仔+2?+...+192)+(1+2+…19)

3、r+2^+…+〃3=(］+2+…")2="(二0

4、

abcabc=abcx1001=6zZ?cx7x11x13=>如：77><78=7><11乂13><6=100卜6=6006

［讲解练习］：2024X20242024-2025X20242024=.

5、a?—b2=(a+-b)

［讲解练习］:82・72+62・52+42.32+22•12.

6、……

［讲解练习］:工化成小数后，小数点后面第2024位上的数字为一。

7

巳化成小数后，小数点后若干位数字和为1992,问口=—o

7

7、1+2+3+4…(n-l)+n+(n-l)+***4+3+2+l=n2

8、11x11=121111x111=123211111112=12345654321

9、12345679x9=111111111

［讲解练习］:12345679x450=12345679x9x50=111111111x50=5555555550

四'典型例题解析

1分数，小数的混合计算

【例1】。与一68）+[2坦+（4-2里）4-1.35]

io^.+3--522

【例2】910,+(1993x0.4+且

5A27'1995x0.51995,

19O9-650+5-22

2浩大数字的四则运算

【例3】19+199+1999+...+=。

【例4】74480^21934^118556=

8333-25909-35255--------

3浩大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）

【例5】1；+2»3*+44++20」-

420

365791113

【例6】——I------1------1--------1--------1------+一

57612203042

23456

【例7】---------1------------1--------------1---------------1-------------

1x33x66x1010x1515x21

4繁分数的化简

【例8】已知,那么x=.

5换元法的运用

【例9】

1111+3+…1111

1+----1------F…+H----x-----—-I------1-—I-

232000232000231999

6其他常考题型

【例10】小刚进行加法珠算练习，用1+2+3+……，当数到某个数时，和是1000。在验算

时发觉重复加了一个数，这个数是o

【拓展】小明把自己的书页码相加，从1起先加到最终一页，总共为1050,不过他发觉他重

复加了一页，请问是页。

作业题

14886.74

1、2、39X148X——+48X——

149149149

621+739+458^6739458458

3、+----++947

126358947)<358947207)<126358947207)(358

4、有一串数士I、土।、*2、±1、2*、33、±1、2.、3它的前1996个数的和是多少？

12233344

5、将右式写成分数

其次讲几何篇（一）

一、小升初考试热点及命题方向

几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的

小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简洁的分为直线形

面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多,

值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含

及解除的学问。

二、典型例题解析

1等积变换在三角形中的运用

首先我们来探讨一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2X底义高

因此我们有

【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比

【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比

【例1】如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于。点，三角形ADO的面积=5,三角形DOC的

面积=4,三角形AOB的面积=15,求三角形BOC的面积是多少？

【例2］将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积及原三角形面积

之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少？

燕尾定理在三角形中的运用

下面我们再介绍一个特别有用的结论：

【燕尾定理】：

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点0,那么SAABO:SAACO=BD:DC

【例3］在△ABC中股AE-OB

=2:1,——=1:3,求一=?

DCECOE

A

2差不变原理的运用

［例4］左下图所示的ZZ7ABCD的边BC长10cm,直角三角形BCE的直角边EC长8cm,己知两

块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2,求CF的长。

【例5】如图，已知圆的直径为20,S-S2=12,求BD的长度?

3利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系

【例6】如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它

的宽DE等于多少厘米？

【例7】如下图所示，四边形ABCD及DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

4其他常考题型

【例8］用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形,已知小纸片的长是18厘米，求图中

阴影部分的面积和。

拓展提高：下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？

作业题

1、如右图所示，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB；延长BC至E,使CE=2BC；

延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。

2、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=，AB,已知四边形EDCA

3

的面积是35,求三角形ABC的面积.A

3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、

18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

18

d

30

4、图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是多少平方厘米.

5、三角形ABC中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么三角形AMN（阴影部分）

的面积为多少？

第三讲几何篇（二）

一'小升初考试热点及命题方向

圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图

形考察学生的空间想象实力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中许多学问点都是

建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔学问链接性好的学生。

二'典型例题解析

1及圆和扇形有关的题型

【例1】如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；

阴影部分甲及乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。

【例2】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴

着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大?

【例3】如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积。（取口=3）

及立体几何有关的题型

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还相识了一些简洁的立体图形，如长方体、正方体（立

方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如

下。见下图。

2求不规则立体图形的表面积及体积

［例4］用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方

厘米？

【例51如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米

的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的

挖法及前两个相同，边长为1/4厘米。那么最终得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

3水位问题

【例6】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图.已知它的容积为26.4冗

立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时，空余部分的高为2

厘米.问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

【例7】一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的

2

水，现在向桶中投入边长为2厘米x2厘米x3厘米的长方体石块，问须要投入多少块这种石

块才能使水面恰及桶高相齐？

4计数问题

［例8］右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两

个小正方体组成的长方体有多少个？

拓展提高：有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。假如用这三种正方体拼成尽

量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少须要这三种正方体共多少？

作业题

1、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是______厘米.（%=3.14）

2、求下图中阴影部分的面积:

3、如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°,此时AB到达AC的位置，求阴影部

分的面积（取”=3）.

4、有一个正方体，边长是5.假如它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），

求它的表面积削减的百分比是多少？

5、如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正

方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？

第四讲行程篇（一）

一、小升初考试热点及命题方向

行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的

重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，改变众多，所以对学生来说处理起来很

头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析实力。

二、基本公式

【基本公式】：路程=速度X时间

【基本类型】相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程；

追及问题：速度差X追刚好间=路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不

产生影响；顺水速度=船速+水速逆水速度=船速一水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2水速=（顺水速度一逆水速度）4-2

（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）其他

问题：利用相应学问解决，比如和差分倍和盈亏；【困难的行程】1、多次相遇问题；2、环形

行程问题；3、运用比例、方程等解困难的题；

三、典型例题解析

1典型的相遇问题

【例1】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度削减2米/秒，结果都用24秒同时回到原

地。求甲原来的速度。

【例2】小红和小强同时从家里动身相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在

途中的A处相遇。若小红提前4分动身，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相

遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时动身相向而行，6小时后相遇在C点。假如甲车速

度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时动身相向而行，则相遇地点距C

点12千米，假如乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时动身相

向而行，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时向多少千米？

2典型的追及问题

【例4】在400米的环行跑道上，A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时

动身，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒

钟。那么甲追上乙须要时间是多少秒？

3多次折返的行程问题

【例5】甲、乙两人同时从山脚起先爬山，到达山顶后就马上下山，他们两人的下山速度都是

各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人动身后1小时，甲及乙在离山顶600米处相

遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到动身点共用多少小时？

4流水行船问题

关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度=船速+水速逆水速度=船速一

水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2水速=（顺水速度一逆水速度）+2

必需娴熟运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量

公式推导：

［例6］一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流

航行120千米也用16时。求水流的速度。

［例7］某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时

动身相向而行，这天甲船从上港动身掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后及甲船相距

1千米，预料乙船动身后几小时可及此物相遇。

【例8】一只小船从甲地到乙地来回一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米,

因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。

作业题

1、在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，假如两人速度不变，其

中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈须要几分钟？

2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙

从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时动身，丙及乙相遇后，又经过2分钟及甲相遇，

求东西两镇间的路程有多少米？

3、甲、乙同时从A,B两地相向走来。甲每时走5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A

地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？

4千米。

4、甲、乙两车同时从A,B两地相向而行，它们相遇时距A,B两地中心处8千米，已知甲车

速度是乙车的1.2倍，求A,B两地的距离。

5、客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车

3

到达甲城，货车离乙城还有30千米.已知货车的速度是客车的一，甲、乙两城相距多少千米？

4

第五讲行程篇（二）

一、小升初考试热点及命题方向

多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学特别宠爱的出题角度，这类题型往往须要

学生结合六年级所学习的比例学问和分数百分数来分析题干条件，考查内容较为全面。

二、基本公式

【基本公式】：路程=速度X时间

【基本类型】相遇问题：速度和X相遇时间=相遇路程；

追及问题：速度差X追刚好间=路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不

产生影响；顺水速度=船速+水速逆水速度=船速一水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2水速=（顺水速度一逆4速度）+2

（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有|公式需牢记卜他

问题：利用相应学问解决，比如和差分倍和盈亏；【困难的行程】做题有信念！卜形

行程问题；3、运用比例、方程等解困难的题；

1直线型的多次相遇问题

假如甲乙从A,B两点动身，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-l倍，而此时甲走

的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-l倍（乙也是如此）。

总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米,

则两人走3个全程中甲就走3份M米。

【例1】湖中有A,B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A,B两岛同时

动身，他们第一次相遇时距A岛700米，其次次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？

2

【例2】甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的岳，二人相遇后接着行进,

甲到B地、乙到A地后马上返回。已知二人其次次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米,

那么，A、B两地相距千米。

DC

2

B

2环形跑道的多次相遇问题

【例3】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时动身反向而行，6分后两人相遇，再过4

分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各须要多少分？。

【例4】右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个''逗号〃，两只蚂蚁分别从A,B同时爬行。

甲蚂蚁从A动身，沿''逗号〃四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B动身，沿外圆圆周

顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？

3及分数百分数相结合的行程问题

【例5】一辆车从甲地开往乙地。假如车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达；假如

以原速行驶120千米后，再将车速提高25%,则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多

少千米？

【例6】学校组织春游，同学们下午一点动身，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路

返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为4千米/时，上山为3千米/时，下

山为6千米/时。问：他们一共走了多少路？

作业题

1、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。

两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80%,求甲、乙两地的距离。

2、甲、乙两车分别从A、B两地动身，相向而行。动身时，甲、乙的速度比是5：4,相遇后,

甲的速度削减20%,乙的速度增加20%,这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那

么A、B两地相距多少千米？

3、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了

10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？

4、甲、乙两人同时从山脚起先爬山，到达山顶后就马上下山。他们两人下山的速度都是各自

上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求从山脚到山顶的距离。

5、甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。假

如他们同时分别从直路的两端动身，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？

6、如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A动身顺时针行进，速度是每秒5厘

米，乙玩具车从CD的中点动身逆时针行进，结果两车其次次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走

多少厘米？

第六讲找规律篇

一'小升初考试热点及命题方向

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在刚

刚结束的14年小升初选拔考试中，一八、经纬、郑州中学偶有考察。

二、典型例题解析

1及周期相关的找规律问题

【例1】上rj化小数后，小数点后若干位数字和为1992,求n为多少？

7

【例2】、视察下列算式：

31=3,3?=9,33=27,34=81,

35=243,36=729,37=2187,38=6561,

用你所发觉的规律写出32。。4的末位数字是

2图表中的找规律问题

【例3】自然数如下表的规则排列：

求：（1）上起第10行，左起第13列的数；

（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

【例3】下面是45c三行按不同规律排列的,那么当A=32时，B+C=.

A246810.......

B1591317.......

C25101726.......

【例4］用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有

黑色瓷砖块，第g个图形中须要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）.

3较困难的数列找规律

【例5］下面两个多位数1248624……、6248624……，都是根据如下方法得到的：将第一位

数字乘以2,若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进

行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前

100位的全部数字之和是多少？

【例6】数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：假如一棵树苗在一

年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都根据

这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝

（假设没有任何死亡）？

【例7】把棱长为。的正方体摆成如图的形态，从上向下数，第一层1个，其次层3个

按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是

【例8】下面是按规律列的三角形数阵：

1

11

121

1331

14641

15101051

那么第1999行中左起第三个数是

12123412345612812

【例9】一串分数:，其中的第2000

3,3^5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,9,9"…

个分数是.

拓展提升：小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-

半破了，经过2分钟还有土没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了•小明在第20次吹出100

个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.

作业题

1、有一堆火柴共10根，假如规定每次取1〜3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?

2、已知一串有规律的数：1,2/3,5/8,13/21,34/55,…。那么，在这串数中，从左往右

数，第10个数是o

（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第〃个图案中有白色纸片张.

4、如图所示，在正六边形A四周画出6个同样的正六边形（阴影部分），围成第1圈;在第1圈

外面再画出12个同样的正六边形，围成第2圈;…….按这个方法接着画下去,当画完第9圈时,

图中共有个及A相同的正六边形.

5、用火柴棒按下图中的方式搭图形，根据这种方式搭下去，搭第I个图形需根

火柴棒.

（第一个图形）（其次个图形）（第三个图

6、一个人从中心（标有0）的位置动身，向东、向北各走1千米，再向西、向南各走2千米，再向

东、向北走3千米,向西、向南各走4千米,……，如此接着下去.他每走1千米,就把所走的路

程累计数标出（如图），当他走到距中心正东100千米处时，他共走了千米.

4——3—2

50——东

I

6一7——8一9

第七讲工程篇

一、小升初考试热点及命题方向

罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：

某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做,

则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？

答案：

设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4

天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。

另外，已知甲先做2天，然后及乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作

时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在

5天中也完成了工程的一半。

这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。

工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1”综合。还有就是

学生欠缺一些固定的条件的理解和转化实力。

二、学问要点

在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工

作效率（单位时间内完成的工作量）。

深刻理解公式的用

【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：

工作效率X工作时间=工作总量；

工作总量+工作时间=工作效率；

工作总量+工作效率=工作时间。

为叙述便利，把这三个量简称工量、工时和工效。O

三、典型例题解析

1涉及二者的工程问题

【例1】一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息

了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？

【例2】一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成

这项工程的表0甲、乙单独做这项工程各须要几天？

【例3】某项工程，甲单独做须要20天，假如及乙合作，12天就可以完成。现在由甲单独做

16天，然后由乙接着做完，还须要几天时间？

2涉及三者的工程问题

【例4】一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8

天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。假如从起先就由丙队单独做，须要几天？

3涉及多者的工程问题

【例5】一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这

样，完成这项工程就比原来安排多用了4天。原安排完成这项工程用多少天？

4水箱注水的工程问题

【例6】水池安装A、B、C、D、E五根水管，有的特地放水，有的特地进水。假如每次用两根

水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：

A,BC,DE,AD,EB,C

2610315

假如选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管?

【例7】有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同时间内甲、

乙两管注水量之比7：5。经过2,时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管

3

的注水速度提高25%,乙管的注水速度降低30%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注

满B池？

【拓展】"牛吃草"问题

例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，假如牧民在此放24只羊，则6天吃完草；假如放

牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的.问：

1、假如放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？2、要是牧草恒久吃不完，最多放几只羊？

作业题

1、某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合

作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？

2、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。假如两人同时做，那么完成任

务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个?

3、某项工程，甲单独做须要20天，假如及乙合作，12天就可以完成。现在由甲单独做16天,

然后由乙接着做完，还须要几天时间？

4、甲、乙二人同时起先加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的1/3时乙加

工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？

第八讲比例百分数篇

一、小升初考试热点及命题方向

分数百分数是小学六年级重点学习的学问点，也是小升初重点考察的学问点，这一部分

主要考察三大块，分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中

都有可能出现。

二、学问要点

分数百分数应用题

比和比例经济浓度

三、典型例题解析

1分数百分数应用题

【例1】某班有学生48人，女生占全班的37.5%,后来又转来女生若干人，这时人数恰好是

占全班人数的40%,问转来几名女生？

【例2】把一个正方形的一边削减20%,另一边增加2米，得到一个长方形.它及原来的正方

形面积相等.问正方形的面积是多少？

2比和比例

【例3】一个长方形长及宽的比是14：5,假如长削减13厘米，宽增加13厘米，则面积增加

182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

【例4】某学校入学考试，参与的男生及女生人数之比是4：3.结果录用91人，其中男生及女

生人数之比是8:5.未被录用的学生中，男生及女生人数之比是3：4.问报考的共有多少人？

3经济浓度问题

【例5】某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽

早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

【例6】仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发觉含水量降低到80%。

现在这批水果的质量是多少千克？

【例7】甲、乙两车从A、B两地同时相对开出，当甲车到达两地中点时，乙车离中点还有20

千米，假如甲、乙两车的速度的比是5:4,A、B两城相距多少千米？

【例8】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双

利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生产180双,

提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大

利润是多少元？

作业题

1、成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售。当销掉80%后，剩的练习本打

折扣出售，结果获得的利润是预定的86%,问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？

2、甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的;，假如甲给乙20本，那么乙

比甲多的数量恰好是两人总数的《。那么他们共有多少本书？

0

3、100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%,略微晾晒后，含水量下降到98%,那么这100千克

的蘑菇现在还有多少千克呢？

1

4、甲、乙两车从A、B两地同时相对开出，当甲车行了全程3时，乙车行了16千米；当甲车

4

到达B地时，乙车行了全程的二。A、B两城相距多少千米？

第九讲数论篇

一、小升初考试热点及命题方向

数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多,

题型多样，改变众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同

余,奇数及偶数,质数及合数,约数及倍数,整数的分解及分拆等。作为一个理论性比较强的专

题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜，不定方程等内容有着亲密的

联系，其重要性是不言而喻的。

二、基本学问

三、典型例题解析

［例1］某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占工，得80~

7

89分的人数占工，得70〜79分得人数占!，那么得70分以下的有人。

23

【例2】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，

假如剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。根据

上面的过程不断的重复，最终剪得的正方形的边长是多少毫米?

【例3】一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线,

请问全部的标记线中有多少根距离相差4米？

【例4】03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布刚好，04年的招生人数比

03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？

【例5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？

【例6】—++=

21

【例7】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满意条件的最小自然数

［例8］有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号

说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，

这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同

学都对，

问：(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？

(2)假如告知你，1号写的数是五位数，恳求出这个数。(写出解题过程)

作业题

2__2___2_-__-_-__2_J

1、2000个“2”除以13所得余数是.

2、从1到2024的全部自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

3、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，其次种刻度线把木棍

分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，假如沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被

锯成多少段？

4、教室里面有标有1到200的标号200盏灯，每个灯小面站了一个小挚友，他们的背后都标上1

到200的数字，然后依次让小挚友按下是他们倍数的灯的开关；假设刚起先灯都是开着的那么

全部人按完后有几盏灯是亮的的？

第十讲真题专项测试——列方程解应用题

一'小升初考试热点及命题方向

应用题是数学和实际联系最亲密的问题，它的内容丰富，形式多样，是培育学生分析实力和

解决问题实力的重要内容，14年小升初考试郑州各个名校在次章节考察较多。列方程解应用

题就是常用的方法之一。

列方程解应用题的一般步骤是:

二、典型例题解析

【例115-(^-3)=7-2(x+l)=^-(8x+5)-1(2x-1)=

【例2】解方程：

4x-6=3x+57(2x-l)-3(4%—1)=5(3%+2)—1

［例3］商店在销售二种售价一样的商品时，其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件

商品总的是盈利还是亏损.

［例4］某化肥厂装运一批化肥，假如每辆车装7吨，这批化肥就有2吨不能运走；假如每辆

车装8吨，则装完这批化肥后，还可以装其它货物2吨。问：这批化肥有多少吨？

【例5】甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队

人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人?

【例6】有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1,若将此数个

位及百位依次对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49,求原数。

［例7］某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,

应如何安排生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？

【例8】朝阳建筑公司有甲乙两种型号的水泥，甲种水泥的数量是乙种水泥数量的3倍，安排

修建住宅若干套。假如每套住宅运用甲种水泥70袋，乙种水泥20袋，那么，甲种水泥缺少

10袋，乙种水泥30袋。问：“朝阳建筑公司安排修建多少套住宅？”

【例9】有一队工人搬一堆砖，每人搬7块，还剩12块，每人搬8块，最终一人只搬4块，

这队工人共有多少人？

、

【例10】甲、乙两车间各有工人若干，假如从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数

是乙车间剩余人数的6倍；假如从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原

来甲乙车间的人数。

作业题

1、有一队工人搬一堆砖，每人搬7块，还剩12块，每人搬8块，最终一人只搬4块，这队

工人共有多少人？

2、两个水池共贮水45吨，甲池注进6吨，乙池放出9吨，甲池水的吨数及乙池水的吨数相

等，两个水池原来各贮水多少吨？

3、小刚和小明参与一个会议，在会议室中小刚看到不戴眼镜的同学是戴眼镜同学的2倍，小

2

明看到戴眼镜的同学是不戴眼镜的会议室中共有多少名同学？

4、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克

力削减5%,结果总数增加了7千克。那么实际进饼干多少千克？（02年人大附中入学测试题）

5、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另

收费..甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千

米，付了35元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的

车费是多少元？

第十一讲计数原理篇

一、小升初考试热点及命题方向

“数学来源自生活又高于生活”，本讲所探讨的计数原理在随后学习的概率以及排列组合学问

上有很大应用，在历届小升初考试中本章节考察分值也较大，今年小升初考试可能分值会有

所增加。.

二、典型例题解析

【例1】有11阶台阶，每次可以走1阶或者2阶或者3阶，则一共能有几种走法?

【例2】有数字1,2,3,4,5,6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?

【例3】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6。

将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

【例4】

1、在1〜1000的自然数中，一共有多少个数字1?

2、在1〜500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个?

【例5】在2,3,5,7,9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这

样的四位数有多少个？

【例6】从学校到少年宫有4条东西的公路和3条南北的公路相通（如图），小明从学校动身

到少年宫（只许向东或向南行进），最终有多少种走法?

［例7］某区的街道特别整齐（如图），从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路,

一共有多少种不同的走法？

A

【例8】如图有6个点，9条线段，一只小虫从A点动身，要沿着某几条线段爬到F点。行

进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？

作业题

1、在1,3,6,8这四个数字中，能够组成几个两位的质数?

2、在1,4,5,6,7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数

有多少个？

3、由数字1,2,3,4,5,6,7,8,可组成多少个：

①三位数；②三位偶数；③没有重复数字的三位偶数；④百位是8的没有重复数字的三

位数；⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数。

4、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙

配起来？

5、在2,3,5,7,9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四

位数有多少个？

第十二讲