高中数学同步讲义（人教B版2019必修四）第32讲 专题11-4 异面直线相关问题

专题11-4异面直线相关问题TOC\o"1-3"\h\u题型1异面直线的概念及辨析 2题型2异面直线的判定 5题型3证明异面直线垂直 12题型4求异面直线的距离 17知识点一.异面直线的概念：定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.知识点二.异面直线的判定定理1.文字语言：过_____平面内一点

_______与____平面外一点________的直线，和这个平面内_____不过该点

_______的直线是异面直线．2.符号语言：l⊂α,A∉知识点三.两条异面直线互相垂直：定义：若两条异面直线所成的角为______直角（或90°）______，则称它们互相垂直．两条互相垂直的异面直线a,b，记作_

题型1异面直线的概念及辨析【例题1】（2023·全国·高一专题练习）已知AB∩α=B，l⊂α，位置关系是______.【答案】异面【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系.【详解】如图所示，因为B∉l，AB∩α=B，故AB与故AB与l的位置关系是异面.故答案为：异面【变式1-1】1．（2023·高一单元测试）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（

）A．平行 B．异面C．相交 D．平行、相交或异面【答案】D【分析】借助长方体中的棱长所在直线直接来判断关系.【详解】如图，在长方体ABCD−A'已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD−A'B'C'故a和c可以平行、相交或异面．故选：D【变式1-1】2．（2023·全国·高一专题练习）直线a与平面α不平行，则α内与a平行的直线有（

）A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对【答案】D【分析】分为a⊂α以及直线a与平面【详解】因为直线a与平面α不平行，所以直线a与平面α的关系有两种，即a⊂α以及直线a与平面当a⊂α时，显然在当直线a与平面α相交时，设a∩当b⊂α，且A∈b时，此时a∩当b⊂α，且A∉b时，可知直线综上所述，当直线a与平面α相交时，α内与a平行的直线有0条.所以，直线a与平面α不平行，则α内与a平行的直线有无数条或0条.故选：D.【变式1-1】3．（2023·高一课时练习）两条异面直线指的是（

）A．不同在任何一个平面内的两条直线B．在空间内不相交的两条直线C．分别位于两个不同平面内的直线D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线【答案】A【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】解：两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线，故A正确；空间中不相交的两条直线可以平行或异面，故B错误；分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面，故C错误；某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面，故D错误.故选：A【变式1-1】4．（2023·高一单元测试）以下四个图中，表示直线a与b平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解.【详解】对A，如图，若直线a与b平行，则m,对B，根据图示，直线a与b异面，B错误；对C，根据三角形的相似关系可得直线a与b平行，C正确；对D，如图，若直线a与b平行，则l,故选:C.【变式1-1】5．（2023·高一课时练习）已知a、b是异面直线，P是a、b外一点，经过点P且与a、b都相交的直线有（

）A．至少1条 B．最多1条C．有且只有1条 D．可能为0条也有可能多于1条【答案】B【分析】利用构造法说明可以存在1条或0条，利用反证法说明不存在2条以上的直线符合题意，即可判断.【详解】解：设P与a所确定的平面为α，若α与b交于点Q，当PQ不平行于a时，PQ与异面直线a、b都相交，当PQ//a或b//α时，过点P与异面直线假设有过点P的两条直线m、n都与异面直线a、b相交，相交直线m、n共面β，则直线a、b上分别有两点在面β上，所以直线a、b在面β内，与a、b异面矛盾.故选：B题型2异面直线的判定【例题2】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，长方体ABCD−A1B1A．DD1 B．B1C C．【答案】D【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答.【详解】在长方体ABCD−BB1//DD1，当P是A1C1与B当点P与C1重合时，BP⊂平面BCC1B当点P与A1重合时，因为长方体ABCD−A1B因为AC⊂平面ABCD，B∉AC,B∈平面ABCD，而P∉故选：D【变式2-1】1．（多选）（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线AM与BN是平行直线B．直线BN与MB1是异面直线C．直线MN与AC所成的角为60°D．平面BMN截正方体所得的截面面积为9【答案】BCD【分析】利用反证法说明A错误；由异面直线的定义判断B；由异面直线所成角的定义可判断C；连接A1B，知A1B//【详解】对于A，假设直线AM与BN是平行直线，则四边形ABNM为平面图形，∵平面AA1B1B//平面CC1D∴AB//MN，则C对于B，∵BN⊂平面BB1C1C，B由异面直线的定义可得，直线BN与MB对于C，连接CD1，AD1，可得MN//CD而∠ACD1=60°，可得直线MN与对于D，连接A1B，可知A1B//∵棱长为2，∴A1B=22∴等腰梯形的高为5-(∴S故选：BCD．【变式2-1】2．（多选）（2023·高一课时练习）如图，在正方体ABCD−A1A．直线AM与CCB．直线BN与MBC．AM与BN平行D．直线A1【答案】BD【分析】根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可【详解】解：A选项，∵A、∴根据异面直线的定义可得直线AM与CCB选项，∵B、∴根据异面直线的定义可得直线BN与MBC选项，取DD1的中点E，连接AE、EN，则有所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE//∵AM与AE交于点A，∴AM与AE不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；D选项，连接A1因为M，N分别为棱C1D1所以MN//D1所以MN//A1∴直线A1【变式2-1】3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台ABC−A1【答案】3【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，由图可知九条棱中A1B1，A1C1，A1A，没有直线与A1所以与直线A1B是异面直线的共有3条，分别为B1C1故答案为：3【变式2-1】4．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）正方体ABCD−【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，∵MN∩平面DCC1D1∴直线MN与D1C的位置关系是异面．故答案为：异面．【变式2-1】5．（2022·高一课时练习）如图，已知点P在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么P与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有______对．【答案】8【分析】由四棱锥的性质和异面直线的定义列举出所有的异面直线，即可得出答案.【详解】如图，已知点P在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么P与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有：PA与BC，PA与CD，PB与CD，PB与AD，PC与AB，PC与AD，PD与AC，PD与BC，共有8对.故答案为：8.【变式2-1】6．（2022·高一课时练习）从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为______．【答案】4【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论．【详解】正方体共有8个顶点，若选出的n条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图AC,BC故答案为：4．题型3证明异面直线垂直【例题3】（多选）（2022·全国·高一假期作业）平行四边形ABCD中，AB>AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'A．直线BC B．直线CD C．直线BD D．直线A【答案】AB【分析】结合特殊的平行四边形对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，若BD⊥当平面A'BD与平面CBD垂直时，两个平面的交线为BD，且则BC⊥平面A'BDB选项，当∠ABD>45°时，在翻折过程中，∠A'BA而AB//CD，即直线A'B与直线CD所成角为C选项，由于AB>AD，所以∠ABDD选项，由于AB>AD，则A'故选：AB【变式3-1】1．（多选）（2021春·广东肇庆·高一校考阶段练习）如图，在正四棱柱ABCD−A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1所成角大小为πC．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直【答案】ACD【分析】连结A1B，利用中位线的性质，即可证明【详解】A.连结A1B，即点E是A1B与AB1的交点，点B.连结DC1，因为AB1//DC1，所以∠BC1C.因为BB1⊥平面A1B1CD.因为AC⊥BD，AC//A1C1故选：ACD【变式3-1】2．（2023春·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG=2，GE=5，EF【答案】证明见解析【分析】利用平行关系，证明AC⊥BD，转化为证明【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.【变式3-1】3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A'B'【答案】证明见解析【分析】根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明.【详解】如图，取CC∵E为AC的中点，F为CC∴EF//AC即为异面直线BE与AC'所成角，且在正三棱柱ABC−A'B'在等边三角形ABC中，BE=在Rt△BCF中，BF=在△BEF中，BE∴BE⊥EF，∴【变式3-1】4．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.【答案】证明见解析【分析】取CD1的中点G，连接EG，DG，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可证明EF//C1D，可得直线D1【详解】如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝12∴DF∥BC，DF＝12∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.题型4求异面直线的距离【例题4】（2023·高一课时练习）边长为1的正方体ABCD−A1B1【答案】1【分析】把直线A1D和【详解】如图所示，连接A1因为A1B1⊥平面A1ADD又A1则直线A1D和B1C1即直线A1D和故答案为：1.【变式4-1】1．（2022·高一课时练习）正方体ABCD−A'B'C'【答案】3【分析】作辅助线，找出异面直线CD'与【详解】取CD中点M，连接MC'，AM，AM与BD交于P，MC'与由正方体的性质可知AC由△CMQ与△D'同理可得MPPA=12，所以所以PQ为CD'与BD间的公垂线段，所以异面直线CD'与故答案为：33【变式4-1】2．（2022·高一课时练习）空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P，Q的最短距离为______．【答案】2【分析】由已知条件可知几何体为正四面体，由此可知点P，Q的最短距离即为相对棱的中点之间的距离，可求得答案.【详解】由于空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，故该几何体为正四面体，如图当P,Q分别为AB,CD的中点时，连接AQ,BQ,则AQ=BQ,所以PQ⊥即当P,Q分别为AB,CD的中点时，PQ为异面直线AB,CD的公垂线，此时点P，Q的距离最短；因为空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，故AQ=所以PQ=故答案为：2【变式4-1】3．（2023·高一课时练习）已知S是矩形ABCD所在平面外一点，SA⊥BC，BS⊥CD，SA与CD所成角大小为π3，SD与BC所成角大小为π6，SA=1，分别求直线SA【答案】3，1【分析】根据异面直线所成的角，平行线的性质得SA⊥AD，∠SDA=π6，【详解】∵AD//BC,AB//CD，SA⊥BC因为SD与BC所成角大小为π6，而BC//AD因为SA与CD所成角大小为π3，而AB//CDSA=1，则SD=2，AD=又ABCD是矩形，所以线段AD是直线SA与CD的公垂线段，线段AB是SB与AD的公垂线线段，所以直线SA与CD的距离是3，SB与AD的距离是12【变式4-1】4．（2023·高一课时练习）所有棱长都为1的四面体ABCD中，找到异面直线AB和CD的公垂线，求出AB和CD的距离．【答案】取AB中点E，CD中点F，则EF为公垂线，EF【分析】取AB中点E，CD中点F，连接BF,AF,EF，证明EF是AB与【详解】如图，取AB中点E，CD中点F，连接BF,由已知AF