2024年高考数学一轮复习基础讲义-导数的应用导数与函数的单调性（解析版）

第14讲导数与函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=/(%)在区间(“力)内可导，

⑴若/'(%)>。,则/(x)在区间(“力)内是单调递增函数；

⑵若/'。)<0,则/(x)在区间(a,b)内是单调递减函数；

⑶若恒有/'(%)=。，则/(%)在区间(“力)内是常数函数.

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持"定义域优先"原则

2.求函数单调区间的步骤

(1)确定函数的定义域

(2)求导数/'(%)

(3)解不等式/'(尤)>0,/'(x)<0

(4)结合定义域下结论。

3.已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数/(%)在区间。上单调递增，则在区间〃上f\x)>0恒成立；

⑵已知可导函数/(%)在区间。上单调递减，则在区间2上f\x)<0恒成立；

⑶已知可导函数于(x)在区间。上存在增区间，则f\x)>0在区间，上有解；

⑷已知可导函数/(%)在区间。上存在减区间，则/'(%)<0在区间2上有解.

考点一：求函数的单调区间(不含参)

1.(江苏仪征•)函数y=/-d-x-l的单调递增区间为()

A-if

D.1一8,一£|,(1,+<»)

c.

【答案】D

【详解】

由题得y'=3Y-2x-l,令y'>0得：x>l或，故单调递增区间为：1巩-10+⑹，

故选：D.

2.(东台市第一中学高二月考)函数/■(x)=xlnx的单调递减区间是(

10,1

A.—,+00B.—co,—C.(e,+oo)D.

【答案】D

【详解】

解：/(x)=xlnx,XG(O,+00)

则/'(x)Tnx+l,

1

由广⑺vO得0<%<一,

e

故选：D.

3.（中宁县中宁中学（理））函数/（%）=-lnx+2/的递增区间是（）

《。和"1

A.B.5,+00

2-i°

1

C.0D.—,+oo

-I-2

【答案】D

【详解】

由f(x)=-1nx+2x2,+4x=———-(x>0)

xx

令/'(x)>0,即4尤2—1>0,解得x>g

所以函数/（x）=-Inx+2x?的递增区间是

故选：D

4.（安徽金安•六安一中高二月考（理））函数〃x）=x+ln（2-力的单调递增区间为（

A.(-oo,3)B.(f1)C.(L+00)D.(1,2)

【答案】B

【详解】

对于函数/(x)=x+ln(2—x),有2—x>0,可得xv2,

1x~l

所以，函数4无）的定义域为（F,2）,r（x）=i+

x—2x—2

由/（%）>。，因为x<2,角军得xvL

因此，函数/（x）=x+ln（2-x）的单调递增区间为（—」）.

故选：B.

5.（清远市清新区凤霞中学高二期中）函数/（x）=f-21nx的单调递减区间是（

A.(0,1]B.

C.(-co,-l]D.[-1,0）（0,1]

【答案】A

【详解】

由题意知/'(x)=2x—2=——(x>0),由/'(x)w。，得0<x41.

故选：A

6.(安徽镜湖•芜湖一中高二期中(理))已知函数/(x)=/-i2x,若Ax)在区间(2加,根+1)上单调递减,

则实数机的取值范围是()

A.[-1,1]B.(-1,1]C.(-L1)D.[-1,1)

【答案】D

【详解】

详解:因为/'(x)=3f-12=3(X+2)(X-2),

令/'(x)V0可得-2WxW2,所以要使函数f(x)在区间(2"〃+1)上单调递减，

则区间(2必，加1)是区间[-2,2]的子区间，

2m>-2m>-\

所以m+l<2,求解不等式组可得：m<l,

m+1>2m[m<1

解得-1W水1,所以实数力的取值范围是[-U).

故选：D

7.(黑龙江甘南•高二期中(理))若函数=-91nx在区间上单调递减，则实数。的取

值范围是()

A.1<(7<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

【答案】A

【详解】

函数/(x)=；/-91n无，(x>0).

因为〃x)在区间[”1,上单调递减，

则/(x)<0在区间[a-1,a]上恒成立，即尤2一940,

所以。〈九<3在区间-1,上恒成立，

[61—1>0

所以《,嗔，解得lv〃？3,

[a<3

故选：A.

8.（山东兰陵四中）若函数/（x）=gx2-161nx在区间

上单调递减,则实数。的取值范围是（)

37j_7

A.B.+GOC.D.

°4r22292

【答案】D

【详解】

16_(x+4)(x-4)

=x---,(x>0),

xx

当/'(x)40,解得:0<x<4,

11

由条件可知a--,a+-之(0,4],

1八

a—>0

217

所以,解得:—<a<—.

1,22

«+—<4

2

故选：D

考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围

1.（陕西省洛南中学高二月考（理））若函数/（幻=履-In尤在区间（1,内）单调递增，则左的取值范围是（）

A.[1,+co）B.（―oo,-1]

C.（1,+8）D.（-00,-2]

【答案】A

【详解】

由题意得，〃尤）的定义域为（。，+8）,f'^=k--,

X

因为/⑴在（1，+哈上单调递增，

所以fXx）20在（1,+8）上恒成立，

即42,，又函数>=,在。，+◎上单调递减，

X%

所以妒1.

故选：A

2.（渭南市尚德中学高二月考（理））已知〃力=爪3-/+3履-16在尺上是增加的，则上的取值范围是

()

A.k>lB.左3ic.左>1或左<-LD.k31或左V—l

【答案】B

【详解】

由题意得函数的导数大于等于0,可得/(尤)=3爪2-2x+g左20在R上恒成立，

k>0,

「.<k^>k>l,

△=4—4x3左x(—)W0,

故选：B

3.(黑龙江佳木斯一中(理))如果函数/(x)=2f-alnx在］,+，|上单调递增，则。的取值范围是()

A.a<\B.a>\C.a>\D.a<\

【答案】D

【详解】

因为函数/(力=2工2-alnx,所以y'(x)=4x-—,

因为函数/(1)=2/-alnx在［；,+■»］上单调递增，

所以/'(x)=4x-2上。对恒成立，即2a对xe］；,+<»］恒成立，

所以

故选:D

4.(全国)若函数/(尤)=(/-"+a)e'在区间(-1,0)内单调递减，则实数”的取值范围是()

A.(—8,3］B.［3,+00)C.［1,+oo)D.(—00,1］

【答案】D

【详解】

由/(%)=(——+得了'(%)=+(2—.)%］=xex(x+2—,

由于函数“X)=(炉一依+a)e工在区间(一1,0)内单调递减，

即/'(力40在(-1,0)上恒成立，即x+2-/0,

即得aVx+2在(TO)恒成立，所以aWl,

故选：D.

5.(陕西长安一中高二期末(理))若函数/(x)=/-〃21nx在(0,1］上为减函数，则实数加的取值范围是

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(一8,2]D.(-oo,2)

【答案】A

【详解】

由题意得，1(x)=2x-'40在xe(0,l]上恒成立,所以加系2一在xe(0,l]上恒成立,因为2王在Q1]的最

尤

大值为2,所以〃栏2.

故选：A.

6.(全国高二单元测试)己知函数/(元)=履-21nx在区间(1,+◎上单调递增，则上的取值范围是()

A.(2,+00)B.(1,+℃)C.[2,+oo)D.[1，+oo)

【答案】C

【详解】

因为/(元)在区间+8)上单调递增，

故尸(X)=左-;20在区间(1,E)上恒成立.

即上士彳在区间(1,讨)恒成立.

故％22.

故选：C.

考点三：存在单调区间问题

1.(江西南昌十中(文))函数〃x)=lnx+依2-2在区间内存在单调递增区间，则实数”的取值范

围是()

A.—2)B.

C.(-8,+8)D.(-2,+8)

【答案】C

【详解】

由题意得，/'(%)=—\-1ax,

x

因为函数/(x)=lnx+ax2-2在区间内存在单调递增区间，

所以存在使得《(司=[+2加＞0成立，即"'Jj=-8.

故选:C

2.(广州市天河外国语学校高二期中)已知函数〃x)=e*，-bx)SeR)在区间；，2上存在单调递增区

间，则实数6的取值范围是()

o53sR

A.(-00,-)B.(-co,—)C.D.(-,+oo)

3o2o3

【答案】A

【详解】

•••函数”X)在区间；，2上存在单调增区间，

函数f(x)在区间g,2上存在子区间使得不等式尸(x)>0成立，

f\x)=ex［x!-+(2-b)x-b］,

设0(%)=x2+(2—匕)%—匕,

贝lJ/z(2)>0或/z(g)>0,

即4+2(2—人)一6>0或;+；(2-6)-b>0,

得V或b<?,

36

Q

则6<§；

故选：A.

3.(广东高三月考)若函数/2(x)=lnx-:"2_2x在［1,4］上存在单调递减区间，则实数。的取值范围为()

A.B.(-l,+oo)C.［-1,+co)D.

【答案】B

【详解】

112

因为以幻在口,4］上存在单调递减区间，所以〃(%)=——女—2<0在［1,4］上有解，所以当1且1,4］时=-一

XXX

有解，而当彳《1,4］时，3二=七一1)2一1,-2］=-1(此时尤=1),所以°>—1,所以”的取值范

围是(-1,+°°).

故选：B.

考点四：不单调问题

1.（全国）若函数〃力=三-12x在区间+上不是单调函数，则实数上的取值范围是（）

A.（―℃,—3][—1,1][3,+<»）B.（―3,-1）u（1,3）

C.（-2,2）D.不存在这样的实数上

【答案】B

【详解】

由题意得，/'（"=3/—12=0在区间（左-1,左+1）上至少有一个实数根，

而小）=3k-12=0的根为x=@区间1-1,左+1）的长度为2,

故区间（"1次+1）内必含有2或-2.

左―1<2<%+1或左—1<—2<%+1,

1<化<3或一3（人<一1,

故选：B.

2.（奉新县第一中学高二月考（文））若函数/（》）=尤3+（2-°）尤2+：|%+1在其定义域上不单调，则实数“

的取值范围为（）

A.或a>4B.a<l^a>4C.l<a<4D.1<6?<4

【答案】A

【详解】

由题意，函数/（%）=丁+（2-a）%。+1%+1,可得+（4-+§,

因为函数/。）=尤3+（2-办2+f+l在其定义域上不单调，

即/'（x）=3Y+（4—2。）x+]=0有变号零点，

结合二次函数的性质，可得A=（4-2a）2-4a>。，

即Q?_5々+4>0,解得。<1或。>4,

所以实数，的取值范围为（-8,l）D（4,+8）.

故选：A.

3.（山西运城-（理））已知函数/（%）=依+lnx+3在区间（1,2）上不单调，则实数。的取值范围为（）

A。GW）B-加C/T,TD.1-|，一3

【答案】C

【详解】

由广（力=。+^=竺9，①当。20时函数“X）单调递增，不合题意；②当"<。时，函数“X）的极值点为

尤=」，若函数在区间（L2）不单调，必有解得

故选：C.

4.（天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数〃尤）=；/一/+6一5在区间[-1,2]上不单调，则实数

。的取值范围是（）

A.（-8,-3]B.（-3,1）

C.[1,+°°）D.（-8,-3]U[1,+8）

【答案】B

【详解】

f（%）——2%+Q=（x—1）2+d—1,

如果函数/（©=；尤3一/+依-5在区间[-1,2]上单调，

[f（-l）<0fl+2+a<0

那么-川或。（2）vo,叫4.4+―0,解得心1或忘-3,

所以当函