2025年湘教新版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高二数学下册月考试卷694考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知（i为虚数单位），那么实数a，b的值分别是（）

A.2；5

B.-3；1

C.-1；1

D.2，-

2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若则（）A.+－B.－+C.－++D.－+－3、当<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、【题文】下列有关样本相关系数的说法不正确的是A.相关系数用来衡量变量与之间的线性相关程度B.且越接近于1，相关程度越大C.且越接近于0，相关程度越小D.且越接近于1，相关程度越大5、【题文】若数列满足：则（）A.1B.C.D.6、有一条输电线路出现了故障，在线路的开始端A处有电，在末端B处没有电，要检查故障所在位置，宜采用的优选法是（）A.0.618法B.分数法C.对分法D.盲人爬山法7、在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、直线的斜率是．9、在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C=____10、若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则的最小值为______．11、样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为______．12、如果两个变量的散点图由左下角到右上角则这两个变量成______相关．13、已知过双曲线x2a2鈭�y2b2=1(a>0,b>0)

右焦点且倾斜角为45鈭�

的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)19、（本小题满分12分）已知20、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球；从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．

（1）摸出2个或3个白球。

（2）至少摸出一个黑球．

21、若存在实常数和使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和则称直线为和的“隔离直线”．已知为自然对数的底数)．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．22、【题文】（本小题满分12分）

已知△ABC的面积S满足且与的夹角为

(I)求的取值范围;(II)求函数的最小值.评卷人得分五、计算题(共1题，共2分)23、解不等式组．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

∵==-a+i=-2+bi

∴-a=-2，=b

解得a=2，b=-

故选D

【解析】【答案】由已知中利用复数的运算法则化简等式左边，进而根据复数相等的充要条件构造关于a，b的方程组；解方程组可得答案．

2、D【分析】【解析】

因为所以利用向量的加法法则，构成首尾相接的封闭图形可知－+－【解析】【答案】D3、D【分析】<1，则3m－2>0，m－1<0，点在第四象限．【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、D【分析】【解析】由递推式可以递推出归纳可得故数列的周期为3，【解析】【答案】D6、C【分析】【分析】本题考查求根的方法。

可以把电线看做数轴的一段，故障位置看做所求的点，可用二分法求之，每次截取前一次的依次类推。

【点评】本题把二分法迁移到生活中。贴合实际。7、B【分析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率；

试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字；组成向量；

a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个；

从中任取两个向量共C62=15种结果；

满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个；

根据等可能事件的概率得到P==

故选B．

本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15中取法；平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．

本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】试题分析：根据直线一般式方程，斜率考点：直线的斜率【解析】【答案】9、【分析】【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴cosC==

∵C∈（0；π）

∴C=

故答案为：．

【分析】根据余弦定理，结合三角形的内角和，即可得到结论．10、略

【分析】解：整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16；

∴圆心坐标为（-4；-1）

∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长。

∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0

∴4a+b=1

∴=（4a+b）（）=8++≥8+2=16（当且仅当=时等号成立．）

故答案为：16

先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把整理成（4a+b）（）的形式展开后利用基本不等式求得答案．

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．【解析】1611、略

【分析】解：样本数据落在[6；14）内的频率为。

1-（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；

对应的频数为。

1000×0.68=680．

故答案为：680．

根据频率和为1与频率=即可求出答案．

本题考查了频率和为1与频率、频数和样本容量的应用问题，是基础题目．【解析】68012、略

【分析】解：有线性相关的定义可知：两个变量的散点图由左下角到右上角则这两个变量成正相关．

故答案为：正．

直接利用线性相关的定义；写出结果即可．

本题考查线性相关定义的理解，基本知识的考查．【解析】正13、略

【分析】解：要使直线与双曲线的右支有两个交点；需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率；

即ba<tan45鈭�=1

即b<a

隆脽b=c2鈭�a2

隆脿c2鈭�a2<a

整理得c<2a

隆脿e=ca<2

隆脽

双曲线中e>1

故e

的范围是(1,2)

故答案为(1,2)

要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba<1

求得a

和b

的不等式关系，进而根据b=c2鈭�a2

转化成a

和c

的不等式关系；求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1

综合可得求得e

的范围．

本题主要考查了双曲线的简单性质.

在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1

．【解析】(1,2)

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共20分)19、略

【分析】

【解析】略【解析】【答案】20、略

【分析】

（1）设摸出的4个球中有2个白球；3个白球分别为事件A；B；

则

∵A，B为两个互斥事件∴

即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为

（2）设摸出的4个球中全是白球为事件C；

则

至少摸出一个黑球为事件C的对立事件。

其概率为

【解析】【答案】（1）设摸出的4个球中有2个白球；3个白球分别为事件A；B，分别计算出基本事件总数及满足事件A，B的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

（2）设摸出的4个球中全是白球为事件C；分别计算出基本事件总数及满足事件C的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得至少摸出一个黑球的对立事件的概率，进而根据对立事件概率减法公式，得到答案．

21、略

【分析】【解析】试题分析：(1)．当时，．当时，此时函数递减；当时，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．(2)：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为则直线方程为即．由可得当时恒成立．由得．下面证明当时恒成立．令则当时，．当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．从而即恒成立．∴函数和存在唯一的隔离直线．考点：函数极值最值及不等式恒成立问题【解析】【答案】（1）当时，取得极小值0（2）存在隔离直线22、略

【分析】【解析】(1)由题意知,①②

由②÷①,得即由得即又为与的夹角,∴∴

(2)

∵∴

∴即时,的最小值为3.【解析】【答案】(I)(II)3五、计算题(共1题，共2分)23、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．六、综合题(共4题，共28分)24、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=