2024年北京大学强基计划数学试卷（含答案详解）

北京大学2024年强基计划笔试数学试题

20241ni

1•求£石模7的余数•

2.求sin36—sin3114+sin3126.

3.求1,2,3,4,5,6,7,8的排列的个数，使得排列中没有出现连续的12,23,34,45,56,67,78.

4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…，求第2024项模5的余数.

5.求四元组(弓，生,a3,4)的个数，使得@©{123},且10<。口汹。4<2。.

6.求(0,2可上方程28'x=sinx的解的个数.

7.求R上方程x(eg-l)+(e*T(x4-l)=。的解的个数.

8.求R上方程X2-13[X]+11=0的解的个数.

9.在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分

为8个长方体，求这些小长方体中体积不大于”的长方体个数的最小值.

10.在离心率为长的椭圆中，£，月是两个焦点，尸是椭圆上一点，且

2

一月时=?疗用一上阊=3,求

11.用5(“)表示正整数n的数码和，求满足S(«+l)与S(n)均为5的倍数的〃的

最小值.

12.称正整数〃为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数机满足—>0,都有

YI

—n,求最大好数的范围()

A.(0,1000)B.(1000,2000)C.(2000,3000)D.以上均不对

13.在ABC中，求cosAcosBcosC的最小值或下确界.

14.在ABC中，若边上的高为1%求伍+c)的范围.

3be

15.在ABC中，若a=2,b=&c=2叵。在5C上，比较AD2与2DCxDB的

大小.

16.在[ABC中，若。为形外一点，满足NBOC=244C,线段0C与线段48交于。，且

OB—OC-3,OD—2,BDAD.

17.在ABC中，若。在8c上，AD平分NBAC,ADC的内心与ABC的外

心重合，求NC.

18.在&ABC中，若。在5c上，AD平分==求二ABC的周长.

19.在qABC中，求2sinA+sinB+sinC的最大值的取等条件.

20.xeR,用国表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-[x]表示小数部分，已知：%=6,

12024

4+1=[%]+西,求石殁.

试卷第2页，共2页

1.1

【分析】只要注意到19与20的相邻关系，容易将高斯取整写成普通的计算式，剩下就只需

要对幕次进行常规的同余计算.

【详解】因为19=(-i)(mod20),所以

2£024三191三一1012+能

♦i=l2。0八i=l20

19192024-1

=----------------44

2018

19仰(1严-I*9Tx(mod7),

2018

上述中用到196三l(mod7),192-1=20.18,所以20・18-7|192°22一1.

23-31

・16

31

【分析】由sin36=sin(e+26),化简得到sir?e='sin6—±sin36,cos36=cos©+2。)，化

44

简得到cos36=4cos'3cos6,从而将原式化简为

31

sin36-sin3114+sin3126=-(sin6-sinll4+sinl26)一一(sinl8-sin342+sin378)=3sinl8

44

,利用sin360=cos540,求出sinl8，即可求解.

【详解】因为

sin30=sin(6+26)=sin0cos20+cos0sin20=sin^(1-2sin20)+2sin0(1-sin20)=3sin0-4sin30

R31

从而得至U：sin3^=—sin——sin30,

44

31

则sin'6-sin3114+sin3126=—(sin6-sinll4+sinl26)——(sin18-sin342+sin378)

44

由于sin6-sinll4+sin126=sin6-sin(120-6)+sin(120+6)=sin6-sin6=0,

sin18-sin342+sin378=sinl8-sin(360-18)+sin(360+18)=3sinl8,

3

所以sin，6-sin3114+sin3126=——sin18,

4

因为

cos30=cos(6+20)=cos0cos20-sin0sin20=cos0(2cos20-1)-2cos0(1-cos26)=4cos39-3cos0

答案第1页，共12页

因为sin36=cos54°

所以2sinl8°cos18°=4cos318°-3cosl8°,

BP4sin218°+2sinl8°-l=0,

解得：sin180=――-或sin18°=—~-（舍去）

44

所以sin、-sin3l14+sin3126=--x^---=--

4416

3.16687

【分析】先考虑包含连续的12,23,34,45,56,67,78排列对应的七个集合，计算它们通过取交

得到的集合的元素个数，然后利用容斥原理得到不满足条件的排列数，再用总排列数与该数

相减即得答案.

【详解】对有限集合T,记其元素个数为图.

在1,2,3,4,5,6,7,8的所有排列中，设H为所有包含连续的i（i+l）的排列构成的集合，这里

i=l,2,...,7.

则对1当q〈…气<7。（左<7）而言，集合&A-I4中的所有排列，都相当于在将

需要相邻的数进行捆绑以后，8-左个整体元素的全排列，从而M，c&c...c4j=（8j）!.

故由容斥原理即得

7

।…5smi产zRC&C...CAJ

k=T1<Z1<Z2<...<^^7

77

=E(-CS(8叫!旺(一广©.(8/)!

k,=l1</I<i2<„.<zjfe<7k=l

771

=^(-l)^'.(8-Z:)-—=7-5040-6-2520+5-840-4-210+3-42-2-7+l-l=23633.

k=ik!

这就表明出现了连续的12,23,34,45,56,67,78中之一的排列有23633个，所以不出现连续的

12,23,34,45,56,67,78的排列有(8!)-23633=40320-23633=16687个.

故所求排列的个数为16687.

4.4

【分析】设/(%)=1+2+3+.+k=笑辿,可得/(63)<2024</(64),从而得到a2024=64,

即可求解

答案第2页，共12页

【详解】设数列{风}满足：4=1,4=2,%=2,4=3,%=3,4=3,%=4,4=4,

%=4,&=4,L,

设/(左)=1+2+3++k=k(k；»,

所以"63)=6=64=2016,/(64)=用*=2080,

贝|/(63)<2024</(64),故嗫4=64

所以64模5余数为4

5.25

【分析】根据1。<%的%。4<20,可得%出生。4可能的取值，再利用排列组合求得四元组

(q,%,%,%)的个数.

【详解】因为qe{l,2,3}G=L2,3,4),且10<%®眄<20,

所以小的,%，%的取值有三种不同的组合：1,2,2,3或1,2,3,3或2,2,2,2,

即010203a&e{12,16,181,

当01a203a4=12时，四元组(q,%,%，%)有C：•A；=12个，

当qa2a3a4=16时，四元组(q,%,外,%)有1个

当203a4=18时，四元组(q,%,%,4)有C-A；=12个，

故满足题意的四元组(％%,%,%)的个数为25个.

6.2

【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得只能xe去兀］,分别比较x三和X=TT时，

2。。;sinx的大小关系，再根据函数〃力=2。。",口、,无］和g(x)=sinx,xe的凹凸性

即可得解.

【详解】由2c°s，=sinxe(O』，只能xe合无}

71

当X=,时，28s*=sin;c=l,

当x=7i时,2C0SI>sinx,

答案第3页，共12页

令/(x)=2"『xe则/''(x)=-sinxfJn2<0,xe'，兀J,

所以小)在会”上单调递减，

f"[x}=-cosx-2C0K-ln2+2的•(sinx•ln2)?>0,xe今,兀)，

所以函数〃尤)=2Fxe右兀)是凹函数，

令g(x)=sinx,xe、，兀)，则函数g(x)在1,兀)上单调递减，

g,(x)=cosx,g"(x)=-sinx<o,xe5，兀]，

所以函数g(x)=sinx,xe!■,"是凸函数，

所以函数y=〃x)与y=g(x)有两个交点，

即(0,2兀]上方程2COSX=sinx的解的个数为2个.

7.3

【分析】用反证法证明原方程的解都满足元(/-1)=0,即xe{-l,0,l},然后逐一代入验证

即可.

【详解】一方面，假设原方程有一个满足X，一1工0的根加，则■zl+Jzi=o.

m-1m

令/⑺则/(/_1)+/(加)=0.

对r<o,有e，-l<0,故^■>()；

t

对/>0,有寸-1>0,故J>0.

t

所以对"0,都有/(。>0,从而由知0=/(九4一1)+〃祇)>0+0=0,矛盾.

所以3产」-1_+]」心x_]=o无解，

x4-lX

故原方程的解，只有满足*■4-1)=0,即xe{T0,l},直接验证即知-1,0,1都是原方程的

解.

所以原方程一共有3个解.

8.4

【分析】由d=13[x]-lleN得x>l,由x-l<[x]<x得仁；；二^；；；>°，解得工的范

答案第4页，共12页

围，得区可能取值为L2,10,11,12,代入计算检验即可.

【详解】由炉一13[旬+11=0得犬=13[司一UeN,所以x>l,

「，ri,[X2-13(X-1)+11>0

因为x—l<|x]Wx,所以<]，

L」[X2-13X+11<0

得-24<f-13x4-11,

抽汨“13-岳、，13+岳13+561

解得xe(1,---)u(--—,---]，

此时[x\可能取值为1,2,10,11,12,

分别代入计算可得》=也，屈,而？,V132,^45，

经检验厉不符合题意，故方程的解只有4个.

【点睛】关键点点睛：根据x-l<[x]<x得不等式组]；；；；二二;；『>°，进而得区可能

取值为1,2/0,11,12,代入计算可得.

9.4

【分析】先通过不等式方法证明这8个长方体中至少有4个的体积不超过!，再说明当

O

a=0.25,6=0.45,c=0.45时，这8个长方体中恰有4个的体积不超过!，即可说明这些

O

小长方体中体积不大于之的长方体个数的最小值为4.

O

【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为。和1-匹6和1-匕，。和的两段，这

里a,6,ce(O,l),且根据据对称性，可不妨设

此时，8个长方体的体积分别是

c),a(l—Z?)c,6/(1—&)(l-c),(l—a)&c,(l—tz)&(l—c),(l—ti)(l-&)c,(l—6i)(l—/?)(1—c)

由可知abc<ab(1—c)<a(1—b)c<(1—a)bc,

<2(1—Z?)(l—c)<(1—«)Z?(1—c)<(1—6/)(1—Z?)c<(l—6/)(1—Z?)(l—c).

由于2〃(1一/?)0«〃(1一。)0+(1一〃)历=0(〃+6—2〃6)=](1一(1一2々)(1一2/?))<]故

答案第5页，共12页

abc<ab(l-c^<a(l-b^c<-

8

而

,故(1—〃)历和a(l-b)(l-c)中至少有一个数不超过:，

O

所以这8个长方体中至少有4个的体积不超过!

8

当。=0.25,b=0.45,。=0.45时，8个长方体的体积分别是

0.0625,0.061875,0.061875,0.075625,0.151875,0.185625,0.185625,0.226875,此时这8个长方

体中恰有4个的体积不超过"

O

综上，这些小长方体中体积不大于1的长方体个数的最小值为4.

8

10.随

32

【分析】根据离心率确定c=^a,根据椭圆定义及|/狎-怛闾=3求出

3a77

I尸居|=。+9,忸工|=〃一9,在耳中，由余弦定理求得/=?,再计算△尸片鸟面积即可.

228

【详解】由题意得6=£=迫，即。=且。，

a22

由椭圆定义知|尸浦+|尸闾=2a,F/2=2c=6a,又图1TM=3,所以

\PFl\=a+^3\PF2\=a--3>

在△尸片鸟中,由余弦定理得cosN月P瑞解得"=三

O

11.49999

答案第6页，共12页

【分析】利用〃+1=a/Vi-(%+1+1)0...0的必要条件为9k=1(mod5),

得到k最小为4,得到最后的结果.

【详解】设〃的末尾有上个9,即〃7M_i…以+19…9,以+产9,

所以〃+1=q/e…(以+i+1)0…0,

此时必要条件为9左三1(mod5),

所以女最小为4,当〃=9999时不符合题意，

所以〃最小可能为五位数,经检验n最小值为49999.

12.D.

【分析】利用题目给的“好数”的定义，设〃=/以_1，…4%，结合由%以_]…?|九，得到人的

最大可能值为4,从而求出最大的好数为3570.

【详解】设〃=以。1，…。2%，由以％T…⑷"

可得031a，其中02al>0,

所以女的最大可能值为4.

当％=4,由。汹⑷4,得力=。,有％<9,々汹电4，

解得。4V4,

经检验最大的好数为3570.

故选：D.

13.-1

【分析】要使cosAcos及osC最小，则二ABC为钝角三角形，不妨假设。为钝角，可得

cosAcosBcosC>—cosBcosA,利用余弦值的范围可得cosAcosBcosC>—cosBcosA>—1,即

可得到答案.

【详解】在[ABC中，要使cosAcos庆osC最小，则ABC为钝角三角形，不妨假设。为钝角，

JTJT

则A£(0q),BG(0,—),

所以一1vcosC<0,贝ijcosAcosBcosC>—cosBcosA,

0<cosA<1,0<cosB<1,所以OvcosAcos5Vl

贝！J-1<-cosAcosB<0

答案第7页，共12页

贝！JcosAcosBcosC>-cosBcosA>-1,

当ulBC为等腰三角形，且C无限接近于兀时，cosAcos及osC无限接近于-1,

即cosAcos庆osC的下确界为-1

14.[4,713+2]

【分析】利用三角形面积公式和余弦定理得到_2bccosA+3bcsinA,从而表达出

S+c)=2cosA+3sinA+2,求出色2-W而+2，结合基本不等式求出色z4，得

bebebe

到结论.

【详解】由三角形面积公式得16csinA=1a2。，

223

口12

BPbesinA=—a,

*22

由余弦定理得cosA=--------------，故廿+。2=2bccosA+3bcsinA,

2bc

(b+c\b2+c2+2bc2bccosA+3bcsinA+2Z?c八4。4c

1------L=----------------=----------------------------------=2cosA+3smA+2

bebebe

23

(而+

=^sinA+e)+2V2,其中sin。=而'8吁;B，

JTIT

当且仅当A+0=],即A-。时，等号成立,

又触十C)-=6»2+26%2秋+26。=4,当且仅当，=c时，等号成立,

bebebe

故°：c)w14,屈+2]

15.AD2>2DCxDB

【分析】由余弦定理求出三角形每个内角的余弦值，从而求出对应正弦，在△ABD和八位)。

ADBD工ADDC

分别利用正弦定理得到:----=---------和-----化简

sinBsin/BADsinCsinZCAD

2DCxDB1-cosZBAC

<,即可求解.

AD2sinBsinC

【详解】在ABC中，若°=2,b=及,C=2A/2,。在8C上

答案第8页，共12页

由余弦定理可得：cos/5AC=/+°2.=2+8-4=g,同理:cosB=述，cosC=-也，

2bc8484

在，ABC中，Be(0,7i),Ce(0,7i),

所以sin3=sinC=—

84

设Nfi4£)=a,ZCAD=/?,则a+尸=NBAC,

ADBD

在△AB。，由正弦定理可得:

sinBsinZBAD

ADDC

同理在△ADC,

sinCsinZCAD

rri.2DCxDB2sinsinBcos(6f->0)-cos(cr+B)1-cosABAC4.

JTT以==—=—<1

AD~sinBsinCsinBsinCsinBsinC7

所以AD?>2DCXDB

16.5

【分析】使用平面几何知识证明点。是ABC外接圆的圆心，然后利用圆的相交弦定理即得

结果.

【详解】

由于线段0C与线段AB有交点，故点A和点。一定在线段BC的同侧（否则线段0C和AB整

体各位于线段BC的两侧且端点不同，不可能有交点）.

而NBOC=2N54C,OB=OC,且A和。在BC的同侧，故由圆心角是圆周角的2倍，可知

点。一定是ABC外接圆的圆心.

记，ABC的外接圆为CO,并设E为C在。上的对径点，则根据相交弦定理有

BDAD=EDCD.

再由已知有

£DCD=(OE+OD)(OC-OD)=(C>C+OD)(OC-OD)=OC2-OD2=32-22=5,故

BDAD=5.

答案第9页，共12页

n

17.-

5

ACTT

【分析】利用与0cB全等，得到r=/OAC=/OC4==,求出C=g.

425

【详解】设题中的内心和外心为。，即图中E］两点，一方面。在NC的角平分线上,

又Q4==OC,所以..四与OCB为等腰三角形，

又ZACF=ZBCF,所以ZAOC=ZBOC,所以工。。=OCB（SAS）

所以AC=5C得到A=9

Arrr

另一方面4=ZOAC=ZOCA=所以A=2C,综上可得C=g.

425

18.10.5

【分析】设3O=x,AC=y,先利用角平分线定理得出X。的关系，再利用双余弦定理求出

苍丫,即可得解.

【详解】设3D=x,AC=y,

AfiAC

由角平分线定理可得的=/，则芍=6,

DDCD

化+5一⑦

由余弦定理得cos幺些=AB2+AD2—BD2

2ABAD2ADAC

9+9—y2+9—4

n即n--------=--------

将y=9代入化简得2d+5/_36尤+36=0,

X

即(%—2)(2x—3)(x+6)=0解得x=2或x=1.5(x=—6舍去),

经检验只能尤=1.5,y=4,

所以ABC的周长为10.5.

答案第10页，共12页

BD

人O-

1[Q9.A=2arcsin---------，BD=Cr

8

【分析】先分析得sinANsin民sinANsinC最大，再利用和差化积公式得到

2sinA+sinB+sinC<2sinA+2cos—,再利用换元法构造函数/(x)=2sin2%+2cosx,

TT7T]

xe,结合导数研究/(x)得最大值，从而得解.

62)

【详解】显然要使2sinA+sinB+sinC取最大值，则sinA2sin8,sinA2sinC最大,

所以3,C都为锐角，Ae

,.n.„.B+CB—C.B+CB-C.B+CB—C

由于sinB+smC=sin(--------1---------)+sin(------------------)=2sin-------cos--------,

222222

3+CB_c

所以2sinA+sinB+sinC=2sinA+2sin-------cos--------,

22

A

则2sinA+sinB+sinC<2sinA+2cos—,当3=C时，取等号；

2

兀兀)兀兀)

令4=2尤，XG—,构造函数/(%