2024-2025学年高一年级上册数学期末考复习：三角恒等变换（附答案解析）

题型1和角差角公式的应用.........................................6

题型2用和角差角公式化简求值.....................................7

题型3和角差角公式的逆用与变形...................................9

题型4二倍角公式................................................11

题型5辅助角公式................................................12

题型6三角恒等式的证明..........................................15

题型7判断三角形的形状..........................................17

题型8三角恒等变换的应用........................................18

由知识清单日

1.和角公式

2.差角公式

3.二倍角公式

4.辅助角公式

5.半角公式

6.角的代换

7.常值代换

如识归纳

1.和角公式

(1)Sg+.)：sin(a+4)=sinacos£+cosasin£.

(2)C(a+w)：cos(a+£)=cosacos£—sinasin£.

tan(z+tanyg

(3)Tg+0：tan(a+£)

1—tanottan§

2.差角公式

(1)Sg—.)：sin(«~P)=sinotcos^—cosasin^.

(2)C(a—£)：cos(a一夕)=cosacos^+sinotsin^.

tang-tanyg

(3)T(a-仇：tan(a—p)

1+tanatan0

3.二倍角公式

(1)S(2a)：sin2a=2sinacosa.

(2)C(2a)：cos2a=2cos2a—1=1—2sin2a=cos2a—2sin2a.

/c、rr,.c2iCLTLOL

(3)T(2a)：tan2a=1Ttm2仇・

4.辅助角公式

asinx+bcosx—yjd2+b2sin(x+w)(tancp=:,coscp=，sincp

y/a2+b2

5.半角公式

1+cosa

-2

/、、a/I-cosasina1—cosa

(3)tanT=±z\/7T------=

21+cosa1+cosasina

6.角的代换

(1)a=(a—夕)+夕.

0、a+B上a—p

(2)a—2十2.

(3)2Q=(Q+£)+(Q—P).

(4)2£=(Q+£)—(Q—B).

7.常值代换

(1)用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们

把这种代换称为常值代换.

JT

(2"1”的代换：661=tantasin2a+cos2a=V\

《0、技师勉缗

1.给值求值的解题策略.

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察

已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行

拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①a=(a—份+八②&=中+空;

③2a=(a+份+(a一份；④2夕=(a+为一(a一份.

2.给值求角的解题策略.

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.

(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三

角函数.

(3)结合三角函数值及角的范围求角.

3.给角求值的解题策略.

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基

本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局

部的变形.

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的

项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.

4.公式的常见变形.

(1)tana+tan=tan(«+^)(1—tanatan£).

tana+tan.

(2)1-tanatan

(3)tan«+tan夕+tanct-tan加tan(a+/)=tan(a+P).

tana+tan.

(4)tana.tan^=l-

-兀

(5)sin2x=cosf^2xj=cos2|x—1=1-2sin2

(6)

sm.a.aa

a2Sin--cos-sina

(7)~=a="Ta———

2cos—2cos^—21+cosa

.a.

asin2sin21-cosa

(8)tan==a=~~aa=；

2cos—sin--cos—sina

222

5.证明问题的步骤.

(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复

杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复

角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明

的目的.

6.三角恒等式证明的方法.

（1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.

（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.

（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们

之间的差异，简言之，即化异求同.

（4）比较法：设法证明“左边一右边=0"或“左边/右边=1”.

（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到

已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

拓展程伸

1.平面向量.

(1)b〃a(a?0)-%2y1=。.

(2)b-La=xi%2+yiy2=0.

2.正弦定理.

a_b_c=2R.

sinAsinBsinC

题型1和角差角公式的应用

【典例1】.(2024秋•荔湾区月考)已知sina+cos/?=*，cosa-sin/3=鼻,则sin

(a-0)=()

67675959

A—72B-7-2JC—72D-7-2

【答案】D

【分析】将已知两式平方相加，即可求出sinacos/?-cosas讥/?=-骂，由差角

公式即可得出结果.

【解答】解：由sina+cosP=々得,sin2a+2sinacosp+cos2s=彳，1°

由cosa-sinp=g得，cos2a—2cosasinp+sE2s=1,2°

l°+2°得：2+2{sinacosP—cosasinp）=薨，

整理,得sinacosP-cosasinp=sin（a-S）=一ff.

故选：D.

【典例2】（多选）（2024春•建华区校级月考）下列四个式子中正确的是（）

A.sin（^+1）=—cosl

B.sin（7i+2）=-sin2

tan75°-tanl5°/—

C.=

l+tan75°tanl5°

D.sin54°cos9°—cos54°sin90=:

【答案】BCD

【分析】利用诱导公式判断A、B,利用两角差的正切、正弦公式判断CD.

【解答】解：对于A：s讥(J+l)=cosl,故A错误;

对于5：sin（7i+2）=-sin2,故3正确;

tan75°-tanl5°

对于C：tan（75°—15°）=tan60°—故C正确;

l+tan75°tanl5°

对于。：s讥54°cos9°—cos540sin9°=s讥（54°—9°）=s讥45°=-g-,故D正确.

故选：BCD.

【典例3】(2024秋•衡阳月考)(1)已知sina=杯，cos/?=-品且a为第一象限

角，B为第二象限角，求sin(a+P)的值.

7T31T12Q

(2)已知5<7?<aV7，cos(a-0)=点，sin(a+0)=—可，求sin2a与cos2a

的值.

【答案】(1)sin(a+p)=||；

/C、,

(2)siYiZr-»oL——56，cosr2-»a=—33

【分析】(1)根据题意，利用同角三角函数的平方关系、两角和的正弦公式

加以计算，即得答案.

(2)根据2a=(a+p)+(a-p),利用同角三角函数的平方关系、两角和与

差的三角函数公式，代入数据算出答案.

【解答】解：(1)因为a为第一象限角，B为第二象限角,

所以cosa>sinP均为正数，可得cosa=V1—sin2a=1,sin，=Jl—cos2s=

所以+£)=sinacosp+cosasin/3=fx(―后)+gx畀=装.

JA.OJ.LOUJ

(2)由题意得OVa—SVa,71Va+0<芋,

结合cos(a—/3)—j-2,SITL^OC+/?)——宁可得s讥(a-/3)——cos^(^(x—/?)-

---------------------------A

cos(a+£)=_Jl—sin2(a+/?)=—^.

所以sin2a=sin[(a-p)+(a+p)]

sin(a-p)cos(a+P)+cos(a-p)sin(a+p)=月x(一$+x(一|)=-1|・

结合2a£可得cos2a=—>1—sin22a=—J1—(一]尸=—冷•

题型2用和角差角公式化简求值

【典例4】(2024秋•深圳月考)已知a、Reg子)，sin(a-p)=cos(a+p),

贝!Jsin2a=()

A.-JB.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】求出a+p的取值范围，利用同角三角函数的基本关系，推导

出cos(a-p)=sin(a+p),再利用两角和的正弦公式可求出sin2a的值.

【解答】解：:sin(a-p)=cos(a+0),两边平方得sin2(a-p)=cos2(a+0),

/.cos2(a-p)=1-sin2(a-p)=1-cos2(a+p)=sin2(a+p),

•a、/?G(TT,2")，•,—2~V—BV—加，得271Va+0<3兀，一)Va—0<2，

/.cos(a-p)>0,sin(a+p)>0,

/.cos(a-p)=sin(a+0),

/.sin2a=sm[(a+p)+(a-p)]

=sin(a+p)cos(a-p)+cos(a+0)sin(a-P)

=sin2(a+p)+cos2(a+p)

=1.

故选：B.

【典例5】(2024春•淮安月考)化简：

(1)sm50°(l+V3tanl0°)

,、2cosl0°-sin20°

(2)

cos20°

【答案】(1)1;

(2)V3.

【分析】(1)利用同角三角函数基本关系首先进行切化弦，然后结合辅助角

公式和二倍角公式即可求得三角函数式的值.

(2)利用凑特殊角的方法，再利用两角差的余弦公式即得.

【解答】解：(1)s,50°(1+魂tanl0°)=s讥50°(1+货;;媒°)

_s/50°(cosl0°+闻nl0°)_2sE50°s(n(10°+30°)

-coslO。-coslO。

_2cos40°sin40°_sin80°_

二s讥80。=s讥80。二1•

⑵2cosl00-s仇20。_2cos(30。-20。)-sin20。

cos20°cos20°

_2cos300cos200+2sin300sm20°—sin20°

-cos20°

2cos30°cos20°廿

=cos20°=迎

典例6】(2024春•南阳月考)已知OVaVm且cos(a+/)=5.

(1)求cosa的值；

(2)求tan2a的值.

【答案】(1)—:

10

(2)—.

24

【分析】⑴由已知求解sin(a+»再由cosa=cos[(a+Q-舟，展开两

角差的余弦求解；

(2)由(1)中求得的cosa,可得sina,进一步得到tana,再由二倍角的正

切公式求解.

4

12+

COS+---

【解答】解：(1)由cos(a+/)5

.7TTC57T

V0<a<7i,・.一<a+-V—・

444

而cos(a+?)=F>0,则一Va4--<—，得s讥(a+5)=F.

x134*4*243

/.cosa=cos[(a+')一舟=cos(a+今cos*+sm(a+^)sin^=

(2)由OVaV兀，得sina〉0.

由⑴知cosa=爷，则sina=Jl—(爷尸=嘉,tana=

2x：_7

故tan2a=2tana

12-24.

l—tan^ai-G)

题型3和角差角公式的逆用与变形

【典例7】(2024秋•饶平县月考)cos500cos70°+sin50°cos160°=()

A.一字B.—C.D.-

2222

【答案】C

【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式

进行计算，即可得解.

【解答】解：根据题意得cos5(Fcos70o+sin50Ocosl60。

cos500cos700+sin50°cos(90°+70°)

=cos50°cos70°-sin50°sin70°

=cos(50°+70°)=cosl20°

故选：C.

【典例8】（多选）（2024春•成都期末）下列计算正确的是（）

A.sin75°cos150+cos75°sin15°=1

.7171A/2

B.SITI耳COSg=~2~

oTC.QTC

C.cosg—sinQ=~2~

sin45°

D.-------------=tan22.5°

l+cos45°

【答案】ACD

【分析】根据两角和差公式，倍角公式即可逐项求值.

【解答】解：A项，sin750cosl50+cos750sinl50=sin90°=l,正确；

项，siJcos卷=Jsin—=立，一项错误;

ooz44

C项，cos25—sin25=cos_=—,C项正确；

oo42

ysin4502sin22.5°cos22.5°七十丁左

。项，-------=------5——；-=tan22.5°,。项正确.

故选：ACD.

【典例9](2024秋•衡阳月考)若方程12》2+心-12兀=0的两个根分别是a,

则cosacosP-V3sinacos)5-V3cosasinP-sina・sinB=.

【答案】V2.

【分析】根据已知条件，运用韦达定理，可得a+£=-金，再结合三角函数

的恒等变换，即可求解.

【解答】解：：a,p是方程12^+nx-1271=0的两个根，

由韦达定理得a+0=-各

cosacosP-V3stnacos)3-V3cosasinP-sma»sinP=cos{a+0)—V3sin(a+/?)

=2[*cos(a+0)一字s讥(a+£)]=2[sin^cos(a+0)—cos^sin(a+/?)]=2sin[

（a+S）］=2sm伞+金）

=2sin^=V2.

故答案为：V2.

题型4二倍角公式

2

【典例10］（2024春•市南区校级期末）已知a=:1—+L震CLTl匿lo,^=2cos33°-1,c=

Jl,s56。,则（）

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊

值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解.

【解答】解：因为a==tan（45°+18°）=tan63°>tan60°=W,

Z?=2COS233°-1=cos66°=sin24°,

c=J--羊”=Vsin228°=s讥28°,

又尸sinx在（0,，上单调递增,

所以s伍24。Vs讥28。Vs讥30。=2，即bVcV±,

所以a>c>b.

故选：A.

【典例11］（2024秋•安徽月考）已知cos2%=cos?。—»则tanx=.

【答案】7或自

【分析】应用二倍角公式及两角差余弦公式化简，最后由同角三角函数公式

计算即可.

【解答】解：cos2x=cos2（x—今=cos2x—sin2%=|Qcosx+sinx）2=（cosx+

sinx)•(cos%—sinx),

当cosx+sinx=0=>sinx=-cos%ntan%=-1,

当cos%+sinxH0=>cosx+sinx=2cosx—2sinx=cosx=3sinxntanx=可・

i

故答案为：-1或

【典例12](2024秋•高邮市月考)已知/(a)=a+号丽心―a—初

SlTL^OC—TljCOS^—^—CC)

(1)化简f(a)；

(2)若/(a)=2,求3cos2a-sin2a的值.

【答案】(1)-tana；

(2)-1.

【分析】(1)根据诱导公式化简即可；

(2)根据二倍角公式和同角三角函数的关系求解即可.

【解答】解：(1)根据诱导公式得：/(a)=(7I笺'll鬻vvvJ归IO:t-f震vvVJ。=-tana,

即/(a)=-tana.

(2)由(1)得tana=-2,

二匚「3(cos2a—sinza>)—2sina'cosa

所以3cos2a—sin2a=-.....「——----------------

sin£a+cos£a

_3-3tan2,a-2tana_3—12+4_

tan^a+l4+1'

IP3cos2a-sin2a=-1.

题型5辅助角公式

【典例13］（2024秋•金东区校级月考）/（%）=cos@+的最小正周期是（）

九兀一一

"

A.B.-C.兀D.2兀

42

【答案】C

【分析】利用三角恒等变换得到/（乃=彖讥3+刍-冬利用7=需求出最

4-4,41\00\

小正周期.

【解答】解：由余弦和角公式、倍角公式、降幕公式可得/（久）=（cosxcos,-

..n、.41.72./2.72l—cos2x

sinxsin-^）sinx=-2-sinxcosx——^-sin2x=~^sinn2x——工---工---

=?(si7i2x+cos2x)一?=白讥(2%+勺一?，

所以/(x)的最小正周期为7=竽=小

故选：C.

【典例14](多选)(2024秋•叶集区校级月考)设函数/(%)=cos2x-gs讥2久，

则下列说法正确的是()

A.f(%)的一个周期为-2兀

B.y=f(x)的图象关于久=与对称

C.f(x)在(0,刍单调递减

D.f(%)在区间(0,202471)有4048个零点

【答案】ABD

【分析】借助辅助角公式可得f(久)=2cos(2久+刍，利用余弦型函数的周期性可

得A；利用整体代入法结合余弦型函数的对称性可得&利用整体代入法结合

余弦型函数的单调性可得C;利用整体代入法结合余弦型函数计算可得D

【解答】解：函数/'(久)=2&cos2x—空s讥2久)=2cos(2久+3)，

对A：7=冬=兀，即/"(X)的周期为fai,kRZ,故-2兀是/(x)的一个周期，

故A正确；

对3：当x=q时，2X+J=TT,由尸cosx的图象关于x=7i对称，故函数/(乃=

cos2x-Wsin2x的图象关于％=与对称，故3正确；

对C：当尤6(0,1时,2久等)，由尸cosx在弓，等上不单调，故/

(x)在(。，刍上不单调，故C错误；

对D：令2x+苧=卜兀+与(keZ),解得x=警+居(keZ),贝！J有—+一e

(0,2024兀)，左ez,可得ke(—焉，4048—3，左©Z,即左可取4048个数，即/

(%)在区间(0,2024兀)有4048个零点，故。正确.

故选：ABD.

【典例151(2024春•沙坪坝区校级期末)已知/(%)=2sinx-cosx+2A/3COS2X—V3.

(1)求/(x)的最小正周期和单调区间；

(2)右/(a)=患，aeg,今)，求cos(2a+1)的值.

【答案】⑴兀，/(x)的单调增区间是伙兀-答桁+匀(MZ),单调减区间

是伙计各加+居］(左©Z)；

⑵2

26

【分析】(1)根据三角恒等变换化简/(X)为一般式，结合正弦型函数单调

区间以及正弦型函数的最小正周期的公式，即可求得结果；

(2)根据⑴及题意得sin(2a+1)=/,结合2a+1的范围，由同角三角

函数的基本关系,可得cos(2a+^),cos(2a+=cos［(2a+1)利用两

角差的余弦公式和整体法，即可求得结果.

【解答】解：(1)/(%)=2sinx-cosx+2y/3cos2x—V3

=sin2x+V3(l+cos2x)-V3

=sin2x+V3cos2x

=2sin(21+g),

函数/(X)的最小正周期为7=竽=71,

令2x+等［2E—}2E+刍(左GZ),

解得X©的i-碧，E+匀(左©Z),

所以函数/(x)的单调增区间是伙兀-*E+匀(左©Z),

令2%+5弓［2也+当2E+苧］(左©Z),

解得［也+若，E+碧］(kGZ),

所以函数/(x)的单调减区间是收兀+各版+需］(左©Z).

(2)由(1)得/(a)=2sin(2a+J)=),则sin(2a+J)=与

因为ac(3分所以2a+5G(―,-),cos(2a+5)=—挎，

所以cos(2a+看)=cos[(2a+5)一看]

cos(2a+t)cos—+sin(2a+」)sin—

3636

12V3,5

=-T3XT+13X

5-12V3

-26-

题型6三角恒等式的证明

【典例16】（多选）（2024春•达州期末）下列计算不正确的是（）

1

A.cos220sin520—sml58°cos52°=一2

B.sinl5°sin75o=

C.COS2750—sin275°=-号

tan88°-tan43°

D.=1

l+tan88°tan43°

【答案】BCD

【分析】分别应用两角和差公式计算判断A,D,应用二倍角公式结合诱导公

式计算判断3,C.

【解答】解对：于A：cos22°sin520—sml58°cos52°=cos220sin520—sin220cos52°=

sm(52°-22°)=sm30°=A选项错误;

对于B：sinl50sin750=sml5°cosl5°=5x2sml5°cosl5°=Js讥30°=B选项正

确;

对于C：COS275°—sin275°=cosl50°=—三，C选项正确;

tan88°-tan43°

对于D：tan(88°-43°)=tan45°=1,D选项正确.

l+tan88°tan43°

故选：BCD.

【典例17】（多选）（2023秋•益阳期末）下列等式成立的是（）

A.sin(a+p)-sin(a-P)=2cosasinP

B.8sinacosacos2acos4a=sin8a

cosaa

C.------=tan-

1+sina2

l-cos2a

D.----------=tan2a

l+cos2a

【答案】ABD

【分析】利用和与差的正弦、二倍角公式逐项化简得答案.

【解答】解：对于A,sin(a+P)-sin(a-p)=sinacosp+cosasinp-(sinacosp

-cosasinp)=2cosasin0,故A正确；

对于B,8sinacosacos2acos4a=4sin2acos2acos4a=2sin4acos4a=sin8a,故B

正确;

对于C,取仇=今则与生=0,tan巴=1,故C错误;

z1+sina2

l-cos2a2sin2a

对于。,=tan2a,故D正确.

l+cos2a2cos2a

故选：ABD.

【典例181（2024春•建华区校级月考）已知ae（0,兀）邛£（0,兀）,s讥（a-S）=1

tana

=—5.

tan/3

(1)求证：sina*cosp=-5cosaesinP；

(2)求sina*cosp的值；

(3)求a+0的值.

【答案】（1）证明见解析;

（2）-；

8

（3）—.

6

【分析】⑴化切为弦，得到黑篝=—5,证明出结论；

（2）由正弦差角公式得到s讥a•cos'-cosa•si印=',结合（1）中的sina*cosP

-5cosa*sinP求出答案;

（3）先得到a+0e或，苧），利用正弦和角公式得到s出（a+6）=会求出答案.

【解答】解：（1）证明：因为胃=-5,所以四丝强=-5,

tanpcosasinp

所以sina*cosp=-5cosa・sin。；

(2)因为sin(a—S)=,所以stria,cosS—cosa•sinf^=

3/1

由（1）知sina・cos0=-5cosa・sin0,故—6cosa•sinR=不解得cosa•sin，=一巨,

故s讥a•cosp=

（3）因为a£（0,兀），（0,兀），cosa.sinG=一看,sina-cos/3=

故sina>0,sin0〉O,所以cosaVO,cos。〉。，

所以aG,7T）,/?6（0/*）,a+Seg,,

所以s讥（a+夕）=sina•cosfi+cosa•sinp=耳一口=,，

故a+B=泮

题型7判断三角形的形状

【典例19](2024春•吉林期中)在AABC中，已知|AB+4C|=|4B-AC|,且sinA

=2sinBcosC,则AABC是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

—>—>—>—>—>—>

【分析】由+4C|=-/Q两边平方得AB1/C,由sinA=2sin5cosc化简

得B=G得△A5C为等腰直角三角形.

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

【解答】解：由|4B+4cl=[AB-AC\^(AB+AC)2=Q4B—"产，所以2B•AC=0,

―—>

所以AB14C,所以"BC为直角三角形；

由sinA=2sinBcosC得sin(JI-B-C)=sin(B+C)=2sinBcosC,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

所以sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0,

因为-兀<3-。<兀，所以3-C=0,所以AABC为等腰三角形；

综上，AABC为等腰直角三角形.

故选：C.

【典例20】(2024春•浑南区校级期中)在AABC中，2csin2^c-b(a,。，c分

别为角A,B,C的对边），则AABC的形状可能是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根据条件先求出cosb再结合正弦定理和三角形的内角和公式，可

求出角3,从而判断三角形的形状.

【解答】解：由已知si"打要，得上誓=?，^cosAb

乙乙。22cc

由正弦定理得cosa=jg§,

所以cosAsinC=siiiB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,得cosCsinA=0,

在AABC中sinA和，所以cosC=0,

又0<C<兀，所以即三角形为直角三角形.

故选：B.

【典例21］（2024秋•西畴县校级月考）及43。的一个内角为A.则sin2A<0是

△ABC为钝角三角形的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.既不充分又不必要D.充分必要

【答案】B

【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解.

【解答】解：sin2A<0,则2sinAcosA<0,

Ae（0,7i）,则sinA>0,故cosA<0,即A为钝角,

所以△ABC为钝角三角形，充分性成立，

不妨设A=?B=l，C=等，满足为钝角三角形，

但sin2A>0,故sin2A<0是ZkABC为钝角三角形必要不充分条件.

故选：B.

题型8三角恒等变换的应用

【典例19］（2023秋•武威月考）古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和

正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用2sinl8。表示，

即空=2s讥18。，设0为正五边形的一个内角，则岑；=

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