2025年沪科版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、下列不能构成集合的是（）

A.1-20以内的所有质数。

B.方程x2+x-2=0的所有实根。

C.新华高中的全体个子较高的同学。

D.所有的正方形。

2、已知下列函数①②③④其中是偶函数的个数是（）A.1B.2C.3D.43、设函数则实数的取值范围是()A.B.C.D.（0，1）4、【题文】直线在轴上的截距是（）A.2B.3C.-2D.-35、设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：

①{y|y=ex}；

②{x|lnx＞0}；

③

④．

其中以0为聚点的集合有（）A.①②B.①③C.②③D.②④6、下列函数，既是偶函数，又在区间（0，+∞）为单调递增函数的是（）A.y=xB.y=﹣2xC.y=cosxD.y=7、已知全集U={-1，0，1，2，3，4}，且A∪B={1，2，3，4}，A={2，3}，则B∩（∁∪A）=（）A.{1，4}B.{1}C.{4}D.∅8、如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上；当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q-BMN正视图的面积等于（）

A.B.a2C.D.a2评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、函数的增区间是____________．10、函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为____．11、关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．12、【题文】已知球O的半径为2，圆是一小圆，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为则=____13、已知△ABC中，A=60°，最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根，那么BC边长是______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、作图题(共1题，共10分)20、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、解答题(共3题，共18分)21、将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为（1）求直线与圆相切的概率；（2）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．22、如图，在△ABC中，∠C=90°，一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止，若移动的距离为x，正方形和△ABC的公共部分的面积为f（x），试求出f（x）的解析式，并求出最大值．

23、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。评卷人得分六、计算题(共4题，共16分)24、计算：．25、已知分式，当x=1时，分式的值记为f（1），当x=2时，分式的值记为f（2），依此计算：=____．26、（2005•深圳校级自主招生）如图所示；MN表示深圳地铁二期的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区．取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75度．已知MB=400m．通过计算判断，如果不改变方向，地铁路线是否会穿过居民区，并说明理由．

（1.732）

解：地铁路线____（填“会”或“不会”）穿过居民区．27、已知B=（﹣∞，a），若A∩B=A，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

根据集合中元素的确定性；可得新华高中的全体个子较高的同学，不能构成集合。

故选C．

【解析】【答案】根据集合中元素的确定性；可得结论．

2、B【分析】本试题主要是考查了函数的奇偶性的概念。以-x代x解析式不变，则函数为偶函数，那么可知①满足②不满足③满足④不满足，故选B.对于奇偶性的判定，关键是先看定义域是否关于原点对称，然后求解f(x)与f(-x)的关系，得到结论，勿忽略定义域。【解析】【答案】B3、B【分析】因为根据已知解析式可知需要对a<0,与a0，分情况讨论，得到a<0,当a0，（舍去），综上可知满足题意的解集为故选B【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】①{y|y=ex}；

∵y=ex∈（0；+∞）；

∴{y|y=ex}=（0；+∞）；

∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a；

∴集合{y|y=ex}是0为聚点的集合；

②{x|lnx＞0}；

∵lnx＞0；

∴x＞1；

∴{x|lnx＞0}=（1；+∞）；

∵对＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x﹣0|＜

∴集合{x|lnx＞0}不是0为聚点的集合；

③

∵={1，}

∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a；

∴集合是0为聚点的集合；

④

∵={}；

∴∵对＞0，不存在x∈使得|x﹣0|＜

∴集合不是0为聚点的集合．

综上；应选①③．

故选B．

【分析】本题在理解新定义“聚点”的基础上，找出适合条件的函数，得到本题结论．6、D【分析】【解答】解：选项A；y=x为奇函数，故A错误；

选项B，y=x2﹣2x；非即非偶函数，故B错误；

选项C；y=cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故C错误；

选项D，y=2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y=2x；显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确．

故选：D．

【分析】运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，结合函数的单调性，即可判断D正确，A，B，C均错7、A【分析】解：∵全集U={-1；0，1，2，3，4}，且A∪B={1，2，3，4}，A={2，3}；

∴集合B中必有元素1和4；且B中一定不含有元素-1和0；

CUA={-1；0，1，4}；

∴B∩（∁∪A）={1；4}．

故选：A．

由已知得集合B中必有元素1和4，且B中一定不含有元素-1和0，CUA={-1，0，1，4}，由此能求出B∩（∁∪A）．

本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集的定义的合理运用．【解析】【答案】A8、B【分析】解：由三棱锥Q-BMN的俯视图可得Q在D1；N在C；

所以三棱锥Q-BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点）；

其面积为=．

故选：B．

由三棱锥Q-BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，所以三棱锥Q-BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点）；即可求出三棱锥Q-BMN正视图的面积．

本题考查三棱锥Q-BMN正视图的面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥Q-BMN正视图为△D1EC是关键．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】试题分析：由复合函数的单调性“同增异减”知，要求的增区间，即求的减区间且∴考点：复合函数的单调区间求法【解析】【答案】10、略

【分析】

∵y=2x和y=log2（x+1）都是[0；1]上的增函数；

∴y=2x+log2（x+1）是[0；1]上的增函数；

∴最大值和最小值之和为：

2+log2（0+1）+21+log2（1+1）=4．

故答案为4．

【解析】【答案】先分别根据指数函数；对数函数单调性得出和式的两个函数都是单调增函数得到和函数也是增函数；故当自变量取最大最小时对应的函数值也是最大最小，从而求出结果．

11、略

【分析】【解析】

去掉绝对值符号，利用分段函数的思想得到解析式为分段研究最小值，并结合图像求解得到a的范围。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：△ABC中，由于A=60°，故可设最大边和最小边分别是b和c．

由于最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根，故有解得．

再由余弦定理可得BC2=b2+c2-2bc•cosA=64+1-16×=57；

∴BC=

故答案为．

有由题意可得解得．再由余弦定理可得BC2=b2+c2-2bc•cosA；运算求得结果．

本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，余弦定理的应用，属于中档题．【解析】三、证明题(共6题，共12分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、作图题(共1题，共10分)20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、解答题(共3题，共18分)21、略

【分析】【解析】试题分析：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．因为直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切，所以有即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝.所以，满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况．所以，直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是6分（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．因为，三角形的一边长为5所以，当a=1时，b=5，（1，5，5）1种当a=2时，b=5，（2，5，5）1种当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）2种当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）2种当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6种当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）2种故满足条件的不同情况共有14种.所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率是考点：本题主要考查古典概型概率的计算。【解析】【答案】（1）直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是（2）22、略

【分析】

当x∈[0；2]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形。

∴f（x）=

当x∈（2；4]时，正方形和△ABC的公共部分是两个直角梯形。

f（x）=4-

当x∈（4；6]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形。

f（x）=

综上所述：

分析可得当x=3时；f（x）的最大值为3．

【解析】【答案】将一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止；若移动的距离为x，此时正方形和△ABC的公共部分分为三种情况，然后分别求出公共部分的面积为f（x），最后根据分段函数求最值的方法求出最值即可．

23、略