2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3第2课时充要条件课时分层作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(九)充要条件(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝3时，A＝{1，3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B，推不出a＝3.故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]3．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0 B．ab＞0C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0D[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|yA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件C[|x＋y|＝|x|＋|y|⇔|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2⇔xy＝|x|·|y|⇔xy≥0.]二、填空题6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”，这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比方事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件(将正确的序号填在横线上).①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．①[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.]7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)（m＋3）))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．乙[对于图甲，开关S1闭合灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件．对于图乙，只有一个开关，灯假如要亮，开关S1必需闭合，∴A是B的充要条件．对于图丙，∵灯亮必需S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件．对于图丁，灯始终亮，跟开关没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件．]三、解答题9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]①当a＝0时，解得x＝－1，满意条件；②当a≠0时，明显方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必需满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0＜a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负实根．因此关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[证明]充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0∴方程肯定有两个不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.11．王昌龄是盛唐闻名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．]12．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max{eq\f(a,b)，eq\f(b,c)，eq\f(c,a)}·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1.∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，∴maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(c,a).又∵l＝1，∴mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(a,c)，即eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)或eq\f(b,c)＝eq\f(a,c)，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]13．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________．3或4[x＝eq\f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq\r(4－m)，因为x是整数，即2±eq\r(4－m)为整数，所以eq\r(4－m)为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1，2，3，4，验证可得m＝3，4符合题意，反之m＝3，4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]14．设p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).]15．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思是，用一组平行平面去截两个几何体，若在随意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必定相等．依据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等