2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）2．3二次函数与一元二次方程、不等式 （七大题型）

2．3二次函数与一元二次方程、不等式目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：解不含参数的一元二次不等式 2题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 2题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 4题型四：一次分式不等式的解法 6题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 7题型六：不等式的恒成立与有解问题 9题型七：一元二次方程根的分布问题 10【重难点集训】 12【高考真题】 21【题型归纳】题型一：解不含参数的一元二次不等式1．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．【答案】【解析】由，即，解得，所以不等式的解集是.故答案为：2．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式等价于，由于恒成立，因此原不等式的解集为．故答案为：3．（2024·高二·湖南永州·阶段练习）解不等式：【解析】由可得或，由可得，故不等式组的解为或，4．（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式：(1)(2)【解析】（1）依题意，，解得或.（2）依题意，解得或，所以不等式的解集为或.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇5．（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，由韦达定理，，故，，即，故B正确；对于C，由上分析可得，故C正确；对于D，由上分析可得，故D正确.故选：BCD.6．（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则=，=【答案】【解析】依题意，不等式的解集为，所以，解得.故答案为：；7．（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为.【答案】【解析】关于的不等式的解集为，，是一元二次方程的实数根，，且，.，，又，解得.故答案为：.8．（2024·高一·上海·课后作业）若不等式有唯一解，则的值是．【答案】2或【解析】由于为开口向上的二次函数，不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标，故不等式有唯一解，则有唯一解．即，解得或．故答案为：2或题型三：含有参数的一元二次不等式的解法9．（2024·高三·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式.【解析】不等式化为，①当时，原不等式化为，解得．②当时，原不等式化为，解得或．③当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．10．（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.【解析】当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得即，由得不等式的解为，当时，化简不等式可得即，由得不等式的解为或，综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.11．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式(1)(2)【解析】（1）因为，即，注意到，所以不等式的解集为.（2）因为，即，令，解得或，若，即，所以不等式的解集为；若，即，所以不等式的解集为；若，即，所以不等式的解集为；综上所述：若，不等式的解集为；若，不等式的解集为；若，不等式的解集为.12．（2024·高一·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）【解析】由已知，可得，（1）当时，方程有两实根，不等式的解集为．（2）当时，方程的根的判别式．①当时，，所求不等式的解集为R；②当时，，所求不等式的解集为；③当时，，所求不等式的解集为或．综上所述：当时，解集为；当时，解集为或．当时，解集为；时，解集为R.题型四：一次分式不等式的解法13．（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为．【答案】或【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解为或.故答案为：或14．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是.【答案】或【解析】等价于，解得或，故解集为或.故答案为：或15．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是【答案】或．【解析】原不等式等价于解得或，故不等式的解集是或．故答案为：或16．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集为【答案】【解析】原不等式可以化为，即，解得，故原不等式的解集为.故答案为：题型五：实际问题中的一元二次不等式问题17．（2024·高一·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元【答案】C【解析】依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.18．（2024·高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，过作于，交于，易知，即，则，．所以矩形花园的面积，解得．故选:C．19．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设且，整理得，可得.故选：B20．（2024·高一·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，售出商品数量为件，所以该商品一天的营业额为，又售价不能低于成本价，所以，解得，所以.（2）由（1）商品一天的营业额为，令，化简得，解得，又，所以x的取值范围为．题型六：不等式的恒成立与有解问题21．（2024·高一·山西大同·阶段练习）（1）解不等式：；（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围.【解析】（1）即为即，解得，故原不等式的解集为.（2）因为不等式的解集为R，故的解集为R，故，所以.22．（2024·高一·浙江金华·阶段练习）若不等式对于满足的一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以由得，又，所以，即时，取得最大值，所以．故答案为：．23．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】当时，，因此，当时，不等式恒成立，即恒成立，而当时，，当且仅当，即时取等号，于是得，所以实数m的取值范围为.故答案为：24．（2024·高三·上海宝山·开学考试）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意可知，命题“存在”为真命题.当时，由可得，合乎题意；当时，存在，使得成立，当时，，所以存在成立，综上所述，当的取值范围为全体实数.故答案为：题型七：一元二次方程根的分布问题25．（2024·高一·辽宁·阶段练习）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【解析】利用判别式直接求出结论，注意，从而求出答案.由题可知：所以，又因为所以且.故选：B.26．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由韦达定理可得，然后结合可解出，然后进行检验即可.因为是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，所以，所以解得或当时，方程无解，故舍去当时满足题意故选：A27．（2024·高一·安徽合肥·期中）一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根，，解得，故选：C28．（2024·高一·全国·课后作业）若方程只有正根，则m的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】方程只有正根，则当，即时，当时，方程为时，，符合题意；当时，方程为时，不符合题意.故成立；当，解得或，则，解得.综上得.故选B.29．（2024·高一·上海奉贤·阶段练习）若、是方程的两个实数根，且，则实数m的值为．【答案】1【解析】由一元二次方程有两个实根，结合韦达定理、判别式Δ≥0即可求m的值.∵方程有两个实数根，即，∴，由题意知：，，又，∴，解得或（舍去），即有.故答案为：130．（2024·高一·全国·课后作业）若方程有两个负根，则实数的取值范围为.【答案】【解析】设方程的两个根分别为，，利用韦达定理计算得到答案.设方程的两个根分别为，，由题意及根与系数的关系，得解得或，因此实数的取值范围为.故答案为：31．（2024·高二·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】一元二次方程有两个不相等的正实数根，，.故答案为【重难点集训】1．（2024·高一·辽宁·阶段练习）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，由，得，当且仅当，即时等号成立，则，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值.故选：D2．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为且，所以，，所以，所以，则令，当时，单调递增，所以当时，取得最小值为，即的最小值为，当且仅当、时取最小值.故选：D.3．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，集合，所以.故选：A.4．（2024·高三·天津南开·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由不等式，可得，所以，解得，又由，可得，解得，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．（2024·高一·河南·期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，对任意的恒成立；当时，要使不等式对任意的恒成立，则应有，解得.综上所述，的取值范围为.显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.故选：A.6．（2024·高一·江苏南京·期末）已知实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，因为，所以，即，所以，所以当且仅当时，取最大值为.故选：A.7．（2024·高一·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设是的两个根，则，所以，即，故不等式解集为.故选：B8．（2024·高一·湖北恩施·阶段练习）已知m，且，对于任意均有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时，由二次函数图象可知，只有时满足，而不满足条件；当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时等于0的方程两根分别为和，①当时，此时，当时，不恒成立；②当时，此时，若满足恒成立，只需满足；③当时，此时，满足恒成立．综上可知，满足在恒成立时，只有．故选：C.9．（多选题）（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A．若，则且B．若，则关于的不等式的解集也为C．若，则关于的不等式的解集为或D．若为常数，且，则的最小值为【答案】ACD【解析】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，故A正确；B选项，令（），则、、，∴可化为，当时，可化为，其解集不等于，故B错误；C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根，，且，，，关于的不等式可化为，可化为，，，解得或，即不等式的解集为或，故C正确；D选项，为常数，且，，，，令，则，，当且仅当，则，且为正数时，等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.10．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（

）．A．4 B．40 C．8 D．28【答案】CD【解析】第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为，依题意有，即，解得，又，即，所以.故选：CD.11．（多选题）（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．关于x的不等式的解集可以是B．关于x的不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】对A，若不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；对C，取，，则由，得或3，故C正确；对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，且，关于x的方程有一个正根和一个负根.因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【答案】ACD【解析】当时，；当时，或，故A正确；当时，，若，则解集为空集；若，则不等式的解为：，故D正确；若，则不等式的解为：，故C正确.故选：ACD13．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为．【答案】或【解析】由是关于的方程的两个实数根，则，，因为，故，即，所以，化简得，解得或故答案为：或.14．（2024·高一·浙江宁波·专题练习）对实数，.定义运算“”为:.已知关于的方程.若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，即，若该方程有两个相等的实数根，则，解得；若该方程有两个不等负根，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：；15．（2024·高一·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有-2，则由的值组成的集合为．【答案】【解析】由，得或，由，得，当时，，无解，不合题意；当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意；当时，，因为原不等式组的解集中只有一个整数-2如图，结合数轴可知，，，所以.故答案为：.16．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，.若“命题，”是真命题，求的取值范围【解析】由题意可知，即，若“命题，”是真命题，则，所以，故的取值范围为：.17．（2024·高一·上海·课堂例题）设，解下列关于x的不等式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）当时，由解得：或；当时，由得，所以；当时，由解得：或.综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为或.（2）当时，由解得：或；当时，由得，所以；当时，由解得：或.综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.（3）由得：，解得或，所以原不等式的解集为或.18．（2024·高一·上海·课堂例题）利用函数与不等式的关系，在时，求解实系数一元二次不等式．【解析】令，因为，所以图象开口向下，又，当时，无解，图象恒在轴下方，此时的解集为，当时，恰有一解，图象与轴有一个交点，此时的解集为，当，有两解，，且，此时的解集为或，所以，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.19．（2024·高一·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【解析】（1）由，当时，可得解集为.