2025年外研版2024高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、点的直角坐标是则点的极坐标为（）A.B.C.D.2、已知向量且则m等于()A.2B.C.D.3、【题文】若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则（）A.B.C.4D.-44、在中，点在上且满足则等于()A.B.C.D.5、抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A.（0，）B.（0）C.（0，）D.（0）6、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4：9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（）A.4:9B.2:1C.2:3D.2:评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、已知实数x，y满足则4x+2y的取值范围是____．8、若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2++a9（x+1）9，且a0﹣a1+a2﹣a3++a8﹣a9=39，则实数m的值为．9、（坐标系与参数方程选做题）

若以直角坐标系的x轴的非负半轴为极轴，曲线l1的极坐标系方程为（ρ＞0，0≤θ≤2π），直线l2的参数方程为（t为参数），则l1与l2的交点A的直角坐标是____．10、函数f（x）=lnx-x2在[2]上的极大值是____．11、先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是_____12、．在的展开式中，各项系数的和为．13、【题文】已知中，那么角A等于____。14、已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记若直线l的斜率k≥则λ的取值范围为____．15、在实数范围内，不等式||x鈭�2|鈭�1|鈮�1

的解集为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共7分)22、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有①②由①+②得③令有代入③得(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:(2)若的三个内角满足直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)23、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．24、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).25、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．26、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【解析】试题分析：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是(-1，)后化成极坐标即可.【解析】

由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=-结合点在第二象限得：θ=则点M的极坐标为选C.考点：坐标和直角坐标的互化【解析】【答案】C2、A【分析】【解析】试题分析：因为，向量且所以，·=-2+m=0,m=2,故选A。考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量垂直的条件。【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】由可知，点为边的中点，所以由及可得所以选D.

5、C【分析】【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y；

故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）；

故选：C

【分析】将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．6、B【分析】解：由截面与底面为相似多边形；且截面面积与底面面积之比为4：9；

∴小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为2：3；

∴原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为2：1．

故选：B

由截面与底面为相似多边形；可得小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为2：3，所以原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为2：1．

本题考查的知识点是圆锥的几何特征，其中根据相似的性质，及截面面积与底面面积之比得到相似比是解答的关键．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

方法一：∵1≤x+y≤3①

-1≤x-y≤1；②

由①+②；得到0≤2x≤4④

④×2得到0≤4x≤8⑤

由①-②；得到2≤2y≤2⑥

最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10

故答案为：[2；10]

方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x-y）

则

解得

即4x+2y=3（x+y）+（x-y）

∵1≤x+y≤3

∴3≤3（x+y）≤9①

又∵-1≤x-y≤1；②

∴2≤3（x+y）+（x-y）≤10

故答案为：[2；10]

【解析】【答案】方法一：根据实数x，y满足可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8，即2≤2y≤2，进而得到2≤4x+2y≤10；

方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x-y）；构造方程组可求出m，n值，进而根据不等式的基本性质可得2≤3（x+y）+（x-y）≤10．

8、略

【分析】试题分析：令即得：又因为所以则考点：二项式定理、赋值法.【解析】【答案】5.9、略

【分析】

把曲线l1的极坐标系方程为（ρ＞0，0≤θ≤2π），化简可得即y=x+1．

由于直线l2的参数方程为（t为参数）；消去参数化为普通方程为x+y=3；

再由可得故l1与l2的交点A的直角坐标是（1；2）；

故答案为（1；2）．

【解析】【答案】把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，联立方程组求得l1与l2的交点A的直角坐标．

10、略

【分析】

f′（x）=-x，x∈[2]；

令f′（x）=0得x=1

令f′（x）＞0得≤x＜1；令f′（x）＜0得1＜x≤2

∴f（x）在[1]上是增函数，在[1，2]上是减函数；

∴f（x）在[2]上的极大值是f（1）=ln1-=-

故答案为-．

【解析】【答案】求导，令f′（x）=0得x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）在[2]上的极大值．

11、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为那么利用对立事件概率和为1，可知至少一次正面朝上的概率是1-故答案为考点：概率【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

因为中令x=1，可以得到各项系数的和为-1【解析】【答案】____13、略

【分析】【解析】根据正弦定理得：

【解析】【答案】14、【分析】【解答】解：∵椭圆C：的短轴长为2，离心率为∴解得a=b=c=1；

∴椭圆C：

∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A；B；

∴设直线l的方程为y=k（x﹣1）；

联立得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞y2；

则x1x2=

∴=

=

=

=

=

=

∵k

∴当k=时，λmax==

当k→+∞时，λmin→

∴λ的取值范围是．

故答案为：．

【分析】根据已知条件求出椭圆C的方程，再由直线l过椭圆C的右焦点，设出直线l的方程，联系椭圆C和直线l的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围．15、略

【分析】解：不等式||x鈭�2|鈭�1|鈮�1

的解集；就是鈭�1鈮�|x鈭�2|鈭�1鈮�1

的解集，也就是0鈮�|x鈭�2|鈮�2

的解集；

0鈮�|x鈭�2|鈮�2

的几何意义是数轴上的点到2

的距离小于等于2

的值；所以不等式的解为：0鈮�x鈮�4

．

所以不等式的解集为[0,4]

．

故答案为：[0,4]

．

利用绝对值不等式的等价形式；利用绝对值不等式几何意义求解即可．

本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．【解析】[0,4]

三、作图题(共6题，共12分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共7分)22、略

【分析】(1)观察式子结构特征，两式相减整理后可得再把即可证明出结论.(2)利用（1）的结论可得所以从而证出三角形ABC为直角三角形(Ⅰ)证明:因为①②2分①-②得③4分令有代入③得8分(Ⅱ)由(Ⅰ)中的结论有10分因为A,B,C为的内角，所以所以又因为所以所以从而12分又所以故14分所以为直角三角形.【解析】【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)为直角三角形.五、计算题(共4题，共20分)23、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．24、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.25、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=226、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、综合题(共2题，共18分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴A