【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第40讲 专题2-5 椭圆离心率取值范围十八大题型

专题2-5椭圆离心率取值范围十八大题型汇总题型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 1题型2椭圆的有界性 4题型3临界关系求离心率的取值范围 8题型4和差最值的应用 12题型5转化为位置关系 17题型6方程联立型 24题型7焦半径范围的应用 30题型8焦点弦定比分点 35题型9椭圆对称性的使用 36题型10由给定条件求离心率取值范围 41题型11点差法的使用 49题型13与向量结合 55题型14与基本不等式结合 60题型15与三角函数结合 64题型16转化为函数 68题型17椭圆与双曲线结合 75题型18内切圆相关 80知识点.求解椭圆离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得a、c的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率e的值或取值范围；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程或不等式，然后转化为关于e的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.题型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围【例题1】（2023·全国·高二专题练习）椭圆x25a+y24A．（0，15） B．（15，C．0,55 【答案】C【分析】根据椭圆的焦点在x轴上，由5a>4a2+1【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，∴5a>4a2+1又e=5a−4∴它的离心率的取值范围为0,5故选：C.【变式1-1】1.（2023春·海南·高二统考学业考试）已知椭圆x2A．0,55 B．0,12 C．【答案】C【分析】先根据焦距求出m的范围，然后离心率的公式可得答案.【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2ca,b,c>0因为m>4，所以a2=m，b2=4，则此时e2=c故选：C.【变式1-1】2.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短轴长的取值范围是0,2【答案】AC【分析】由曲线C为焦点在x轴上的椭圆，得出a2和b2，根据a2>b2>0即可判断A；根据椭圆离心率e=【详解】对于A：根据题意知椭圆C的标准方程为x2因为C的焦点在x轴上，所以1m>1对于B：由A可得a2=1所以椭圆C的离心率e=c对于C：椭圆C的焦距2c=2a因为函数y=1m，y=−1所以m的值越小，C的焦距越大，故C正确；对于D：椭圆C的短轴长2b=21因为当0<m<12时，所以11−m所以2b∈(2,22故选：AC．【变式1-1】3.（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】2【分析】根据题设可得c≥b，结合椭圆参数关系及离心率性质求离心率范围.【详解】依题意，2c≥2b，即c≥b，所以c2从而c2≥a2−c2所以椭圆离心率的取值范围是22故答案为：2题型2椭圆的有界性【方法总结】焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a【例题2】（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．32,1 C．22,1 【答案】C【分析】设Fc,0，Ax0,y0，B−x0【详解】设Fc,0，Ax0,y则FA=x0由已知可得，FA⋅FB=0整理可得c2因为x02a所以c2又由题意可得x02=又b2=a所以12≤c2a故选：C.【变式2-1】1.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，离心率为e，P是A．54,1 B．0,13 C．【答案】B【分析】设Px0,y0−a≤x0≤a，可表示出d,【详解】设Px0,y0∴PF1d=又−a≤x0≤a，∴a≤a23c，则∴e的取值范围为0,1故选：B.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到a,c的值或取值范围，由e=c（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于a,c的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e，从而得到结果.【变式2-1】2.（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）如图，已知F1，F2为椭圆x2a2【答案】2【分析】根据题意，由∠F1P【详解】当P点为短轴端点时∠F1PF2由题意可知，只需∠OPF2>45°，所以所以c2>b2=又因为e∈0,1，所以故答案为:2【变式2-1】3.（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知F1,F2是椭圆E:x2a【答案】1【分析】设Ax1,y1,Bx把Ax1,y1【详解】设Ax1,则F1因为F1A=3F2由x12a2+因为E上存在不同的两点A,B，且F1A=3F2又0<e<1，所以12故答案为：12【变式2-1】4.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知O为坐标原点，动直线l与椭圆M:x2a2+y2b2【答案】2【分析】由椭圆的切线方程及圆心到直线的距离列出方程，根据方程有解得出不等式，求出离心率范围即可.【详解】如图，

△OAB的面积最大值为a22⇔存在直线l使∠AOB=90∘设Px0,y0∴O到l的距离为d=1平方整理得a2x0又x0两式相减得a2y0又0<y02所以a2∴2故答案为：2题型3临界关系求离心率的取值范围【例题3】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知椭圆x2a2+y2bA．[22,C．[32,1)【答案】C【分析】设|PF1|=r1【详解】设|PF1|=r1在△F1PF2所以r1所以(r所以4a因为2a=r1+所以r1所以4a2−4所以c2a2≥3所以32故选：C【变式3-1】1.（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知椭圆C的焦点为F1,F【答案】1【分析】设|PF1|=r1，|P【详解】设椭圆C的方程为x2设|PF1|=r1在△F1PF2得r12+故r1r2=43a故4c2≥43解得e≥12，由0<e<1，所以C的离心率取值范围是故答案为：1【变式3-1】2.（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C2【答案】11【分析】设过点P的两条直线与圆C2分别切于点M,N，由两条切线所成的角为π3，可知OP=455b【详解】设过P的两条直线与圆C2分别切于点M,N由两条切线所成的角为π3，知：OP又P在椭圆C1所以OP≤a，即得4所以ba所以椭圆C1的离心率e=又1>e>0，所以e∈故答案为：114【变式3-1】3.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期中）已知椭圆C：x2a2+y2b【答案】0,【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得∠MPN=60°；当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为∠MPN=60°，所以∠APB≥60°，并通过OPmax=a，OA⊥AP，得到sin∠APO=OAOP【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设∠OPA=α，因为存在点M，N使得∠MPN=60°，所以∠APB≥60°，所以α≥30°，所以sinα=可得OP≤2b，而OPmax=a，即a≤2b所以椭圆的离心率e=c当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时∠MPN=90°，所以此时在圆O上存在点M，N使得∠MPN=60°．所以椭圆C的离心率的取值范围是0,3故答案为：0,题型4和差最值的应用【例题4】（2023秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦点分别FA．22,56 B．22,【答案】D【分析】由点Q在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率e的一个范围，PF1+PQ利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得【详解】∵点Qc,a2在椭圆的外部，则c∴ca>2由椭圆的定义得PF∵PQ∴P又∵PF∴5a2<32×2c又0<e<1，综上可得56即椭圆离心率的取值范围是56故选：D．【变式4-1】1.（2022·全国·高三专题练习）设椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为FA．14,22 B．13,【答案】A【分析】利用点Qc,a2【详解】因为点Qc,a2在椭圆的内部，所以c2a2+a2因为PF1+PQ<5F1F2，而PF1+PF2=2a，所以2a−PF故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.【变式4-1】2.（2023秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为FA．0,34 B．22,34【答案】D【分析】由点Q在椭圆外部得一不等关系，变形后得离心率e的一个范围，PF1+【详解】∵点Qc,a2在椭圆的外部,则c∴ca>2由椭圆的定义得PF−P∵PF∴2a+a解得ca>3所以椭圆离心率的取值范围是34故选：D．【变式4-1】3.（2022春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2c，过FA．22,1 B．22,56【答案】D【分析】利用F2Q>F2A得到a【详解】∵PF1+PQ=2a−PF2又∵F2Q>F2A，∴a故选：D.【变式4-1】4.（2021·湖南·校联考二模）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2【答案】4【分析】点Q(c,3c2)在椭圆的内部，可得c|PF1|+|PQ|=2a−|PF2|+|PQ|≤2a+Q【详解】∵点Q(c,3c∴c2a2+9c24⇒4a2−c⇒17a2c2−4c4<4⇒4e2−1e2−4>0又0<e<1∴0<e<1|PF1|+|PQ|=2a−|PF2∴要|PF1|+|PQ|<4|F1∴e=c综上，椭圆离心率的取值范围是(413，故答案为：(4【变式4-1】5.（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F【答案】(524，【分析】点Q(c,a2)在椭圆的内部，所以b2a>a2，|PF【详解】∵点Q(c,a2)在椭圆的内部，∴b所以c|P又因为−|QF2|⩽|PQ|−|P要|PF1所以5a2<12c，ca>5故答案为：(524，【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，考查了椭圆中的范围问题的求法，转化思想是解题关键．题型5转化为位置关系【例题5】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点Px0,y0是椭圆C:x2a2A．0,22 B．0,22 C．【答案】D【分析】由题意可得以F1F2【详解】解：由已知，以F1F2所以22故选：D.【变式5-1】1.（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）若椭圆E:x2+y21−m2=1A．0,12 B．12,1 C．【答案】D【分析】先由椭圆方程表示a，b，c，再OP=m结合椭圆图形得出c≥b【详解】设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a=1，b=1−m2由椭圆E上存在点P满足OP=m，等价于以O为原点，以c得c≥b，所以c2≥b所以e=ca≥所以E的离心率的取值范围为22故选：D.【变式5-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2aA．0,1 B．0,22 C．22【答案】C【分析】设椭圆C的右焦点为F'，连接AF'．由椭圆的性质分析出以FF'【详解】设椭圆C的右焦点为F'，连接A由椭圆的性质得，AF'∥BF，∠FAF设椭圆C的半焦距为cc>0，所以只需c≥b，所以c2≥a2故选：C【变式5-1】3.（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，若F关于直线【答案】0,【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于y=−x对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于a,b,c的不等式从而求解离心率范围.【详解】设C的半焦距为c，则F−c,0关于直线y=−x的对称点P的坐标为0,c因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2−c两边同时除以a2，解得e∈故答案为：0,2【变式5-1】4.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．0,12 C．0,22 【答案】B【分析】由数形结合可知，点P不是直角顶点，则由b>c，确定离心率的取值范围.【详解】当PF1和PF2垂直于F1由条件可知，点P不是直角顶点，则以F1则b>c，得b2>c所以椭圆离心率e的取值范围是0,2故选：B【变式5-1】5.（2023秋·吉林长春·高二校考期末）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点N是椭圆上的一动点，若A．0,22 B．0,1 C．0,1【答案】A【分析】利用椭圆与圆的性质，作图，结合离心率的计算公式，可得答案.【详解】由题意，作图如下：其中圆为以O为圆心，以c为半径的圆，显然b>c，b2>c2，a2−c故选：A.【变式5-1】6.（2023·四川·校联考模拟预测）已知椭圆C：x2m2+y216=1(0<m<4)，定点A2,0，B6,0，有一动点A．0,22 B．0,12 C．【答案】D【分析】设动点P(x,y)，求出其轨迹，求出0<m<23【详解】解：设动点P(x,y)，由题得(x−6)2化简得x2所以动点P的轨迹是以原点为圆心，以23因为P点轨迹与椭圆C恰有4个不同的交点，所以0<m<23所以椭圆C的离心率e=c因为椭圆的离心率e∈(0,1)，所以椭圆C的离心率的取值范围为12故选：D【变式5-1】7.（2023·江苏·高二假期作业）如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为

【答案】5【分析】直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB【详解】由题意可知Aa,0，B则直线AB方程为x−a0−a=y−0若直线AB上存在点P，使得PF则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段即O点到直线AB的距离d≤O所以aba2+又a2所以a2a2−c又由e=ca且0<e<1可得解得e∈5【变式5-1】8.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别是A．12,1 B．22,1 C．【答案】A【分析】作图，根据图中的几何关系求解.【详解】由题意作图如下：设F1−c,0，Px,y,Qm,n∴m=x3−23c，n=1化简得：x2−2cx+y2=0即圆x−c2+y圆F2与x轴除原点外的另一个交点的坐标是2c,0，并且该交点必须在椭圆外，∴2c>a，即e＞1故选：A.【变式5-1】9.（2020秋·浙江台州·高二台州一中校考期中）已知椭圆C:x2a【答案】(22【解析】设AB方程为y=kx，联立方程组求出A，B坐标，进而得出M，N的坐标，由OM⊥ON列方程得到关于k的方程，令此方程有解得出a，b，c的关系，从而得出离心率的范围．【详解】设直线AB的方程为y=kx，联立方程组y=kxx2a∴A(aba2k2+b又C(c,0)，M，N是AF，BF的中点，∴M(ab2a2k2+∵以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，∴OM⊥ON，∴(ab即c2∴c∴(a2c∵存在符合条件的直线AB，使得OM⊥ON，∴关于k的方程a2∴c2>b2∴c2a2又e<1，∴22故答案为：(22，【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的不等式，从而求出e的范围.题型6方程联立型【例题6】（2023秋·全国·高二期中）点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的右顶点，P为椭圆A．12,1 B．22,1 C．【答案】B【分析】设Px,y0<x<a，由PO⋅PA=0【详解】解：设Px,y又O0,0,Aa,0则x2+y即c2x−ab2x−a则0<ab2即ca>2故选：B【变式6-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，若x【答案】0,【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答.【详解】依题意，点F(1,0)，设直线AB:x=ty+1,t≠0，A(x由x=ty+1b2x则y1+y因为PA=PB，则有PM⊥AB，直线令y=0得点P(a2−b2又PF>23，即1−1b依题意，b2t2+a2>3所以椭圆C离心率e的取值范围为0<e≤3故答案为：0,【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a【变式6-1】2.（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）椭圆x2a2+y【答案】0【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示x1【详解】设过点F的直线l的直线方程为x=my+1与椭圆交于A，B两点，设点Ax1,y1整理为：b2y1+y若恒有OA2+OB所以∠AOB是钝角，即x1my1+1m2+1⋅所以a2+b2a解得：a2>3+所以a>1+52故答案为：0【变式6-1】3.（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C:xA．0,22 C．0,63 【答案】A【分析】设AB所在直线方程为x=ty−c，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得e的范围．【详解】椭圆C：x2设AB所在直线方程为x=ty−c，其中c=a则由x=ty−cx2设Ax1,所以AB=因为CD所在直线方程为x=ty+c，所以直线AB与CD的距离为：d=S=AB⋅d=1+设b2t2则b要使得S最大值，则只需1m+c2根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.即当t=0时S有最大值，也即是m=b时m+c由函数y=x+axa>0在0,所以函数y=m+c2m在0,c因为函数y=m+c2m在b,+∞上，当所以a>b≥c，即a2>b同时除以a2可得1>1−e2故选：A【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质【变式6-1】4.（2023春·浙江温州·高二瑞安中学校考期中）已知A是椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点，点B，A．0,33 B．0,63 C．【答案】B【分析】根据题意联立方程求点B,C的横坐标，由AB=AC结合弦长公式整理可得关于k的方程【详解】由题意可得：A0,b∵直线AB的斜率存在且不为0，设为k，则直线AB:y=kx+b，联立方程y=kx+bx2a2+y2即点B的横坐标为−2kb同理可得：点C的横坐标为2kba由题意可得：AB=AC，即整理得：k−1由题意结合椭圆的对称性可得：关于k的方程k−1当k=1是方程k2+1−a若b2a2=13，则当k=1不是方程k2+1−a∵a>b>0，则ft=t∴Δ=1−a综上所述：13≤b2a故选：B.【点睛】易错点点睛：在处理关于k的方程k−1k2+1−a2题型7焦半径范围的应用【方法总结】设P【例题7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2bA．0,14 B．14,0 C．【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出|PF1|【详解】因点P在椭圆x2a2+y于是得PF1=而|PF即32a−1所以，椭圆的离心率取值范围是12故选：D.【变式7-1】1.（2023·全国·高二专题练习）设F1、F2分别是椭圆C:xA．0,12 B．0,13 C．【答案】C【分析】根据题意可得以F2为圆心，以|PF2【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点则|PF且需满足以F2为圆心，以|P

即2c≥a−c，即e=ca≥故椭圆离心率的取值范围是13故选：C【变式7-1】2.（2023秋·河南洛阳·高三校考阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为A．2−1,1 B．2−1,1 C．0,2【答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得ca=sin∠PF2F1sin【详解】由asin∠PF1F又PF1∈∴a2−c又e∈0,1，∴e∈故选：B．【变式7-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．55,12 B．510,【答案】A【分析】设MF1=m，MF2=n，椭圆C的半焦距为c，根据椭圆的定义以及F1F2【详解】设MF1=m，MF2所以a2因为a−c≤m≤a+c，所以c≤m−a≤c，所以a2−4c则15≤e故选：A.【变式7-1】4.（2023·全国·高二专题练习）若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2:1，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率e的取值范围是（

）A．33,1 B．0,33 C．【答案】C【分析】根据条件设出P到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.【详解】由题可设点P到椭圆两个焦点的距离之分别2m,m，所以2m+m=2a，得到m=2又m≥a−c，所以23a≥a−c，得到c≥1故选：C.【变式7-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为A．0,2−1 B．0,22 C．【答案】D【分析】由题意可知e=PF1PF【详解】因为e=PF1由椭圆的定义得：PF1+因为a−c≤PF2两边同除以a得1−e≤2e+1≤1+e因为0<e<1，所以2−1≤e<1所以该离心率e的取值范围是[故选：D.【变式7-1】6.（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）设F1、F2椭圆x2a2+yA．（0，1） B．0C．2−1,1【答案】C【分析】在△MF1F2中，由正弦定理结合条件有：【详解】由∠MF1F2=α，∠MF2F1离心率e=sinβsinα，则

由于a−c<MF2(a+c)(a−c)=a由2a2<(a+c)2有2所以椭圆离心率取值范围为2−1,1故选：C【变式7-1】7.（2022·全国·高二专题练习）已知F1，F2是椭圆C：x2a2A．12,1 B．0,12 C．【答案】A【分析】由角平分线的性质定理有MF1M【详解】因为O是F1F2的中点，N是O因为MN平分∠F1MF2因为MF1+MF2=2a，所以MF1=3a2，MF2=故选：A．题型8焦点弦定比分点【方法总结】运用e=1+k【例题8】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点为A，右焦点为F，直线AF交椭圆【答案】2【分析】写出直线AF的方程与椭圆的方程联立，得B点横坐标，由向量关系得坐标间的关系，化简出离心率得取值范围.【详解】由题设F(c,0)，则A(0,−b)，直线AF的方程为y=b联立方程组y=bcx−b所以B点横坐标为2a又因为AF=λFB，所以即λ=a2+c2a2故答案为：22【点睛】条件AF=λFB可以用坐标表示，即可将条件【变式8-1】（2022·全国·高三专题练习）椭圆x2a2+yA．13,12 B．33,【答案】B【分析】求出直线AF方程，与椭圆方程联立消去x得关于y的二次方程，利用y=b是它的一个解，求得B点坐标坐标，然后由向量的线性关系用λ用a,c表示，利用【详解】A0,b，F-c,0，则AF：y=b消去x得，(cy=b是它的一个解，另一解为yB=c2-a2c2+a故选：B．题型9椭圆对称性的使用【方法总结】焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)【例题9】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2A．53,1 B．22,104【答案】B【分析】设椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性结合FA⋅FB=0，得到四边形AFBF'为矩形，设AF'=n，AF=m，在直角△ABF中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形AFB又FA⋅FB=0，则FA⊥FB，所以平行四边形AFB设AF'=n，AF在直角△ABF中，m+n=2a，m2所以2mn=m+n2−所以mn令mn=t，得又由FB≤FA≤3因为对勾函数y=t+1t在1,3上单调递增，所以所以c2b2∈1,53所以e=c所以椭圆离心率的取值范围是22故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形AFBF'为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于【变式9-1】1.（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆C：x2a2+yA．(0,23] B．[23,1)【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式求出b，再根据定义和对称性得到a的取值范围即可求解．【详解】解：由题得A0，b，则b设右焦点为F'，由对称性可知，|MF|+|NF|=|MF|+|M则a≤3，e=ca=a故选：A．【变式9-1】2.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+y2bA．0，53 B．0，73【答案】B【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知BF=23【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则BE+因为点A、B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形，由AF=2BF，得，在△EBF中，cos∠EBF=BE2由FA⋅FB≤49a2所以e∈0,故选：B【变式9-1】3.（2022秋·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点【答案】22【分析】由题意可得四边形MF1NF2为矩形，由勾股定理可得MF12+【详解】因为|MN|=F1F所以NF因为MF12所以2M即MF由Δ=4a2所以a2<2c因为点M在第一象限，所以解得MF因为NF1M所以MF2≥所以a−a化简得4a2−2综上22所以椭圆C的离心率的取值范围为22故答案为：22【变式9-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F2,0，经过原点O且斜率k≥3的直线与椭圆C交于A，B两点，AF的中点为【答案】2【分析】设A2m,2n，由条件求出M,N的坐标，由条件OM⊥ON确定m,n的关系，由k≥3求出m的范围，结合点A在椭圆上可求a的范围，由此可求椭圆C的离心率【详解】设A2m,2n（不妨设m>0，n>0），则Mm+1,n，由直线AB过原点和椭圆的对称性可得B(−2m,−2n)，所以OM⊥ON⇒k≥所以由点在椭圆上得4m2a化简得m2=a28−所以1+3所以e=c故答案为：22题型10由给定条件求离心率取值范围【例题10】2023·江苏·高二专题练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1A．14,12 B．12,【答案】D【分析】由题意可得F1−c,0,F2c,0，设Px,y，可表示出P【详解】由题意可知，F1−c,0,因为x2a2又PF1=所以PF因为−b≤y≤b，则0≤y当y2=b2时，PF即3c≤a≤所以e=c即椭圆C的离心率为55故选：D.【变式10-1】1.（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设M是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，A．22,1 B．0,22 C．【答案】B【分析】设Px0,y0，由M0,b，求出PM2【详解】设Px0,y0，M所以PM2=x由题意知当y0=−b时，PM2取得最大值，所以−b3c2故选：B．【变式10-1】2.（2021秋·陕西汉中·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线l:x−y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|MF|+|NF|=4，且点B到直线l的距离不小于22，则椭圆C的离心率eA．0,32 B．32,1 C．【答案】A【分析】先结合椭圆的定义及对称性，求得a，然后由题目的条件可得b的取值范围，由此即可确定离心率e的取值范围.【详解】设椭圆的左焦点为E，连接EM,EN，结合椭圆的性质以及直线l:x−y=0，可得四边形EMFN为平行四边形，所以MF+NF=NE+因为点B到直线l的距离不小于22，B(0,b)，直线l:x−y=0所以d=b2≥因为e=e所以e∈故选：A【变式10-1】3.（2023·全国·高三专题练习）过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点A．14,34 B．23,1【答案】C【分析】用基本量a,b,c表示出AF,BF，从而表示出直线AB的斜率，同除以a2【详解】如图所示：AF=a+c,所以k=tan又因为13<k<12，所以13故选：C.【变式10-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知C:y2a2+x2b2A．0,12 B．12,1 C．【答案】C【分析】使用极化恒等式由PF1⋅PF2=14【详解】设坐标原点为OP所以PO2又4PO所以a2+4c2<4故选：C【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的关系式，这个关系式可以用几何关系得到，也可以用代数关系得到.在本题中主要是通过PO2建立关系，一方面由极化恒等式得PO2＝【变式10-1】5.（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆C：x2a2+y(1)若∠F(2)若∠F【答案】(1)x(2)0,2【分析】（1）由题意知△F（2）由∠F1P【详解】（1）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为所以b=c，a=2所以椭圆C的标准方程为x2

（2）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为所以0∘<∠OPF所以sin∠OP所以椭圆C的离心率的取值范围为0,2

【变式10-1】6.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，PF2最小值，且最小值为PF2＝a－c，根据PT=PF22【详解】依题意，如图所示：当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，PF2最小值，且最小值为∵PT=∴a−c2∴a−c2∴a−c≥2b−c∴a+c≥2b，∴a+c2化为5c2＋解得e≥3可得35∵b＞c，∴b2∴a2∴a2∴e2解得0<e<2由①②解得35故椭圆离心率的取值范围为35故答案为：35【变式10-1】7.（2023·全国·高二专题练习）过原点作一条倾斜角为θθ∈π6,5【答案】2【分析】分别讨论直线AB的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率e的取值范围.【详解】当倾斜角θ=π2时，直线AB的斜率不存在，如图则A

若AF⊥BF，则AF⋅BF=所以a2=所以椭圆的离心率e=c当倾斜角为θ∈π6,π2∪π设Ax0,y0

若AF⊥BF，则AF⋅联立①②，结合a2=b由k=y0x0，k∈−所以b4c4−b所以2a2−c综上，椭圆的离心率e的取值范围为22故答案为：22题型11点差法的使用【方法总结】点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点M(x0，y0)是线段AB的中点，x12a2+y12b2=1,=1\∗GB3\∗MERGEFORMAT①x22a2+y22b2=1,=2\∗GB3\∗MERGEFORMAT②由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，(x1−x2≠0，x1+x2≠0)即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).KAB∙K【例题11】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，直线l:y=kx+t与椭圆C:x2a2+y2b2【答案】12【分析】设Ax1,y1,Bx2,【详解】设Ax1,则k=y所以k0=y将A、B两点坐标代入椭圆方程，得x1两式相减，得x12−x2由−34<kk0由e=ca，得13<1−e所以椭圆的离心率的取值范围为(1故答案为：(1【变式11-1】1.（2021·全国·高三专题练习）已知F−c,0是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，直线y=x+c与该椭圆相交于M,N两点，OA．63,1 B．22,1 C．【答案】A【分析】设MN的中点为B，MN中垂线与x轴交于点A，将y=x+c代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出B点坐标，由此可得直线AB方程，求得A点坐标，由A在线段PF上可构造a,c的齐次不等式求得结果.【详解】设MN的中点为B，MN中垂线与x轴交于点A，设Mx1,由y=x+cx2a∴x1+∴B−∵AB⊥MN，∴kAB=−1，∴直线AB令y=0，解得：x=−c3a∵A在线段PF上，∴−c≤−c3a2+又椭圆离心率e∈0,1，∴63故选：A.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到a,c的值或取值范围，由e=c（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于a,c的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e，从而得到结果.【变式11-1】2.（2021·江苏南京·统考一模）已知椭圆y2a2+x2b2=1【答案】2【分析】根据椭圆的中点弦公式，可求得k1k2与a、b【详解】设直线l与椭圆的交点坐标为Ax1,则x0将A、B坐标代入椭圆可得y1y化简可得y1−因为k1⋅化简得a2≥2所以a2≥2即e≥22，因为椭圆的离心率所以椭圆离心率的取值范围为2【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，中点弦问题的应用，椭圆离心率范围的求法，属于中档题．【变式11-1】3.（2022·全国·高三专题练习）椭圆x2a2【答案】(【分析】设Ax1,y1,Bx【详解】解：设Ax则x1+a将下面两式子代入第一个式子得2a5−2a∵x1≠∵−a≤x∴−2a<x则2a35∴e2=1−b2∴5即离心率e的取值范围55【点睛】本题我们采取设点法，尤其是弦中点问题，常用设点法，得到方程组后的变形是本题的难点，首先是整体代换消元，将y1,y2整体代换，用x1,x2表示代入等式得到2a5【变式11-1】4.（2023·全国·高二专题练习）已知点Mx1,y1，Nx2,y2xA．14,1 B．22,1 C．【答案】C【分析】由PM=PN可得x1+x2−a2x1【详解】因为PM=PN，则所以x1−ax1又因为点Mx1,y1所以x12a2+所以x1因为x1≠x所以a2−b2x因为e∈0,1，所以x又因为M，N为椭圆上的两点，所以x1所以a2<a2e故选：C.题型13与向量结合【例题13】（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2A．3−12,1 B．0,3−12【答案】D【分析】由题意分析可得FB⋅【详解】设椭圆的半焦距为c，由题意可得：A0,b可得：FB=由图可得：∠APB即为FB,若∠APB为钝角，即FB,由图可知FB,AC≠整理得e2+e−1<0，且0<e<1，解得所以椭圆的离心率的取值范围是0,5故选：D.【变式13-1】1.（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2【答案】6【分析】由2PO=PF1+PF2两边平方得4|PO|2=|PF1|2+|P【详解】设|F1F2|=2c因为2PO=P又因为PF1=PO+所以PF1⋅所以4|PO又因为PO2−O所以4a26因为PF12所以2a26+c又因为b≤|PO|≤a，所以b2≤|PO|所以512≤c因为63>15故答案为：63【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2【变式13-1】2.（多选）（2022·高二课时练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A．12 B．22 C．33【答案】AC【解析】设P(x0,y0)，F1(−c,0)，F2(c,0)，则PF【详解】设P(x0,y0则PF1=(−c−PA1=(−a−因为P=2=2所以离心率e=c故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由PF1⋅【变式13-1】3.（2022秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为【答案】1【分析】设椭圆的左焦点为E，根据椭圆的定义可知BE=43a，BF=【详解】解：由题意得：椭圆的左焦点为E，则BE因为A,B两点关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形由FA=2FB，得BE=43所以BE=43a∈a−c,a+c在△EBF中，cos−cos由FA⋅FA整理得：e2≤79，又综上，e∈故答案为:1【变式13-1】4.（2022·江苏·高二期末）若F1(−2,0),F2(2,0)为椭圆C:【答案】2【分析】根据数量积的运算律得PO2−4=λ，进而根据λ的范围得到5≤PO【详解】设O为坐标原点，则OFPF1⋅PF若存在四个不同的点P满足5≤PO2≤8所以b2<5,a2e2=4故答案为：2题型14与基本不等式结合【例题14】（2023·海南·校考模拟预测）已知F是椭圆x2a2+yA．[32,1) B．(0,32]【答案】C【分析】利用题给条件和椭圆定义构造不等式，进而求得椭圆离心率的取值范围.【详解】设椭圆左右焦点分别为F1，F，连接F由椭圆及直线的对称性知：四边形AFBF且∠AFB=120°，∠FAF在△AFFFF∴(AF+AF（当且仅当AF=可得14(AF+AF1)∴椭圆的离心率e∈[1故选：C【变式14-1】1.（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB=60°，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A．32,1 B．0,32 C．【答案】A【分析】由椭圆的性质可得四边形AFBF'为平行四边形，可得【详解】解：连接A，B与左右焦点F，F'由∠AFB=60°，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，在三角形AFF'中，所以(AF+AF')2−FF'2=AF⋅A即34⋅4a所以椭圆的离心率e∈3故选：A．【变式14-1】2.（2022秋·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）设F1､F2分别是椭圆x2a2+y2bA．13⩽e<1 C．0<e<13 【答案】A【分析】结合椭圆的定义和均值不等式得到当且仅当PF2=23【详解】根据题意可知PFPF2PF12+8PF22故选：A．【变式14-1】3.（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，过原点作直线lA．14 B．34 C．12【答案】D【分析】令椭圆右焦点为F2，根据给定条件，判断四边形A【详解】令椭圆右焦点为F2，半焦距为c，连接AF2,BF2，因为M、N分别是

则OM//AF2,ON//BF2即四边形AF1BF2为平行四边形，且是矩形，于是∠因此(|AF1|+|A即有4a2≤4c2+2a2，c2所以椭圆离心率的最小值为22故选：D【变式14-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为e，点P在椭圆上，连接【答案】8【分析】设QF1=m,PF1=n，所以存在点P使PQ=QF2【详解】设QF1=m,PF1=n所以存在点P使PQ=QF在△PF1F即2a−n2=n同理可得m=b2a+c所以2m+n=b所以(2m+n−2a)min=(由(2+1)2b2故答案为：8【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立a,b,c的不等式，此时将问题转化为PQ−QF2min题型15与三角函数结合【例题15】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B【答案】2【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围.【详解】由题意，在x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)∵AF⊥BF，∴四边形AF∴AB=F∵∠ABF=α，∴AF=2csin由椭圆的定义得2a=2csin∴e=c∵α∈∴α+π∴sinα+∴e∈2故答案为：22【变式15-1】1.（2023·重庆·统考三模）已知F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，∠PF【答案】0,【分析】设∠PF2F1=θ，可得∠PF1F2=3θ，∠F1PF2【详解】设∠PF2F∠F由正弦定理可得，PF所以PF1=根据椭圆的定义可知，PF所以有2csin所以有c=2sin2θ因为，θ=∠PF2F令t=cosθ，则t∈2则函数ft=2t−1又f22=2×所以，0<ft<3故答案为：0,3【点睛】思路点睛：设∠PF2F1=θ，根据已知条件，求出△PF1F2【变式15-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2【答案】2【分析】不妨设P3,t，(t>0)，F1−c,0，F2c,0，直线PF1倾斜角为α，直线PF2【详解】不妨设P3,t，(t>0)，F1−c,0设直线PF1倾斜角为α，直线PF则tan∠=t若tan∠F1PF又t+9−c2t≥2则2c29−c2=2又椭圆C与直线x=3无公共点，则a<3，所以e=c所以椭圆离心率的取值范围是22故答案为：22【变式15-1】3.（2019秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上有一点A，它关于原点的对称点为B，点A．[24，32] B．[24，63] C．[22，63]【答案】C【分析】设左焦点为F'，根据椭圆定义：AF+|AF'|=2a，根据B和A关于原点对称可知BF=|AF'|，推知AF+BF=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出AF和BF代入AF+BF=2a中即可表示出【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F'，根据椭圆定义：AF+|AF'|=2a又∵BF=AF'，∴O是Rt△ABF的斜边中点，∴AB=2c又AF=2csinα…②，BF②③代入①2csin∴ca=1∵α∈π12，∴32≤sin【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，三角函数最值的求法，将离心率表示为关于α的函数是解题的关键，属于中档题.题型16转化为函数【例题16】（2023·全国·高三专题练习）设B是椭圆C:x2a【答案】1【分析】利用距离公式将|PB|表示，配方后，分−b3c【详解】设P(x,y)，则|PB|=x因为y∈[−b,b]，当−b3c2>−b即a所以a2+化简得：a2故a2<2c2，两边同除以a2当−b3c2≤−b，即a2≥2由2c2≤a2≤4综上，离心率的范围为1故答案为：1【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2【变式16-1】1.（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点M【答案】2【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得b2【详解】设椭圆C的半焦距为c>0，则圆O:x2+y2若圆O与椭圆C有公共点，则c≥b，可得c2≥b因为MF1+可得4a2−2又因为m=MF1且MF1+MF可得MF整理得b2因为fm=m+1m+2且f1可得fm=m+1可得e=1−综上所述：椭圆C的离心率的取值范围为22故答案为：22

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．【变式16-1】2.（2023·全国·模拟预测）已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，P是C【答案】2【分析】连接PF2、QF2，分析可知四边形PF1QF2为矩形，设PF1=m，PF2=n【详解】解：连接PF2、由P关于原点O的对称点为Q，PQOF1所以四边形PF设PF1=m，P在Rt△PF1F2所以e2则1e在Rt△PF1在Rt△PF1由cos∠PF1F2令t=mn1<t≤3，设ft=t+1t则85≤1e2故椭圆C的离心率的取值范围为22故答案为：22【点睛】方法点睛：【变式16-1】3.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为【答案】2【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于90°，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围．【详解】由以线段F1F2为直径的圆x所以半径OF1>b，即c>b所以e=ca=2c2a由于12≤PF1e=ca由于函数φt=t+1故gt=1−故22=g1<1−所以椭圆离心率的取值范围为22故答案为：2【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于90°，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可.【变式16-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知点Q满足QF1⋅QF2=0，且点Q恒在以F1、F2A．14,135 B．135,1【答案】C【分析】设PF1=17t，则QF1=8t，PQ=15t，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出272t2−32at+b2=0，求出a【详解】如下图所示：由题意可知，PQ⊥QF1，设PF1=17t由椭圆定义可得PF2=2a−在Rt△QF1即64t2+因为点Q在椭圆C内，则QF又因为32t−2a>02a−17t>0，所以，a令fx=272x2−32ax+若方程fx=0在a16所以，1225<b因为点Q在椭圆内，且QF1⊥QF2所以，a>2c，∴e=c故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解，解题的关键在于通过勾股定理得出方程，在转化为函数在区间上有零点来处理，同时要善于分析出点Q在椭圆内这一条件，结合椭圆定义构造不等式关系来求解椭圆离心率的取值范围.【变式16-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知点