【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）3.3 幂函数（九大题型）

3.3幂函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：幂函数的概念 4题型二：求函数解析式 5题型三：定义域问题 7题型四：值域问题 9题型五：幂函数的图象 11题型六：定点问题 15题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 16题型八：比较大小 19题型九：幂函数性质的综合运用 22

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【典型例题】题型一：幂函数的概念【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D.【典例1-2】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，对A，，故A正确；B，C，D均不符合.故选：A．【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C.【变式1-2】（2024·高一·江西赣州·期中）在函数，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵幂函数y＝xa，∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，比幂函数的图象多一个点，∴幂函数的个数为1．故选：B.【变式1-3】（2024·高一·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B.【变式1-4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.题型二：求函数解析式【典例2-1】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为写一个即可)【答案】(答案不唯一)【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，又因为为偶函数，所以适合题意．故答案为:(答案不唯一).【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为．【答案】【解析】设，因为图像经过点，则，所以．故答案为：【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式：．【答案】（答案不唯一）【解析】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意，故答案为：（答案不唯一）.【变式2-2】（2024·高一·上海·课后作业）已知幂函数图象过点，当时，.【答案】4【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，所以幂函数为，当，所以.故答案为：4.【变式2-3】（2024·高一·上海·课前预习）若幂函数的图象过点，则表达式为．【答案】【解析】设幂函数为,将代入可得，解得，故，故答案为：【变式2-4】（2024·高一·上海·假期作业）幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是.【答案】【解析】将代入可得，解得，故答案为：【变式2-5】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式.【答案】（答案不唯一）【解析】因为对，则在上为减函数，又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，故可取.故答案为：（答案不唯一）.题型三：定义域问题【典例3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为．【答案】1【解析】若幂函数（为整数）的定义域为R，则，解得，而是整数，则只能，经检验符合题意.故答案为：1【典例3-2】（2024·高一·上海·随堂练习）函数的定义域为．【答案】【解析】要使有意义，则，解得.故答案为：.【方法技巧与总结】使表达式有意义．【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有个．【答案】3【解析】①的定义域为R；②的定义域为；③的定义域为R；④的定义域为；⑤的定义域为；⑥的定义域为R．故定义域为R的有①③⑥，共3个，故答案为：3．【变式3-2】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【解析】因为函数的定义域是，所以，解得，所以函数的定义域为0,2．要使有意义，则，解得，所以的定义域是．故答案为：【变式3-3】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是幂函数，设，将代入解析式，得，解得，故，则，故，解得故选：B题型四：值域问题【典例4-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为.【答案】【解析】由幂函数性质可知在上单调递增，又易知为偶函数，所以当时，可知在上单调递减，可得.故答案为：【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为.【答案】【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：【方法技巧与总结】利用单调性求解．【变式4-1】（2024·高一·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是；函数的值域是．【答案】【解析】因为，将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，所以图象的对称中心为；，因为，所以，则，所以.故答案为：；【变式4-2】（2024·高一·浙江·期中）函数的单调递减区间为；值域为．【答案】【解析】函数有意义，则，解得函数的定义域为，令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为；由，，所以，即，所以.故答案为；【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．（2）求函数的值域．【解析】（1）由于，则，，，所以过点，故的图象，如图所示，函数的定义域为；（2）由题可知，设，则，当时取等号，故的值域为．【变式4-4】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间(0,+∞)内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．【解析】（1）为幂函数，∴，解得或，又在区间(0,+∞)内的函数图象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．题型五：幂函数的图象【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，定义域为，排除A，B．经过定点，，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.故选：C.【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，符合题意，正确；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，错误.故选：C【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，所以函数是偶函数，故排除D，由幂函数性质可知函数在0,+∞上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C.故选：A.【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；对于C：函数的定义域为，又为奇函数，但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D：定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D【变式5-3】（2024·高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，是曲线；综上所述幂函数，，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D.【变式5-4】（2024·高一·吉林·期末）幂函数()的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由为幂函数，所以，则，所以可化为，其定义域为，检验各选项，可知B正确.故选：B.题型六：定点问题【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.【答案】【解析】因为对任意实数，当时，，所以所有幂函数的图象都过点.故答案为：【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.【答案】4【解析】函数的图象恒过定点，所以,因为，所以，当时，的最小值为4.故答案为：4【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点．【答案】【解析】当时，，所以定点为.故答案为：【变式6-2】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为．【答案】【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：【变式6-3】（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为．【答案】【解析】令，得，故函数图象过定点，故答案为：【变式6-4】（2024·高一·全国·课后作业）幂函数的图像恒过定点．【答案】【解析】幂函数的图像恒过定点.故答案为：题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题【典例7-1】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是

．【答案】【解析】因为幂函数在上单调递增，所以不等式，可化为，所以，所以，所以的取值范围是.故答案为：.【典例7-2】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为为幂函数，所以，则，故的定义域为，且在定义域上为增函数，所以由，可得，解得，故a的取值范围为.故答案为：.【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．【变式7-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点，满足条件的实数的取值范围是.【答案】【解析】由已知，所以，又是正整数，故解得，即，函数定义域是，易知是增函数，所以由得，解得，故答案为：．【变式7-2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由在上单调递增，故，解得.故答案为：【变式7-3】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为；不等式的解集为.【答案】【解析】设幂函数，依题意，，即，因此，解得，所以函数的解析式为；显然函数在上单调递减，且，于是不等式为：，解得，即或，所以不等式的解集为.故答案为：；【变式7-4】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是.【答案】【解析】由幂函数的图象过点得，解得，则，定义域为.由可得为偶函数，又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.于是等价于，解得或.所以的取值范围是.故答案为：.【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）不等式的解集为.【答案】【解析】构造函数，该函数的定义域为，且，即函数为奇函数，因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，所以，函数为上的增函数，由可得，可得，解得，因此，不等式的解集为.故答案为：.题型八：比较大小【典例8-1】（2024·高一·北京·期中）若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于选项A：例如，则，即，故A错误；对于选项B、D：例如，则，故BD错误；对于选项C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确；故选：C.【典例8-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，当时，可得，故A错误；对于B，当时，，故B错误；

对于C，∵，函数在R上单调递增，∴，故C正确；对于D，∵，∴，，可得，故D错误.故选：C．【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由单调递增，则可知，由单调递增，又，可得所以．故选：C．【变式8-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设幂函数，因为的图象经过点，则，解得，所以.因为函数在定义域内单调递增，则当时，，所以，且，故选项错误；又因为函数单调递增，则当时，，且，故选项D正确，选项错误.故选：D.【变式8-3】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，当时，，，，，，此时，，，故A，B，C错误，由幂函数在上单调递增可知，时，，故D正确，故选：D.【变式8-4】（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知幂函数的图象过点，且是函数图象上的任意不同的两点，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，解得，所以，则在定义域上单调递增，因为，所以，故选项A错误；在定义域上单调递增，因为，所以，故选项B错误；在定义域上单调递减，因为，所以，即，选项C正确；在定义域上单调递增，因为，所以，故选项D错误.故选：C.【变式8-5】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得函数在上单调递增，因为，所以得：，故A项正确.故选：A.题型九：幂函数性质的综合运用【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数在0,+∞上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.当时，在0,+∞上单调递增，满足题意.当时，在0,+∞上单调递减，不满足题意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴.∵，，∴，∴解得.故实数的取值范围为.【典例9-2】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：①在上为增函数，②对，都有，求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.【解析】因为在上为增函数，所以，解得，又，所以，或．又因为，所以是偶函数，所以为偶数．当时，满足题意；当时，不满足题意，所以，又因为在上递增，所以，，故时，的值域是．【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解