2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2.2指数函数的图象和性质的应用课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE8-指数函数的图象和性质的应用(15分钟35分)1.函数f(x)=QUOTE的值域是 ()A.(3，+∞) B.(0，3)C.(0，2) D.(2，+∞)【解析】选B.f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE，因为1+QUOTE>1，所以0<QUOTE<3.2.函数y=QUOTE的单调递增区间是 ()A.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[1，2] D.[1，3]【解析】选A.令u=-3+4x-x2，因为y=3u为增函数，所以y=QUOTE的单调递增区间就是u=-3+4x-x2的单调递增区间(-∞，2].3.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是 ()A.[0，8) B.(0，8) C.[0，8] D.(0，8]【解析】选A.因为x≥0，所以3-x≤3，0<23-x≤8，所以0≤8-23-x<8.4.已知函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a-b的值是_______.

【解析】由图象知，f(x)的图象是由y=ax的图象向下平移4个单位长度得到的，所以b=-4，由f(2)=0，即a2-4=0得a=2，所以a-b=6.答案：65.已知函数f(x)=QUOTE为定义在区间[-2a，3a-1]上的奇函数，则a+b=_______.

【解析】因为f(x)是定义在[-2a，3a-1]上的奇函数，所以定义域关于原点对称，即-2a+3a-1=0，所以a=1，因为函数f(x)=QUOTE为奇函数，所以f(-x)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE，即b·2x-1=-b+2x，所以b=1，即a+b=2.答案：26.已知函数f(x)=m·4x-2x，若存在非零实数x0，使得f(-x0)=f(x0)成立，求实数m的取值范围.【解析】由题意可得m·QUOTE-QUOTE=m·QUOTE-QUOTE有解，即m(QUOTE-QUOTE)=(QUOTE-QUOTE)有解，可得QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2①，解得0<m≤QUOTE，再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0<m<QUOTE，所以实数m的取值范围是QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若函数f(x)=a|x+1|(a>0，a≠1)在[0，1]中的最大值比最小值大QUOTE，则a等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE【解析】选C.当a>1时，f(x)在[0，1]上单调递增，此时最大值为a2，最小值为a，所以a2-a=QUOTE，解得a=0(舍)，a=QUOTE；当0<a<1时，f(x)在[0，1]上单调递减，此时最大值为a，最小值为a2，所以a-a2=QUOTE，解得a=0(舍)，a=QUOTE，综上，a=QUOTE或QUOTE.2.若2x-5-x≤2-y-5y，则有 ()A.x+y≥0 B.x+y≤0C.x-y≤0 D.x-y≥0【解析】选B.构造函数f(x)=2x-5-x，易得函数f(x)单调递增，由2x-5-x≤2-y-5y，可得f(x)≤f(-y)，所以x≤-y⇒x+y≤0.3.已知函数f(x)=QUOTE若f(a-1)≥f(-a)，则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.当x≤0时，f(x)=3-x单调递减，且f(x)≥1，当x>0时，f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1，抛物线开口向下，此时f(x)在(0，+∞)上单调递减且f(x)<1，综上f(x)是减函数，若f(a-1)≥f(-a)，则a-1≤-a，即a≤QUOTE，则实数a的取值范围是QUOTE.4.函数f(x)=QUOTE，x∈[-1，2]的图象与函数y=m的图象有公共点，则m的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.[1，2] D.QUOTE【解析】选B.因为函数f(x)=QUOTE，x∈[-1，2]时，f(x)∈QUOTE，f(x)的图象与函数y=m的图象有公共点，则m∈QUOTE.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.若函数f(x)=3x+1，则 ()A.f(x)在[-1，1]上单调递增B.f(x)与y=QUOTE+1的图象关于y轴对称C.图象过点(0，1)D.f(x)的值域为[1，+∞)【解析】选AB.f(x)=3x+1在R上递增，则A正确；f(x)=3x+1与y=3-x+1的图象关于y轴对称，则B正确；f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误.6.关于函数f(x)=QUOTE的说法中正确的是 ()A.偶函数B.奇函数C.在(0，+∞)上是增函数D.在(0，+∞)上是减函数【解析】选BC.f(-x)=QUOTE=-QUOTE=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数；当x增大时，πx，-π-x=-QUOTE均增大，故f(x)增大，故函数f(x)为增函数.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知函数f(x)=QUOTE是(-∞，+∞)上的增函数，那么实数a的取值范围是_______.

【解析】因为函数是(-∞，+∞)上的增函数，所以a>1且a0≥3a-8，解得1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].答案：(1，3]8.定义运算：ab=QUOTE则函数f(x)=3-x⊗3x的值域为_______.

【解析】如图为y=f(x)=3-x⊗3x的图象(实线部分)，由图可知f(x)的值域为(0，1].答案：(0，1]四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)，f(2)=2.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x2+2x)在区间[-2，1]上的值域.【解析】(1)因为函数f(x)=ax-a(a>0且a≠1)，f(2)=2，所以f(2)=a2-a=2，所以a=-1(舍去)或a=2，函数f(x)=2x-2.(2)令t=x2+2x，-2≤x≤1，因为t=(x+1)2-1为开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，所以t在[-2，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，所以x=-1时，t取得最小值-1.又函数f(t)=2t-2，当-1≤t≤3时为增函数.所以2-1-2≤f(t)≤23-2，即-QUOTE≤f(t)≤6，故f(x2+2x)在区间[-2，1]上的值域为QUOTE.10.已知函数f(x)=ax+b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.(1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y=QUOTE的值域.(2)假如函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，求a+b的值.【解析】(1)函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，所以QUOTE，所以QUOTE，所以函数f(x)=2x+1>1，函数y=QUOTE=QUOTE<1.又QUOTE=QUOTE>0，故函数y=QUOTE的值域为(0，1).(2)假如函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，若a>1，函数f(x)=ax+b为增函数，所以QUOTE，无解.若0<a<1，函数f(x)=ax+b为减函数，所以QUOTE，求得QUOTE，所以a+b=-QUOTE.1.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在[-2，1]上的值域为[m，4]，且函数g(x)=QUOTE在(0，+∞)上是减函数，则m+a=_______.

【解析】当a>1时，函数f(x)=ax在[-2，1]上的值域为[m，4]，所以a=4，m=QUOTE，函数g(x)=QUOTE=QUOTE在(0，+∞)上单调递增，不满意题意；当0<a<1时，函数f(x)=ax在[-2，1]上的值域为[m，4]，所以a-2=4，a=QUOTE，此时m=QUOTE，函数g(x)=QUOTE=QUOTE在(0，+∞)上单调递减，满意题意，综上知m+a=1.答案：1【补偿训练】关于x的方程πx=QUOTE只有正实数解，则a的取值范围是_______.

【解析】因为方程πx=QUOTE只有正实数解，所以QUOTE>1，即QUOTE-1>0，整理得：QUOTE>0，解得：QUOTE<a<2，所以a的取值范围为QUOTE.答案：QUOTE2.已知函数f(x)=2-x.(1)求f(0)-QUOTE×QUOTE×2-2的值.(2)若函数h(x)=f(x)+g(x)，且h(x)，g(x)满意下列条件：①h(x)为偶函数；②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)=2；③g(x)>0且g(x)恒过(0，1)点.写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由.【解析】(1)由题意知：f(0)-QUOTE×QUOTE×2-2=20-QUOTE×